17.2.2 公式法&17.2.3 因式分解法-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

17.2.2 恋里理 用公式法解一元二次方程：用求根公式x= -b±√b 2a 一4ac≥0)的方法叫作公式法. 已课内基础闯关 知识点用公式法解一元二次方程 1.(2025合肥期中)用求根公式解一元二次方 程3x2-2x=1时，a,b,c的值是( A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 C.a=3,b=-2,c=-1 D.a=3,b=2,c=1 2.若x=2±4-4X3X-D是一元二次方 2×3 程ax2十bx十c=0的根，则a十b一c的值为 3.用公式法解下列方程： (1)x2+x-1=0. (2)3x2=2-5x. 已课外拓展提高 4.若x2+bx十c=0的两个实数根中较小的一个 根是m(m≠0)，则b十√b一4c等于() A.m B.-m C.2m D.-2m 公式法 -4ac ,解一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0，且b a b 5.新定义题定义新运算：规定 =ad- c d 2 4 bc.例如 =2×8-4×6=-8.若 6 8 3x1-8x 2,则x的值为 1 6.转化思想阅读下列例题的解答过程： 解方程：3(x-2)2十7(x-2)十4=0. 解：设x一2=y,则原方程可化为3y2十7y +4=0.,a=3,b=7,c=4,.b2-4ac=72 -4×3×4=1>0,∴.y= -7±√1-7士1 2×3 6, =-1=一素当y=-1时2-2= 一1，解得x=1:当y=-专时x一2=一4 Γ3 解得x子 综上，原方程的根为x1=1x:= 2 请仿照上面的例题解一元二次方程2(x 3)2-5(x-3)-7=0. 下册第17章 19△ 17.2.3因式分解法 恋固流理 1.因式分解法：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分 解法。 2.用因式分解法解一元二次方程：(1)移项，使方程的右边化为0.(2)将方程的左边分解为两个一次因式的 乘积.(3)令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程.(4)解这两个一元一次方程，它们的解就都是原 方程的解」 已课内基础闯关 2 系数化为1，得x=一 第四步 知识点①用因式分解法解一元二次方程 (1)阿进的解法是不正确的，他从第 1.(2025安庆岳西月考)用因式分解法解一元 步开始出现了错误 二次方程(x+3)(x一1)=0，将它转化为两 (2)请用阿进的方法正确地解这个方程. 个一元一次方程是 A.x+3=1,x-1=0B.x+3=0,x-1=1 C.x+3=0,x-1=0D.x-3=0,x+1=0 2.(教材变式)若代数式x(x一1)和3(1一x) 的值互为相反数，则x的值为 知识点② 选择适当的方法解一元二次方程 3.如果一元二次方程x(x一8)=4(x一8)的两 6.用适当的方法解下列方程： 个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那 (1)(2x-1)(x+1)=(3x+1)(x+1). 么这个等腰三角形的周长为 4.(2025桐城期末)用因式分解法解方程：3.x(x 1)=2-2x. (2)x2-6.x-4=0. 5.纠错题阿进用因式分解法解一元二次方程 5x2一15.x=6一2x时，他的做法如下： (3)2x2+4x-1=0. 解：方程两边分解因式，得5x(x一3)=2(3 一x),第一步 方程变形为5.x(x一3)=一2(x一3)，第 二步 方程两边同时除以(x一3)，得5.x=一2， 第三步 420 八年级数学HK版 已课外拓展提高 易错点 忽略平方数的非负性致错 7.(2025合肥月考)若(a2+b2)2+5a2+ 5b2=6,则a2+b2的值为 A.-6 B.1 C.1或-6 D.1或6 8.定义新运算：a☒b=ab-a.例如2☒(-1) =2×(一1)一2=-4，则方程x☒(x十2)= 6☒x的解是 ( A.x1=0,x2=4 B.x1=2,x2=3 C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2十√6，x2=2-√6 9.已知①x2+xy+y=14,②y2+xy+x= 28,则x+y的值为 10.对于实数a,b定义运算“※”：a※b= a-b(a≥b), 例如4※2，.4>2，.4※2 2b-a(a<b). =4一2=2.若x1,x2是一元二次方程x2 一5x+6=0的两个根，则x1※x2= 11.用因式分解法解方程：x2+10x+21=0. 12.下表中的方程①，②，③，…是按一定规律 排列的一组方程. 序号 方程 方程的根 ① x2+2x-3=0 x1=1,x2=一3 ② x2+4x-12=0 x1=2,x2=-6 ③ x2+6.x-27=0 = ,x2= … … … (1)将表格补充完整. (2)请你写出这组方程中的方程⊙(n为正 整数)，并写出它的根 (3)用你探究的规律解方程x2+18.x一243 =0. 巴综合能力提升 13.运算能力解高次方程的思想就是“降次”， 将含未知数的某部分用低次项替换.例如 解四次方程x十2x2一8=0时，可设y= x2,则原方程可化为y2+2y一8=0，先解 出y,再将y的值代入y=x2中解x的值， 由此高次方程得解.解高次方程也可以将 方程中某个部分看作一个整体，例如上面 的方程中，可将x2看作一个整体，得(x2) 十2x2一8=0，解出x2的值，再进一步求解 即可.根据上述方法，解答下列问题： (1)若(2x2+2y2一3)(2x2+2y2+3)=7, 求x2+y2的值. (2)解方程：(y2-3y)2一4y2+12y=0. 下册第17章3.解：(1)(3x-1)=(x十1)2， .3x-1=士(x+1), .2x=2或4x=0, 解得x1=1,x2=0. (2)6(x-1)2-54=0, .6(x-1)2=54, .(x-1)2=9, x-1=士3， 解得x1=4,x2=一2. 4.B5.丁 6.解：(1)移项，得4x2十8.x=-3, 二次项系数化为1，得x+2x= 4 配方，得(+1P= 开平方：得中1=士， 解得=一=一 (2)原方程化为一般形式，得2x2一9x一34=0， 移项，得2x2-9.x=34, 三次项系数化为1，得-号=17。 配方(-）广- 开平方，得一号-士丽， 9 4 解得x1=9+V33 4 -9-3 4 7.A【解析】，b+c=5-4a+3a2,①c-b=1-2a+ a2,②∴.①+②，得2c=4a2-6a+6,即c=2a2-3a+ 3,①-②，得2b=2a2-2a+4,即b=a2-a+2. b-a=a2-a+2-a=(a-1)2+1>0,.b>a.又 c-b=a2-2a+1=(a-1)2≥0，c≥b,.a<b ≤c. 8.x1=2,x2=一4【解析】由题意知，(x十1)*3=0可 以写成(x十1)2一32=0，即(x+1)2=9,.x十1=士3， .x1=2,x2=-4. 9.3【解析】由(x一c)2=4c2可得x-c=士2c,解得x1 =一C,x2=3c :方程的一个根为1，且c>0, ∴3=1，即c=行原方程为(x-吉)°=专， 整理，得号0 a=1,b=-3: 2 a-36=1-3×(-号）=3. ◆一题多解法《 将(x-c)2=4c2整理成一般式为x2-2cx-3c2 =0. ,方程的一个根为1， 六1-2c1-32=0,解得c1=3c=-1(不 符合题意，舍去)， 原方程为(x-)=4×()-善 1 2 1 x-3=±3，即x=1x=3 将=一号代人方程ar+6a 3=0, 11, 1 得ga-3b-3=0,整理，得a36-3=0, ∴.a-3b=3. 10.解：解不等式x+1<3x-3,得x>2, 解不等式3(x-4)<2(x-4),得x<4, 则不等式组的解集为2<x<4. x2-2x-4=0, .x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5, 解得x1=1十√5，x2=1-√5. 又2<x<4, .x=1+5 11.解：(1)x2-y2+6y-9 (2)9 (3)设x+2025=a,则原方程变形为(a一1)2+(a+ 1)2=100, ..a2-2a+1+a2+2a+1=100, 整理，得2a2+2=100, 即a2=49,解得a=±7， ∴.x+2025=士7. 【解析】(1)原式=x2-(y-3)2=x2-(y2-6y+9) =x2-y2+6y-9. (2)根据平方差公式，得(x2+y2)2-4=77,即(x2+ y2)2=81.,x2十y2是非负数，.x2十y2=9. 12.解：(1)x2-4.x十5=(x-2)2+1. (x-2)2≥0，.(x-2)2+1≥1， ∴.代数式x2-4x十5的最小值为1. (2)S2≥S1.理由如下： 由题意，得S1=7(2a+5)=14a+35,S2=(a+6)2= a2+12a+36, ∴.S2-S1=a2+12a+36-(14a+35)=a2-2a+1 =(a-1)2≥0， .S2≥S1. 