精品解析：河北省邢台地区2025-2026学年高二上学期第四次联考数学试题

河北省邢台地区2025-2026学年高二上学期第四次联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的第9项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察分子为等差数列，通项，分母等于分子，且奇数项为正，偶数项为负，即可得出答案. 【详解】分子为等差数列，通项，；分母；奇数项为正. 故选：D 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件计算参数即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不满足题意， 所以. 故选：A. 3. 在四棱柱中，四边形是平行四边形，分别是棱的中点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算法则和中点性质求解目标向量即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为是线段的中点，所以， 由空间向量的加法法则得， 且， 可得. 故选：C 4. 在数列中，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先由数列的递推公式求出数列的前几项，观察发现数列的周期性，由周期性转化求解即可. 【详解】因为， 所以，，， ，所以数列具有周期性，周期为，所以， 故选：A 5. 在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出向量的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行计算即可. 【详解】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 垂直于轴的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则, 由于是的中点，所以. 所以， 所以. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图分析，由解得点的横坐标代入抛物线解得的坐标，从而得到直线的方程，联立抛物线的方程得到点的坐标，然后由两点间的距离公式求解即可. 【详解】过点的直线与抛物线交于两点， 如图，不妨设在第一象限， 因为，所以，，因为，所以点的横坐标为， 代入抛物线得：，所以，所以直线的斜率为：，过点， 故直线的方程为：， 联立方程组得：，解得或， 故，所以. 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】画出图分析可知是等腰三角形，即，为的中点，为的中点，所以，然后结合双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，延长，交于点， 因为是的平分线，且，所以与全等， 所以，为的中点，为的中点，所以， 由于双曲线的左、右焦点分别为， 所以，，所以双曲线的定义可知：， 所以，即， 所以. 故选：A 8. 某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意每月加工的零件数构成一个等比数列，然后将的不等式列出来，根据对数的性质求出的最小值即可. 【详解】由于每月加工的零件数构成一个等比数列，首项，公比. 那么由题意得. 化简得，对不等式两边取对数得，即. 因为，所以 因为为正整数，所以的最小值是12. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将一个椭圆绕其对称中心旋转，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆被称为“对偶椭圆”.已知椭圆是对偶椭圆，则该椭圆的短轴长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据“对偶椭圆”的定义计算即可. 【详解】因为椭圆是对偶椭圆，根据“对偶椭圆”的定义可得： 当时，则的焦点在x轴上， 由题意可得，解得，即. 此时该椭圆的短轴长为； 当时，则的焦点在y轴上， 则，解得，即. 此时该椭圆的短轴长为； 故选：AC. 10. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 有最小值3 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据数列的递推关系求出的通项公式，然后根据等差数列的性质逐项判断选项即可. 【详解】因为①，所以②， ②-①得. 所以数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列， 因为，所以. 所以，B正确， 所以，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列. 那么有，A错误， ， 当时，是关于n的增函数， 故当时，取最小值为，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 11. 一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球同时与正方体的三个面以及球相切，球同时与正方体的三个面以及球相切，以此类推，球同时与正方体的三个面以及球相切.设球的半径为，表面积为，体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件数列是以为首项，为公比的等比数列，可求通项公式，然后可求表面积、体积公式. 【详解】已知正方体棱长为2，球是正方体的内切球，则球的直径等于正方体的棱长，所以. 球同时与正方体的三个面以及球相切，可得， 到正方体一个面的距离为1，到正方体一个面的距离为， 则到在垂直于正方体面方向上的距离为，在水平方向上的距离为. 根据勾股定理可得，因为，解得. 同理可得， 数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故B不正确； 因为，，所以A正确； ， 所以成立，C正确； 因为， 所以， 因为数列是等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆的半径是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化简为标准形式，进而得到半径. 【详解】将圆的方程化简为. 所以圆的半径为. 故答案为：. 13. 设等差数列的前项和为，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先求出等差数列的公差，进而得到等差数列的前项和与通项公式，然后对所求表达式进行化简，根据单调性求出最小值. 【详解】因为等差数列的前项和为， 设公差为，则，化简得， 解得，所以，. 所以. 令，此函数为对勾函数，根据对勾函数的单调性可知， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 因为只能取整数，当时，；当时，； 即时取最小值为. 故答案为：. 14. 在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据面面垂直的性质可知，在平面内的投影为，的投影为，然后根据线面角的正切关系得，设，利用两点距离公式代入化简计算即可求得结果. 【详解】因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，同理平面. 因此，在平面内的投影为，的投影为. 由，根据线面角的正切关系得， 将代入化简得. 设，则. 由，两边平方. 