17.5.1 面积问题与数宇问题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

17.5一元二次方程的应用 第1课时面积问题与数字问题 要固梳理 1 L.面积公式：S共方形=ab,S正方形=a2,Sm=R2,S三角形= 2ah. 2.数字问题：个位上的数为a,十位上的数为b,则这个两位数表示为10b十a 巴课内基础闯关 知识点② 数字问题 知识点个面积问题 3.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字 1.如图，某小区有一块长为18m、宽为6m的 小2，且个位上的数字与十位上的数字之积 长方形空地，计划在其中修建两块相同的长 的3倍恰好和这个两位数一样大.求这个两 方形绿地，它们的面积之和为60m2,两块绿 位数。 地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若 设人行道的宽度为xm,则可以列出关于x 的方程是 18m 第1题图 A.x2-9x+8=0B.x2-9x-8=0 C.2x2-9x+8=0D.x2+9x-8=0 4.跨语文学科小明同学是一位诗词爱好者，在 2.（教材变式)如下图，长方形铁皮的长为 学习了《一元二次方程及其应用》这一章后， 10cm,宽为8cm.将它的四个角上各剪去一 改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江 个边长为xcm的正方形，做成底面积为 东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东 24cm2的无盖的长方体盒子.求剪去的正方 吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位 形的边长. 平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周 x cm 瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁 时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位 数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数 字的平方恰好等于该数.求周瑜去世时的 10cm 年龄 28 八年级数学HK版 已课外拓展提高 巴综合能力提升 -g 5.(2025合肥期末)如图，小程的爸爸用一段 8.应用意识如下图，利用一面长为25m的墙， 10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 用总长度51m的栅栏围成一个长方形围栏 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍 ABCD,并在中间用栅栏隔开.设栅栏BC的 侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材 长为xm. 料组成)，则BC的长为 ( (1)AB= m(用含x的代 A.5m或6m B.2.5m或3m 数式表示). C.5 m D.3 m (2)若长方形围栏ABCD的面积为210m2, 36 求栅栏BC的长 (3)长方形栅栏ABCD的面积能达到240m 吗？若能，求出BC的长；若不能，请说明理由. 第5题图 第6题图 6.如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长 36m,宽24m,要求在场地内修同样宽的道 路（图中阴影部分），余下部分作为种植区. 若种植区的总面积为805m2,则所修道路的 宽为 m. 7.右面是某年1月份的 日 三四五六 月历表，用长方形方 1 2345 6 7 8910111213 框按下图所示的方 14151617181920 法任意圈出4个数， 21222324252627 28293031 请解答下列问题： (1)若方框中最大数与最小数的乘积为180， 则最小数是 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这4个 数的和能为124吗？若能，求出最小数；若 不能，请说明理由。 下册第17章 29△一题多解法 ,x1=1是方程x2十bx十2=0的一个根，∴.1十b 十2=0，解得b=-3,∴.原方程为x2-3x+2= 0,因式分解得(x一1)(x-2)=0,解得x1=1,x =2,.方程的另一个根是2. 5.B 6.