17.2.2公式法 1.C2.2 3.解：(1)a=1,b=1,c=-1, ∴.b2-4ac=1+4=5>0, 下册参考答案 7 x=-6±VB-4ac=-1±5 za 2 六x,=-1+5 -1-√5 2 2 (2)原方程可化为3x2十5x一2=0， .a=3,b=5,c=-2, ∴.b2-4ac=25+24=49>0, x=-b±VB-4ac _-5±√49_-5±7 2a 2×3 6 1 x1=-2,x2=3 4.D【解析】，x2+bx十c=0的两个实数根中较小的一 个根是m, :二b-c=m,即6十V6-4e=-2m 2 5.3或-3【解析】由题意可得3x2-(1-8.x)=2,整 理，得3x2十8.x-3=0.a=3,b=8,c=-3,∴△=8 一4×3×（一3）=100>0，则x= -8士√100 2×3 =810,=3=-3 1 6 6.解：设x一3=y,则原方程可化为2y2一5y一7=0. :a=2,b=-5,c=-7,∴.b2-4ac=(-5)2-4×2X (-7)=81>0, y=5±v8T_5±9 7 2×2 =4心y=-1y=2 当y=-1时，x-3=-1,解得x=2; 7 当y=)时，x-3三7解得x= 综上，原方程的根为x=2,x2=号 17.2.3因式分解法 1.C2.1或3 3.20【解析】因式分解x(x一8)=4(x-8),得(x- 4)(x一8)=0，解得x1=4,x2=8,.该等腰三角形的 三边为8,8,4(4,4,8不能构成三角形，舍去)，.这个 等腰三角形的周长为20. 4.解：整理方程，得3x(x一1)十2(x一1)=0， 因式分解，得(x-1)(3.x+2)=0, 即x-1=0或3x十2=0， 2 解得x1=1,x2=一3 5.解：(1)三 (2)5x2-15.x=6-2x, 因式分解，得5x(x-3)=2(3一x), 整理，得5x(x-3)=-2(x-3), 移项，得5x(x一3)+2(x一3)=0， 提取公因式，得(x一3)(5.x十2)=0. .x-3=0或5x十2=0， 8 八年级数学HK版 2 解得x1=3,x2=一5 6.解：(1)移项，得(2x-1)(x十1)-(3x十1)(x十1)=0， 因式分解，得(x+1)(-x-2)=0, ∴x十1=0或-x-2=0, 解得x1=-1,x2=一2. (2)移项，得x2一6x=4, 配方，得x2一6x十9=4+9， 即(x-3)2=13, 开平方，得x-3=士√13， .x1=3+/13,x2=3-√/13. (3).a=2,b=4,c=-1, ∴.b2-4ac=42-4×2×(-1)=24>0 x=-6±-4ac=-4±24 2a 2×2 -2+√6 -2-√6 .x1= 22= 2 7.B【解析】设a2+b2=x≥0，.(a2+b2)2+5(a2十b) -6=0,∴.x2+5.x-6=0,即(x-1)(x十6)=0， 解得x1=1,x2=一6（不符合题意，舍去），∴.a2十b2 =1. 8.B【解析】根据题意，得x☒(x+2)=x(x十2)一x,6 ☒x=6x-6..x☒(x+2)=6☒x,∴.x(x十2)-x= 6x-6,整理，得x2-5x十6=0，分解因式，得(x一 2)(x-3)=0,∴.x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2 =3. 9.-7或6【解析】①+②，得x2+2xy十y2+x+y= 42,.(x+y)2+(x+y)-42=0, ∴.(x十y十7)(x十y-6)=0,∴.x+y=-7或x十y =6. 10.4或1【解析】解方程x2-5.x十6=0，得(x-2)(x一 3)=0,解得x1=2,x2=3或x1=3,x2=2. 当x1=2,x2=3时，x1※x2=2X3-2=4:当x1=3, x2=2时，x1※x2=3一2=1，∴.x1※x2=4或1. 11.解：分解因式，得(x十3)(x+7)=0, .x十3=0或x+7=0, 解得x1=一3，x2=-7. 12.解：(1)3一9 (2)方程0：.x2十2nx-3n2=0. 方程⊙的根：x1=n,x2=一3n. (3)由(2)知，x2+2x-3n2=0, ∴.2n=18,3n2=243,解得n=9, ∴.x1=9,x2=-3X9=-27. 13.解：(1)设t=x2+y2,则1≥0. 原方程可化为(21-3)(21+3)=7， 整理，得1=4， 解得11=2,12=一2（不合题意，舍去）， .x2+y2的值为2. (2)(y2-3y)2-4y2+12y=0, 整理，得(y2-3y)2-4(y2-3y)=0, 因式分解，得(y2-3y)(y2-3y-4)=0, .y2-3y=0或y2-3y-4=0. 