19.2.2.1平行四边形的判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第3课时平行四边形对角线的性质 1.B变式题C2.D3.134.4 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC, OD=OB. .DE=BF. .OD+DE=OB+BF,即OE=OF 又：∠AOE=∠COF, .△AOE≌△COF(SAS), .AE=CF」 6.解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AG=CG, .∠EAG=∠FCG ∠EAG=∠FCG, 在△AEG和△CFG中，∠AGE=∠CGF, AE=CF, ∴.△AEG≌△CFG(AAS), ..GE=GF. ,EF=6, 1 1 GF=2EF=2X6=3. :CF=4,∠GFC=90°， .CG=√GF2+CFz=5, ∴.AC=2CG=10. 7.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴.OB= OD,AB∥CD,.∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO, ∴.△BOE≌△DOF(AAS),.S△OE=S△F,.S開题 =2S6EBE=号AB.5S6E=号SueS%m 1 1 1.1 =4SaAm小S用影=2X3Sa0=2X3X4SaAm 1 1 8 =6SAm=6×16=3 8.B【解析】，AC⊥BC于点C,∴∠ACB=90°.：四边 形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O, AC=2.AB=30=A0=2AC=1.B0=0.在 Rt△ABC中，BC=√AB-AC=√32-22=√5.在 Rt△BOC中，BO=√CO+BC=√1+(W5)'=√6， ∴.BD=2BO=2√6 9.解：如图，过点A作AF⊥BC于 点F,则∠AFB=90°. ∠B=60°， .∠BAF=30°， 1 六BF=2AB=1, AF=√AB2-BF=√5 :四边形ABCD是平行四边形， ..BC=AD=3, ∴.CF=BC-BF=2, .AC=√AF+CF=√7. 42 八年级数学HK版 :点E在对角线AC上运动，△ACD是锐角三角形， ∴.当DE⊥AC时，DE取得最小值. 由平行四边形的性质知，S△Ae=S△Ac, 六此时2AF·BC=2DE·AC, DE=AF·BC32I AC 7 DE的最小值为3四 7 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,OB=OD, .∠OBE=∠ODF. :∠BOE=∠DOF, .△OBE≌△ODF(ASA), ∴.OE=OF (2)①·四边形ABCD是平行四边形， 0B-OD-2BD-1,0A-0C-7AC-. 1 .AD2+OD2=2=0A',AD=OD, .△AOD是等腰直角三角形，∠ADO=90°， ∴.∠AOD=45. :EF⊥AC, .∠AOF=∠AOD+∠a=90°， 解得∠a=45°， ∴.当∠a=45时，EF⊥AC. ②由①可知，∠ADO=90°. 由勾股定理得，AB=√AD+BD=√5. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=√5 ,EF⊥AC,OA=OC, .EF是AC的垂直平分线， ..AF=CF, ..AD+DF+AF=AD+DF+CF=AD+CD=1 十√5， .△ADF的周长为1+5. 19.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定 1.42.②③④ 3.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.证明：，AB∥CD,∴.∠ABO=∠CDO. O是边AC的中点， ..AO=CO. 又∠AOB=∠COD, .△AOB≌△COD(AAS), ..OB=OD. 四边形ABCD是平行四边形. 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的 延长线上，点F在DC的延长线上， .AD∥BC,BE∥DF,AB=CD, ∴.∠AGE=∠BHE=∠CHF,∠AEG=∠CFH. ∠AGE=∠CHF, 在△AGE和△CHF中，EG=FH, ∠AEG=∠CFH, △AGE≌△CHF(ASA),.AE=CF, ,∴.AB+AE=CD+CF,即BE=DF, ∴.四边形EBFD是平行四边形. 7.3【解析】设xs时，四边形ADFE是平行四边形.根 据题意，得AE=xcm,CF=2xcm.,CD=9cm, .DF=(9-2x)cm.AB∥CD,.当AE=DF时，四 边形ADFE是平行四边形，x=9-2x,解得x=3. 8.解：(1)证明：.△ABE≌△FCE, .AB=CF,∠BAE=∠CFE, .AB∥DF. ,C为DF的中点， ∴CF=CD=AB, .四边形ABCD是平行四边形. (2)12 【解析】(2)：AD=AF,CD=CF, .AC⊥DF .AB=CD=5.BC=AD=13, .AC=√AD2-CD=√132-5=12. 9.解：(1)证明：，BD是△ABC的角平分线， .∠ABD=∠DBE. ,DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE, ∴∠DBE=∠BDE, .BE=DE. .BE=AF,.'.AF=DE. .四边形ADEF是平行四边形. (2)过点D作DG⊥AB于点G,过点 E作EH⊥BD于点H,如图. :∠ABC=60°， ∴·∠ABD=∠DBE=30°， 1 六DG=2BD= ×6=3. BE=DE, ∴.BH=DH=3. 设EH=x,则BE=2x. 由勾股定理，得BE一EH=BH,即(2x)2一x2 3,解得x=√5， .BE=DE=23, .SOADEF=DE DG=23X3=63. 