-9【解析】，x1x2是方程x2-3.x-3=0的两个实 数根，x1十x2=3,x1x2=-3,则原式=x1x2(x1十 x2)=(-3)X3=-9. 3 1 7.解：由题意得x1十x,=2x1=2 (1)原式=(x1十x2)2-2x1x2= 31 -2×2=4 19 2 5 (2)原式=x-2x1x2十x=(x1十x2)2-4x1x2= (》-4x--2- 8.解：(1)证明：根据题意，得△=(m十4)一4(m十3) =m2+8m+16-4m-12=m2+4m+4=(m+2) ≥0， .无论取何值，方程总有实数根 (2)根据题意，得x1十x2=-(m十4)=一m-4,x1x2 =m+3. 2x1十2x2=3x1x2十3，.2(x1十x2)=3x1x2十3， .2(一m一4)=3(m+3)十3，解得m=-4. 9.C【解析】设原方程的两根为x1,x2,则x1十x2=4 一k2. x1,x2互为相反数，∴x1十x2=0, .4一k2=0,解得k1=2,k2=一2. ,△=(k2一4)2一4(k-1),.当k=2时，△=一4<0， 原方程无实数根；当k=一2时，△=12>0，原方程有 两个不相等的实数根，.k=一2. 10.C【解析】根据题意，得a十b=2,ab=一5，∴.一次函 数y=(ab一1)x十a十b化为y=一6x十2，∴.一次函 数y=(ab一l)x十a十b的图象经过第一、第二、第四 象限，即一次函数y=(ab一1)x十a十b的图象一定 不经过第三象限. 11.A【解析】.实数a,b(a≠b)满足a2一5a一1=0，b 一5b一1=0，∴.实数a,b(a≠b)可以看作是关于x的 方程x2一5x一1=0的两个不同的实数根，.a十b= 5,故选项C,D都不符合题意；.a=5一b,,∴.a2+6b =(5-b)2+6b=b2-10b+25+6b=b2-4b+25= (b一2)2+21>0，故选项A符合题意，选项B不符合 题意. 12.一1【解析】，m,n是方程x+x-1=0的两个不 相等的根，∴.m+n=一1，m2十m=1,∴.m3十m2= m,∴.m3十m2+n=m十n=-1. 13.解：(1)根据题意，得-1十m=4,-m=c十3，∴.m= 5,c=-8. (2):方程的两个不相等的实数根为α和B, …a十B=4,a8=c+3, :1+1=。+4 …aB9=十3=(，解得c1=-4,c=1.经 检验，c1=一4，c:=1都为原分式方程的根. 当c=-4时，△=(-4)2-4(c+3)=20>0: 当c=1时，△=0（不符合题意，舍去）. 综上，c的值为一4. 14.解：(1)，关于x的一元二次方程x2一2k.x十k2十k十 1=0有两个实数根， ∴.△=b2-4ac=(-2k)2-4×1·(k2+k+1)≥0， 解得k≤一1. (2):方程x2一2kx+k2+k十1=0的两个实数根为 x1x2, .x1十x2=2k,x1x2=k2十k十1. +k+1=(k+）'+>0>0 3 |x1|+|x2|=2,.(x1|+|x21)2=4, .x+2|x1x2|十x=4. x1x2>0, x+2x1x2十x=4,.(x1十x2)2=4, .(2k)2=4,解得k,=1,k2=一1. 由(1)可知，k≤-1，∴k=-1. 15.解：(1)设方程x2一6x十a=0的两个根分别为m,n. ,该方程是“倍根方程”，.可设n=2m. .'m+n=6,mn=a, ∴.3m=6,2m2=a, ∴.m=2,.a=8. (2)设方程x2十bx十c=0的两个根为x1,x2, 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，∴分以 下两种情况讨论： ①当x1=2x2,x1=x时，得2x2=x, 解得x2=2或x2=0(不合题意，舍去)，.x1=4. x1十x2=-b,x1x2=c,.b=-6,c=8: ②当x2=2x1,x1=x时，得x1=4x1, 1 1 解得x,=4或x,=0(不合题意，舍去)：=2： 31 x1十x2=-b,x1x2=c,b= Γ4c=8 综上，b=-6,c=8或6=- 1 4=8 17.5一元二次方程的应用 第1课时面积问题与数字问题 1.A 2.解：设剪去的正方形的边长为xcm 由题意，得做成无盖的长方体盒子的底面是长为(10一 2x)cm、宽为(8-2x)cm的长方形， .(10-2x)(8-2x)=24, 解得x1=2,x=7(不合题意，舍去)，∴x=2,即剪去 的正方形的边长为2cm. 下册参考答案 11 3.解：设个位上的数字为x. 依题意，得3(x一2)x=10(x一2)十x, 即3x2一17x+20=0, 5 ∴(3x-5)(x-4)=0,解得x1=3x:=4, x为整数，.x=4,x一2=2，这个两位数为24. 4.解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x 依题意，得10x+(x+3)=(x+3), 即x一5x十6=0，解得x1=2(不合题意，舍去)，x =3, x=3, .10x十(x+3)=36, .周瑜去世时的年龄为36岁， 5.C【解析】设BC的长为xm,则AB的长为2(10+1 一x)m.根据题意，得2(10+1一x)x=15,即(11 x)x=30,解得x1=5,x2=6.x<5.5,.x=5,即 BC的长为5m. 6.1【解析】设所修道路的宽为xm.根据题意，得(24一 x)(36-x)=805, 整理，得x2一60x十59=0，解得x1=59(不合题意，舍 去)，x2=1,即所修道路的宽为1m. 7.解：(1)10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这4个数的和不 能为124.理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能 为124，设最小数是y,则另外3个数分别是y+1,y+ 7,y+8. 根据题意，得y(y+8)十y+y+1+y+7十y+8 =124, 整理，得y2+12y-108=0, 解得y1=6,y2=一18（不符合题意，舍去）. :y=6在最后一列， ,假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这4个数的和不能 为124. 【解析】(1)设最小数是x,则最大数是x十8. 根据题意，得x(x十8)=180， 整理，得x2十8x一180=0， 解得x1=10,x2=一18（不符合题意，舍去） 故最小数是10. 8.解：(1)(51-3.x) (2)根据题意，得x(51-3.x)=210, 整理，得x2一17x+70=0, 解得x1=7,x2=10. 当x=7时，51一3x=51一3×7=30>25，不符合题 意，舍去 当x=10时，51-3.x=51-3×10=21<25,符合 题意. 412 八年级数学HK版 故栅栏BC的长为10m. (3)长方形栅栏ABCD的面积不能达到240m.理由 如下： 假设长方形栅栏ABCD的面积能达到240m2. 根据题意，得x(51一3x)=240, 整理，得x2一17x十80=0. ,△=(-17)2-4×1×80=-31<0， .原方程没有实数根 .假设不成立， 即长方形栅栏ABCD的面积不能达到240m. 第2课时增长率问题与利润问题 1.A 2.C【解析】设平均每次降价的百分率为x.根据题意， 得30(1-x)2=19.2, 解得x1=0.2,x2=1.8(舍去)， ∴.平均每次降价的百分率是20%. 3.解：设该酒店入住人次的日平均增长率为x 根据题意，得128+128(1十x)+128(1十x)2=608, 解得x1=0.5=50%,x2=一3.5（不符合题意，舍去）. 故该酒店入住人次的日平均增长率为50%. 4.A 5.解：(1)2x(40-x) (2)设每件服装降价x元，则每件的销售利润为(40一 x)元，平均每天的销售量为(20十2x)件. 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200, 整理，得x2-30.x十200=0，解得x1=10,x2=20. 又需要让利于顾客，x=20. 故每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均 每天能盈利1200元. 6.50或60【解析】设第二个月的销售定价为每套x元， 则销售量为[180一10(x一52)]. 由题意，得180×(52-40)+(x-40)[180-10(x- 52)]=4160, 整理，得x2一110x十3000=0， 解得x1=50,x2=60. 故第二个月的销售定价为每套50元或60元. 7.解：任务1：设该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数 量的月平均增长率为x. 根据题意，得500(1十x)=720, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）. 故该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均 增长率为20%. 任务2：设每件泥塑的售价应定为y元. 根据题意，得[450一15(y一40)](y一20)=9360， 解得y1=44,y2=46(不符合题意，舍去). 故每件泥塑的售价应定为44元. 8.解：(1)由题意可设y=kx+200(k≠0). 将(10,300)代入y=kx+b, 得300=10k+200,解得k=10,