解方程y2-3y=0,得y1=0,y2=3; 解方程y2-3y-4=0,得y3=-1,y4=4, .原方程的根为y1=0,y2=3,y3=一1，y:=4. 方法技巧专题一元二次方程的解法归纳 1.解：(1)移项，得4x2=25, 25 系数化为1，得x2= 4 5 开平方，得x=士2： .5 5 x=2x=-2 (2)移项，得3x2=27,系数化为1，得x2=9, 开平方，得x=士3， .x1=3,x2=-3. 2.解：移项，得x2一2x=1, 配方，得(x一1)2=2， 开平方，得x-1=-√2或x-1=√2， x1=1-√2，x2=1十√2. 3.解：由题意，得x2一2x一3=一(3x十1)， 整理，得x2+x-2=0, 分解因式，得(x+2)(x-1)=0, 解得x1=-2,x2=1. 故当x为-2或1时，代数式x2-2x-3与3x+1 值互为相反数. 4.解：(1)整理，得3x2十2x-4=0. b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0, x=-2±23--1±3 6 3 x1= -1+√/1 3,x,=1-5 3 3 (2)整理，得x2+4.x-8=0. ,b2-4ac=42-4×1×(-8)=16+32=48>0, x=二4士45 =-2±2√5， 2 x1=-2+2√3，x2=-2-25. 5.解：(1)设t=2x十y, 则原方程可化为t2一8t一9=0， 因式分解，得(t-9)(t十1)=0， 解得t1=9,t2=-1, .2x+y的值为9或-1. (2)根据题意，设a十2b=x, 代入原方程，得x2一2x十1=0，即(x一1)2=0， 解得x=1,即a十2b=1, .(a+2b)2026=1. 应用技巧专题配方法的应用 1.A 2.解：整理，得x2-12x=-4, 配方，得x2-12x+36=32,即(x-6)2=32, 开平方，得x-6=士4√2，即x=6±4√2， ∴x1=6+4√2，x2=6-4V2 3.B【解析】，M=2x2-7x+6,N=x2-3x+2, ∴.M-N=2x2-7x+6-(.x2-3x+2)=2x2-7.x+6 -x2十3.x-2=x2-4x十4=(x-2)2≥0， .M≥N. 4.解：A-B=x2+2x-6y-(-y2+4x-10) =x2-2.x+y2-6y+10 =x2-2x+1+y2-6y+9 =(x-1)2+(y-3)2. (x-1)2≥0，(y-3)≥0，.(x-1)2+(y-3)2≥0， .A一B≥0，即A≥B. 变式题解：b十c=5-4a+3a2,c-b=1-2a十a2, .∴.b+c+c-b=2c=4a2-6a+6,b+c-(c-b)=2b =2a2-2a+4,∴.c=2a2-3a+3,b=a2-a+2, .b-a=a2-a+2-a=(a-1)2+1>0,c-b=2a -3a+3-(a2-a+2)=a2-2a+1=(a-1)2≥0， ∴.b>a,c≥b,.a<b≤c. 5.解：(1)y2+10y+27=y2+10y+25+2=(y+5) 十2. ,(y+5)2≥0，.(y+5)2+2≥2， ∴.y2+10y+27的最小值是2. (2)8-m2+4m=-(m2-4m)+8=-(m2-4m+4) +4+8=-(m-2)2+12. -(m-2)2≤0，.-(m-2)2+12≤12， ∴.8-m2十4m有最大值，最大值为12. 6.A【解析】，x2+y2=2x+4y-5,.x2-2x+1十y -4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=0.又(x-1)月 ≥0，(y-2)2≥0，.x-1=0,y-2=0,解得x=1,y =2,.m=3.x+y=3×1+2=5. 7.D【解析】，a2+b2+c2=2a-4b+6c-14,∴.a2-2a +1+b2+4b+4+c2-6c+9=0, 即(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2=0,.a-1=0,b+2 =0,c-3=0,解得a=1,b=一2，c=3,∴.(ab)=[1× (-2)]3=-8. 8.-号【解折】+4x+4+9y-6y+1=(x+2)+ (3y-1)2,则x2+4x十4十9y2-6y十1是“完全式”， ∴.当S=x2+9y2+4x-6y十k为“完全式”时，k=5. 当S=0时，(x+2)2+(3y-1)2=0.:(x+2)2≥0， (3y-1)≥0，.x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y 则-=（》-5=兽 下册参考答案 、9