展开并整理得， 化简得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，得到椭圆的标准方程， （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，弦中点可利用点差法直接求出直线的斜率，再结合点代入得到直线方程， 【小问1详解】 由题可知，，， ，所以椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，是线段的中点， ， ，两式相减， ， ， 故直线方程为： 16. 如图，在四棱锥中，平面平面. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）若的中点为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明: 因平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，因为平面，则， 又平面，平面. 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该线段与平面内的两条相交直线垂直，已知，即再证明即可. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面与平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面与平面夹角的余弦值即可. （3）先求出的坐标，然后根据向量的数量积公式求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，平面，而平面， 所以，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 在中，，根据勾股定理得. 所以， 所以， 由于平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则. 即，令，则，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，为的中点， 所以，则. 所以点到平面的距离为. 17. 设数列的前项和为，且. （1）证明：是等比数列. （2）求. 【答案】（1）证明: 当时，，所以，由于所以， 当时，，， 两式相减得：， 所以， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由求的方法求解得到，然后等号两边同时加，即可证明； （2）由（1）求出，然后由分组求和的方法利用等差数列与等比数列的求和公式，求前项和即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知，是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. 所以 18. 已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限. ①若，求直线的方程； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据实轴长求出，根据的最小值是5求出，从而得到双曲线的方程. （2）①分别考虑直线的斜率不存在和存在时，联立直线与双曲线渐近线方程求得坐标，然后根据已知条件列出等式求出直线的斜率，进而得到直线的方程；②分别考虑直线的斜率不存在和存在时，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理将面积的表达式列出来并进行化简，然后根据基本不等式的性质求出范围即可. 【小问1详解】 因为双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为， 所以，所以. 的最小值是5即当三点共线时，取最小值为. 因为，所以，解得. 所以，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知， 当直线的斜率不存在时，其方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，联立直线与渐近线方程得， 所以，因为双曲线的焦点坐标为， 所以，此时不满足题意，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与双曲线的渐近线方程联立得和， 解得和，所以. 因为，所以即，解得. 所以直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，其方程为，代入双曲线方程中得. 所以，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线方程联立得. 判别式，. 设，则. 由于，所以或. 所以 ， 令， 由于，所以. 所以， 所以. 综上，所以面积的取值范围为. 19. 用正整数排列成如图所示的数阵.记第行的所有数字之和为，第行的第个数为. （1）求； （2）求； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，可得出，即可得出答案； （2）分析可知、、、是公差为的等差数列，求出、，利用等差数列的求和公式可求得； （3）令，其中，求出、、、的值，再利用裂项求和法可求得的表达式. 【小问1详解】 由题意可知，数阵第行数的个数为，且第行最后一个数为， 故. 【小问2详解】 由题意可知、、、是公差为的等差数列， 且，， 故. 【小问3详解】 因为， 令， 令， 由， 可得， 整理可得， 所以，解得，所以， 所以 . 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台地区2025-2026学年高二上学期第四次联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的第9项是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3 3. 在四棱柱中，四边形是平行四边形，分别是棱的中点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 8. 某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若将一个椭圆绕其对称中心旋转，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆被称为“对偶椭圆”.已知椭圆是对偶椭圆，则该椭圆的短轴长可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 有最小值3 D. 11. 一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球同时与正方体的三个面以及球相切，球同时与正方体的三个面以及球相切，以此类推，球同时与正方体的三个面以及球相切.设球的半径为，表面积为，体积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆的半径是___________. 13. 设等差数列的前项和为，则的最小值是___________. 14. 在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）若的中点为，求点到平面的距离. 17. 设数列的前项和为，且. （1）证明：是等比数列. （2）求. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限. ①若，求直线的方程； ②求面积的取值范围. 19. 用正整数排列成如图所示的数阵.记第行的所有数字之和为，第行的第个数为. （1）求； （2）求； （3）若，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $