方法技巧专题 二次根式化简，求值的常用技巧等-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 二次根式化简、求值的常用技巧 题型① 公式法 题型④ 倒数法 1.计算： 4.计算： 6+√3+√2+2 (1)(5+√2)(5-√2)-(3+√2)2. 3+22+1 2(+2)-(-F月 题型⑤整体代入法 1 十十 )(1 √/2026+√/2025 5.(2025合肥月考)已知x=3+√2，求代数式 +2026). (11-62)x2+(3-√2)x+1的值. 题型② 约分法 √2+√3 2.计算 2+√6+√10+/15 题型⑥换元法 6.已知√16-x2-√4-x2=2√2，求16-x2 +√4-x2. 题型③ 平方法 3.计算：VW10+3+0-3 √10+1 下册第16章 方法技巧专题 二次根式中的大小比较 题型①平方法 3-√13 根据以上材料，利用作差法比较实数 4 1.在二次根式的计算和大小比较中，有时候用 “平方法”会取得很好的效果.例如：比较a= 与一4的大小 2√3和b=3√2的大小，我们可以把a和b分 别平方.a2=12,b2=18,a2<b2,.a <b. 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较大小：4√2 2√7（填“>” “<”或“=”). 3比较大小：多后和1 (2)猜想m=2√5+√6，n=2√3十√14之间 的大小，并证明你的猜想， (3)化简：W4p-8√p-1+√4p+8√p-1 题型③ 作商法 +比较大小得和。 题型② 作差法 题型④ 倒数法 2.课堂上，老师讲解了一道题：比较9-2与 3 5.已知a=√2-1，b=√3-√2，c=√6-2，试着 的大小.解法如下： 2 比较a,b,c的大小关系， 解：1西-2-2=19-2-2-19-4 3 3 3 :4-16<19.9>4,1-4>0, 3 19-22 33· 我们把这种比较大小的方法称为作差法.请 412 八年级数学HK版第2课时 二次根式的混合运算 1.D 2B【解式-√×压+√-5+ √3=3+3.√<3<4，.1<3<2，.4<3+√3 <5,即4到5之间. 3.解：(1)原式= 5-1-8-3-2+25)=5- 2 22 35+5=-+号 (2)原式=(4√3+12√3-205)÷√3-2=-4√3÷ √5-2=-4-2=-6. +5-√x号+5+6 (3)原式=写 1+8-85+2. 4.60 5.2025【解析】，m=√2040-4，.m十4=√2040- 4+4,即m+4=√2040，∴.(m+4)2=(√2040)2= 2040,.m2+8m+16=2040,.m2+8m=2024, ∴.原式=2024+1=2025. ◆一题多解法《 将m=√2040-4代入m2+8m+1中， 得（√/2040-4）2+8(2040-4)+1 =2040-8√2040+16+8/2040-32+1 =2025 6.解：(1)原式=4-23-(9-5)=4-2√5-4= -23. (2)原式=(5+√2)[(3+√2)(5-√2)]=√5+√2 (3)原式=(2+5)2-(5)2=5+2√6-5=2√6. 7.解：他的解法不正确，错在运算除法使用了分配律. 正确的解答过程如下： 原（+）- √15 15 15(√5-√3) 15× 15 5+√35+3 (5+√3)(W5-√3) =155-155 2 8.B【解析】原式=[（√3-2）×（√5+2）]20×(5-2) =(-1)2020×(√3-2) =1×(5-2)=3-2. 9.A【解析】大正方形的边长为2√3+√10-√3=√3+ √10，∴.空白部分的面积为（√5+√0）2一(12+10一 3)=2√/30-6. 10.2【解析】由题意，得(3※2)×(8※12)=（√3-√2） 44 八年级数学HK版 ×(W⑧+√12)=(W3-√2)×(2√2+23)=2×(3 -√2)×(W2+√3)=2×1=2. 11.一8【解析】：6-√2的整数部分是4，∴a=4,b=6- √2-4=2-√2，.ab2-ab=ab(b-a)=4×(2-√2) ×(2-√2-4)=-4(2-√2)(2+√2)=-4×2=-8. 12.解：)x+y=号m+2后+安T-分5 =√T; w-(分m+2)(合m-2)-共-号 =2. (2)①x2y+xy2=xy(.x+y)=2√1I. ②义+=+y=+y-2型 xy xy (√1T)2-2X27 -21 13.解：(1)长方形空地ABCD的周长为2×（√72+ √32)=2×(6√2+4√2)=20√2(m). (2)由题意，得种草莓的面积为√72×√32一 (/10+1)(√/10-1)=48-(10-1)=39(m), .销售收入为39×15×8=4680（元）. 14.解：(1)由题意，得通道的总面积为（√50+2）2-4（√7 +1)(7-1) =50+4+4√/50-4×6 =(30+20√2)m. (2)由(1)可知通道的总面积为(30+20√2)m, .购买地砖需要花费8×(30十20√2)=240+160√2 ≈240+160×1.41=465.6（元） 故购买地砖需要花费465.6元. 方法技巧专题二次根式化简、 求值的常用技巧 1.解：(1)原式=5-2-(3+2√6+2)=3-5-2√6=-2 -2√6. (2)原式=x+2+是-(x-2+）=4 (3)原式=（√2-1+√3-2+…+√2026一 √2025)(2026+1)=（√2026-1）（√2026+1） =2026-1=2025. √2+√5 2.解：原式= 2(2+√3)+5(2+3)√2+5 =5-2 3 3.解：设原式=x, 则x2=20+2√/10+3×√10-3_210+2 10+1 √10+1 =2. x>0, 原式=x=√2 4解设大-， 侧片后十后+ 1 1 =√3-√2+√2-1 =√5-1， 原式=x 1V3+1 √3-12 5.解：x=3十√2， x2=(3+√2)2=11+6√2， .(11-62)x2+(3-√2).x+1 =(11-62)(11+6√2)+(3-√2)(3+√2)+1 =121-72+9-2+1 =57. 6.解：设√16-x=a,√4-x=b, 则a-b=√16-x-√4-x=2√2，a2-b2=(16- x2)-(4-x2)=12. ”a-b=(a+b)(a-b)a+b=a2-b=12 a-b2√2 3√2，即√16-x+4-x=3√2. 方法技巧专题二次根式中的大小比较 1.解：(1)> (2)m<n. 证明：，m=25+√6，n=2√3+√14， .m2=(2√5+√6)2=20+6+4√30=26+4√30， n2=(2√5+√14)2=12+14+4√42=26+4√42. 又42>30，∴.m2<n2,∴.m<n. (3)4或4√p-1 2解3-(-)3+1上压 4 4 42=16>13,∴4>13，.4-√/13>0， 4E>03> 4 4 3解：号-6-(-1-号-6+1-6-56 2 52=25,(2√6)2=24，且25>24， 5-25>03-850号-6>-1 4.解：5÷3-5×826 484331: 4>8 5.解：a=√2-1，b=√3-√2，c=6-2, 后六+18形6+号 11 g红 1 3 :0<N2 +1<√2+1<5+√2， .0< 1<1<1 cCa<6…b<a<c. 章末对点导练 1.A2.D3.A4.4 5.3反【解析】由题意，得2x一6≥0 6-2x≥0， 解得x=3.把x= 3代入√2x-6+√6-2x+y=3,解得y=3, .√2xy=√2X3X3=3V2. 6.A7.B8.4 9.一2b【解析】由数轴可知a<-b<0<b,∴.a一b<0, ∴√a-√b-a-b) =|a|-|b1-la-b|=-a-b-(b-a)=-a-b-b 十a=-2b. 10.解：由三角形的三边关系，得3+5>c,5-3<c,即2 <c<8, ∴原式=-2-√任c-8 =1e-21-21c-81 1 =c-2-2(8-c) =2c-6 3 11.解：(1)2 (2)W(3-a)F+√a-7)2=l3-a|+|a-7l. 当a<3时，原式=3-a+7-a=10-2a=4,解得a =3(舍去)； 当3≤a≤7时，原式=a-3+7-a=4,符合题意； 当a>7时，原式=a-3+a-7=2a-10=4,解得a =7(舍去). 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. (3)W√(a+1)F+√a-5)7=|a+1|+|a-5. 当a<-1时，原式=-a-1十5-a=4-2a=10,解 得a=-3; 当-1≤a≤5时，原式=a十1十5-a=6,不符合 题意； 当a>5时，原式=a十1十a-5=2a-4=10,解得a =7.综上所述，a=-3或7. 12.B【解析】原式=2+√10.，3<√10<4，∴.5<2+ √10<6. 13.A【解析】三角形的周长为√⑧+√18+√32=2√2 +3√2+4√2=9√2(cm) 14.B【解析】，Q=IRt, 下册参考答案