10.解：(1)证明：，△ABC是等边三角形，D是BC边的 中点， .AB=CA,∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AD ⊥BC, .∠BAD= 2∠BAC=30°. :△ADE是等边三角形，AD=AE,∠ADE=60°， ∴.∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°. .ED∥CF,./FCB=/EDB=30°， .∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°， ∠BAD=∠ACF=30°， ∴.△ABD≌△CAF(ASA),.AD=CF, .ED=CF. 又，ED∥CF, ∴.四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD. (2)成立. 证明：ED∥FC,∴.∠BDE=∠BCF :∠AFC=∠B+∠BCF=6O°+∠BCF,∠BDA= ∠ADE+∠BDE=6O°+∠BDE, ∴.∠BDA=∠AFC. 又∠B=∠FAC,AB=CA, ∴.△ABD≌△CAF(AAS),AD=CF. .AD=ED,..ED=FC. 又.ED∥FC, .四边形EDCF是平行四边形，.EF=DC. 第2课时平行线等分线段定理和三角形的中位线 1.B2.203.D4.35 5.证明：如图，取BC边的中点M,连 接EM,FM. :M,F分别是BC,CD的中点， .MF/BD.MF-BD. 同理，得ME/AC,ME=2AC, .'AC=BD,∴.ME=MF,∴.∠MEF=∠MFE. MF∥BD,∴.∠MFE=∠OGH. 同理，得∠MEF=∠OHG, ∴.∠OGH=∠OHG,.OG=OH. 6.C7.B8.A 9.C【解析】，四边形ABCD为平行四边形， ..OB=OD. OE=4,E为BC边的中点， .DC=20E=8,BC=2BE=6. ∴.CaAD=2(DC+BC)=2X(8+6)=28. 10.解：(1)证明：：D,E分别是AB,AC的中点， ∴DE∥BC,DE=2BC. CF-BC. ∴.DE=CF, ∴.四边形DCFE是平行四边形， (2)在等边三角形ABC中，D是AB的中点， .CDLAB.BD-TAB-X1- 1 sco-/w-BD ,四边形DCEF是平行四边形， 下册参考答案 2319.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定 里点梳理 平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形；：(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已课内基础闯关 OB=OD,OA=OC;③顺次连接所得的四 知识点① 一组对边平行且相等的四边形是 点，则四边形ABCD是一个平行四边形.判 定依据是 平行四边形 1.在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4.当CD 5.如下图，在△ABC中，O是边AC的中点，过 的长为 时，这个四边形是平行四 点C作AB的平行线交BO的延长线于点 边形 D,连接AD.求证：四边形ABCD是平行四 2.下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四 边形 边形的是 (填序号)： ①AB=CD,AD∥BC; ②AB∥CD,AB=CD: ③AD∥BC,AD=BC: ④AB=CD,∠A+∠D=180°. 知识点② 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 知识点④ 平行四边形的性质与判定的综合 3.如图，以△ABC的顶点A为 0 6.如下图，在□ABCD中，点E在BA的延长 圆心，BC长为半径作弧，再 线上，点F在DC的延长线上，连接BF, 以顶点C为圆心，AB长为 DE,EF,EF交AD于点G,交BC于点H, 半径作弧，两弧交于点D,连 第3题图 EG=FH.求证：四边形EBFD是平行四 接AD,CD.由此得到的四边形ABCD是 边形. ,依据是 知识点③ 对角线互相平分的四边形是平行 四边形 4.(2025长春期中)如图，作 、D 一个两条对角线互相平分 的四边形.步骤如下： B m 第4题图 ①任意画两条相交直线 m,n,记交点为O;②以点O为中心，分别在 直线m,n上截取OB与OD、OA与OC,使 56 八年级数学HK版 已课外拓展提高 巴综合能力提升 7.如图，四边形ABCD中，AB∥ 10.推理能力如图，△ABC是等边三角形，D CD,AB⊥BC,点E在AB边上 是边BC上的一点，以AD为边作等边三角 以1cm/s的速度从点A出发向D一F 形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F. 点B移动，同时点F在CD边 第7题图 (1)如图①，若D是BC边的中点，求证： 上以2cm/s的速度从点C出发向点D移 EF=CD. 动.若AB=7cm,CD=9cm,则 (2)如图②，若D是BC边上的任意一点 时，四边形ADFE是平行四边形 (除点B,C外)，则(1)中的结论是否仍然 8.(2025西安雁塔区期末)如下图，在四边形 成立？若成立，给出证明；若不成立，请说 ABFD中，C为DF的中点，连接AC,BC,AF, 明理由. E为AF与BC的交点，△ABE≌△FCE. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形 (2)若AD=AF,AB=5,BC=13,则AC的 长为 图② 9.如下图，BD是△ABC的角平分线，点E,F 分别在BC,AB上，且DE∥AB,BE=AF. (1)求证：四边形ADEF是平行四边形. (2)若∠ABC=60°，BD=6,求□ADEF的 面积。 下册第19章 57△