方法技巧专题 一元二次方程的解法归纳&应用技巧专题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 一元二次方程的解法归纳 题型① 缺少一次项或形如(ax十b)2一c=0 题型④ 除适用直接开平方法和因式分解法 (c≥0)的一元二次方程用直接开平 外的方程均可用公式法求解 方法求解 4.用公式法解下列方程： 1.解下列方程： (1)3x2=2(2-x). (1)4x2-25=0. (2)3x2-27=0. (2)x2+2x+1=-2x+9. 题型②2 当二次项系数为1，且一次项系数为 偶数时，用配方法求解 2.解方程：x2-2x一1=0. 题型⑤运用换元法解一元二次方程 5.(1)已知(2x+y)2-8(2x+y)-9=0,求 2x+y的值. 题型③能化成形如(x+a)(x+b)=0的一 (2)已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+ 元二次方程用因式分解法求解 2b)2026的值。 3.当x为何值时，代数式x2一2x一3与3x+1 的值互为相反数？ 422 八年级数学HK版 应用技巧专题 配方法的应用 题型① 利用配方法解方程 题型③ 利用配方法求最大（小）值 1.(2025合肥期末)用配方法解方程x2+4x= 5.阅读下面的例题： 一1时，配方结果正确的是 求代数式x2+6.x+10的最小值. A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 解：x2+6x+10=x2+6.x+9+1=(x+3) C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 +1. 2用配方法解方程：了女-4红十专0， 1 .(x+3)2≥0，.(x+3)2+1≥1， .x2+6x十10的最小值是1. 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式y2+10y+27的最小值， (2)判断代数式8一m2十4m有最大值还是 有最小值，并求出该最值. 题型②利用配方法比较大小 3.若M=2x2-7x十6，N=x2-3x十2，则M, N的大小关系是 () A.M<NB.M≥NC.M=ND.M≤N 4.已知A=x2+2x-6y,B=-y2+4x-10, 判断A,B的大小关系. 题型④ 利用配方法构成非负数求值 6.(2025滁州凤阳三模)已知x,y是实数，且 满足x2+y2=2x十4y-5.若m=3x+y, 则m的值为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 变式题比较两个数大小→比较三个数大小 7.已知a2+b2+c2=2a一4b+6c一14，则 已知a,b,c为实数，且b+c=5-4a+ (ab)的值是 () 3a2,c-b=1-2a十a2,比较a,b,c之间 A.4 B.-4 C.8 D.-8 的大小关系 8.(2025马鞍山期中)我们定义一个整式能表 示成a2+b(a,b是整式)的形式，则称这个 整式为“完全式”.例如：M=x2+2xy+2y2 =(x十y)2十y2(x,y是整式)，.M为“完 全式”.若S=x2+9y2+4x-6y+k(x,y 是整式，k为常数)为“完全式”，则当S=0 时，y2一k的值为 下册第17章 23整理，得(y2-3y)2-4(y2-3y)=0, 因式分解，得(y2-3y)(y2-3y-4)=0, .y2-3y=0或y2-3y-4=0. 解方程y2-3y=0,得y1=0,y2=3; 解方程y2-3y-4=0,得y3=-1,y4=4, .原方程的根为y1=0,y2=3,y3=一1，y:=4. 方法技巧专题一元二次方程的解法归纳 1.解：(1)移项，得4x2=25, 25 系数化为1，得x2= 4 5 开平方，得x=士2： .5 5 x=2x=-2 (2)移项，得3x2=27,系数化为1，得x2=9, 开平方，得x=士3， .x1=3,x2=-3. 2.解：移项，得x2一2x=1, 配方，得(x一1)2=2， 开平方，得x-1=-√2或x-1=√2， x1=1-√2，x2=1十√2. 3.解：由题意，得x2一2x一3=一(3x十1)， 整理，得x2+x-2=0, 分解因式，得(x+2)(x-1)=0, 解得x1=-2,x2=1. 故当x为-2或1时，代数式x2-2x-3与3x+1 值互为相反数. 4.解：(1)整理，得3x2十2x-4=0. b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0, x=-2±23--1±3 6 3 x1= -1+√/1 3,x,=1-5 3 3 (2)整理，得x2+4.x-8=0. ,b2-4ac=42-4×1×(-8)=16+32=48>0, x=二4士45 =-2±2√5， 2 x1=-2+2√3，x2=-2-25. 5.解：(1)设t=2x十y, 则原方程可化为t2一8t一9=0， 因式分解，得(t-9)(t十1)=0， 解得t1=9,t2=-1, .2x+y的值为9或-1. (2)根据题意，设a十2b=x, 代入原方程，得x2一2x十1=0，即(x一1)2=0， 解得x=1,即a十2b=1, .(a+2b)2026=1. 应用技巧专题配方法的应用 1.A 2.解：整理，得x2-12x=-4, 配方，得x2-12x+36=32,即(x-6)2=32, 开平方，得x-6=士4√2，即x=6±4√2， ∴x1=6+4√2，x2=6-4V2 3.B【解析】，M=2x2-7x+6,N=x2-3x+2, ∴.M-N=2x2-7x+6-(.x2-3x+2)=2x2-7.x+6 -x2十3.x-2=x2-4x十4=(x-2)2≥0， .M≥N. 4.解：A-B=x2+2x-6y-(-y2+4x-10) =x2-2.x+y2-6y+10 =x2-2x+1+y2-6y+9 =(x-1)2+(y-3)2. (x-1)2≥0，(y-3)≥0，.(x-1)2+(y-3)2≥0， .A一B≥0，即A≥B. 变式题解：b十c=5-4a+3a2,c-b=1-2a十a2, .∴.b+c+c-b=2c=4a2-6a+6,b+c-(c-b)=2b =2a2-2a+4,∴.c=2a2-3a+3,b=a2-a+2, .b-a=a2-a+2-a=(a-1)2+1>0,c-b=2a -3a+3-(a2-a+2)=a2-2a+1=(a-1)2≥0， ∴.b>a,c≥b,.a<b≤c. 5.解：(1)y2+10y+27=y2+10y+25+2=(y+5) 十2. ,(y+5)2≥0，.(y+5)2+2≥2， ∴.y2+10y+27的最小值是2. (2)8-m2+4m=-(m2-4m)+8=-(m2-4m+4) +4+8=-(m-2)2+12. -(m-2)2≤0，.-(m-2)2+12≤12， ∴.8-m2十4m有最大值，最大值为12. 6.A【解析】，x2+y2=2x+4y-5,.x2-2x+1十y -4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=0.又(x-1)月 ≥0，(y-2)2≥0，.x-1=0,y-2=0,解得x=1,y =2,.m=3.x+y=3×1+2=5. 7.D【解析】，a2+b2+c2=2a-4b+6c-14,∴.a2-2a +1+b2+4b+4+c2-6c+9=0, 即(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2=0,.a-1=0,b+2 =0,c-3=0,解得a=1,b=一2，c=3,∴.(ab)=[1× (-2)]3=-8. 8.-号【解折】+4x+4+9y-6y+1=(x+2)+ (3y-1)2,则x2+4x十4十9y2-6y十1是“完全式”， ∴.当S=x2+9y2+4x-6y十k为“完全式”时，k=5. 当S=0时，(x+2)2+(3y-1)2=0.:(x+2)2≥0， (3y-1)≥0，.x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y 则-=（》-5=兽 下册参考答案 、9