19.2.1.3 平行四边形对角线的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第3课时平行四边形对角线的性质 香图税理 平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分 已课内基础闯关 5.如下图，在□ABCD中，对角线AC与BD 知识点平行四边形对角线的性质 相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于 长线上，且DE=BF,连接AE,CF.求证： 点O.下列式子中，一定成立的是 ( AE=CF. A.AC⊥BD B.OA=OC C.AC=BD D.AO=OD 0 0 第1题图 变式题图 变式题利用对角线的性质计算 如图，口ABCD的对角线相交于点O,AB =6cm,两条对角线长的和为24cm,则 6.如下图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 △COD的周长为 ( 交于点G,E,F分别是边AD,BC上的点， A.30 cm B.24 cm 连接EF交AC于点G.若AE=CF=4,EF C.18 cm D.15 cm =6,∠GFC=90°，求AC的长度， 2.(教材变式)如图，已知□ABCD的对角线 AC与BD相交于点O.若AC=16cm,BD =10cm,则AD的长度可能是 A.30 cm B.20 cm C.13 cm D.12 cm 0 第2题图 第3题图 3.如图，在□ABCD中，对角线AC⊥BD,AC =10,BD=24,则AD= 4.□ABCD的周长为20cm,对角线AC,BD 相交于点O.若△BOC的周长比△AOB的 周长大2cm,则CD= cm. 54 八年级数学HK版 已课外拓展提高 巴综合能力提升 7.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 10.(2025河源龙川期末)如图①，□ABCD的 于点O,过点O的直线EF交AB于点E,交 对角线AC和BD相交于点O,EF过点O 1 与边AB,CD分别相交于点E和点F. CD于点F,且BE=3AB.若SANCD=16, 则阴影部分的面积是 A 8 B.3 C.2 D.3 图① 图② (1)求证：OE=OF. (2)如图②，已知AD=1,BD=2,AC=2√2， 0 ∠DOF=∠a. 第7题图 第8题图 ①当∠a为多少度时，EF⊥AC? 8.(教材变式)如图，□ABCD的对角线AC, ②在①的条件下，连接AF,求△ADF的 BD相交于点O,AC⊥BC于点C,AC=2, 周长 AB=3,则BD的长为 ( A.√6 B.26 C.√10 D.2√/10 9.（2025邯郸期末）如右图， D 在□ABCD中，AB=2, AD=3,∠B=60°，E是对B 角线AC上的动点，连接DE.求DE的最 小值. 下册第19章 55△.∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴BE=AB =3,∴.EC=BC-BE=5-3=2. 5.C6.C7.A8.120°9.30°10.√511.D 12.C【解析】·四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠D=∠B, .∠A+∠B=180°. :2∠A=7∠B, .∠B=40°， .∠D=40. 13.34 14.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,.∠E=∠DCM 又∠AME=∠DMC,AM=DM, .△AEM≌△DCM(AAS),∴.AE=CD,∴.AE =AB. (2).'BM平分∠ABC,.∠ABM=∠CBM. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD,AD∥BC,∴∠CBM=∠AMB, ∴.∠ABM=∠AMB,AB=AM. .'AB=AE,AM=DM,..BE=AD, BC=BE,∴.△BCE是等腰三角形， .BM⊥CE. 15.证明：(1)如图①，连接PB. 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC. .AD=BD. .'BC=BD. :∠C=45°， ∴.∠BDC=∠C=45°， 图① ∴.△BDC是等腰直角三角形，∠CBD=90°， ∴.∠ADB=∠CBD=∠CBE=90°. :P为线段CD的中点， ∴.∠DBP=∠CBP= 2∠CBD=45, .DP=BP,∠DPB=90°， ∴.∠ADP=∠EBP=90°+45°=135°. EP⊥AP, ∴.∠APE=∠DPB=90°， ∠APD=∠EPB, ∴.△ADP≌△EBP(ASA), .PA=PE. (2)如图②，过点P作PF⊥ CD交DE于点F. EP⊥AP, .∠DPF=∠APE=90°， ∠DPA=∠FPE. 图② ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠C=∠DAB=45°，AB∥CD. .AD=BD, ∴.∠DAB=∠DBA=∠C=∠CDB=45°， .∴.∠PFD=180°-∠DPF-∠PDF=45°， .∠PFD=∠PDF=45°， ..PD=PE. 又：∠PDA=90°+45°=135°，∠PFE=180°-45 =135°， ∴.∠PDA=∠PFE, .△ADP≌△EFP(ASA), .∴.AD=EF 在Rt△PDF中，PD=PF, ∴.DF=√PD+PF=√2PD. DE=DE+EF. .DE=DF+DA. ∴.DE-DA=√2DP 第2课时平行线间的距离 1.B2.C 3.对平行线间的距离处处相等 4.FD 5.解：.AD∥BC, 点A,D到直线BC的距离相等， ∴.S△AC=S△DBC=8. ,△BOC的面积为5， ∴.S△D=S△Dc-S△x=8-5=3. 6.解：如图①，直线c在直线a,b外时， ,a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm, .a与c的距离为5十2=7(cm). 图① 图② 如图②，直线c在直线a,b之间时， :a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm, .a与c的距离为5-2=3(cm). 综上所述，a与c的距离为3cm或7cm. 7.D8.A9.D10.311. 24 12.解：FV>EM.理由如下： 如图，过点F作FP⊥CD于点 P,则FP=EM. FN>FP,.FN>EM. NM D 13.解：如图，过点A,B分别作南 岸、北岸的垂线AC,BD,垂足 ……F 分别为C,D. 设出发xh后，甲船运动到点 B E,乙船运动到点F时，两船距离最近， 即EF⊥BD,AE=DF时，两船距离最近. 根据题意，得36x=18.9-27x, 解得x=0.3. 0.3h=18min. 故两船距离最近时的时刻为7：33. 下册参考答案 21 第3课时平行四边形对角线的性质 1.B变式题C2.D3.134.4 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC, OD=OB. .DE=BF. .OD+DE=OB+BF,即OE=OF 又：∠AOE=∠COF, .△AOE≌△COF(SAS), .AE=CF」 6.解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AG=CG, .∠EAG=∠FCG ∠EAG=∠FCG, 在△AEG和△CFG中，∠AGE=∠CGF, AE=CF, ∴.△AEG≌△CFG(AAS), ..GE=GF. ,EF=6, 1 1 GF=2EF=2X6=3. :CF=4,∠GFC=90°， .CG=√GF2+CFz=5, ∴.AC=2CG=10. 7.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴.OB= OD,AB∥CD,.∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO, ∴.△BOE≌△DOF(AAS),.S△OE=S△F,.S開题 =2S6EBE=号AB.5S6E=号SueS%m 1 1 1.1 =4SaAm小S用影=2X3Sa0=2X3X4SaAm 1 1 8 =6SAm=6×16=3 8.B【解析】，AC⊥BC于点C,∴∠ACB=90°.：四边 形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O, AC=2.AB=30=A0=2AC=1.B0=0.在 Rt△ABC中，BC=√AB-AC=√32-22=√5.在 Rt△BOC中，BO=√CO+BC=√1+(W5)'=√6， ∴.BD=2BO=2√6 9.解：如图，过点A作AF⊥BC于 点F,则∠AFB=90°. ∠B=60°， .∠BAF=30°， 1 六BF=2AB=1, AF=√AB2-BF=√5 :四边形ABCD是平行四边形， ..BC=AD=3, ∴.CF=BC-BF=2, .AC=√AF+CF=√7. 42 八年级数学HK版 :点E在对角线AC上运动，△ACD是锐角三角形， ∴.当DE⊥AC时，DE取得最小值. 由平行四边形的性质知，S△Ae=S△Ac, 六此时2AF·BC=2DE·AC, DE=AF·BC32I AC 7 DE的最小值为3四 7 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,OB=OD, .∠OBE=∠ODF. :∠BOE=∠DOF, .△OBE≌△ODF(ASA), ∴.OE=OF (2)①·四边形ABCD是平行四边形， 0B-OD-2BD-1,0A-0C-7AC-. 1 .AD2+OD2=2=0A',AD=OD, .△AOD是等腰直角三角形，∠ADO=90°， ∴.∠AOD=45. :EF⊥AC, .∠AOF=∠AOD+∠a=90°， 解得∠a=45°， ∴.当∠a=45时，EF⊥AC. ②由①可知，∠ADO=90°. 由勾股定理得，AB=√AD+BD=√5. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=√5 ,EF⊥AC,OA=OC, .EF是AC的垂直平分线， ..AF=CF, ..AD+DF+AF=AD+DF+CF=AD+CD=1 十√5， .△ADF的周长为1+5. 19.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定 1.42.②③④ 3.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.证明：，AB∥CD,∴.∠ABO=∠CDO. O是边AC的中点， ..AO=CO. 又∠AOB=∠COD, .△AOB≌△COD(AAS), ..OB=OD. 四边形ABCD是平行四边形. 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的