4.6 总体的平均数与方差的估计 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(湘教版·新教材)

该教案聚焦“总体的平均数与方差的估计”核心知识点，通过回顾平均数、方差的计算公式及作用搭建学习支架，衔接旧知与用样本估计总体的新知，梳理统计估计的意义与方法。 以工厂零件质量估计为案例，通过“议一议”“思考”环节引导学生自主探究，培养数据意识与推理能力，落实用样本估计总体的应用，助力学生提升统计思维，帮助教师高效开展统计教学。

山东绿卡凯尔文化传媒有限公司——《初中学霸创新题》 课题 第4章 4.6 总体的平均数与方差的估计 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 ①理解总体与样本的关系，认识并体会统计估计的意义，实施办法及在实际问题中的意义． ②理解用样本平均数、方差推断总体平均数与方差. 2.过程与方法目标 逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法． 3.情感、态度和价值观目标 培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反作用于实践的辩证唯物主义观点. 教学重点、难点、关键点 在理解样本与总体的关系的基础上，认识统计估计的意义，会用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，并应用于实际问题． 教学方法 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系.在前面几册的学习中，我们认识了全面调查和抽样调查，并系统学习了收集、整理、描述和分析数据这样一个数据处理的基本过程. 教学准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入 在前面的学习中，我们已经学过了有关总体、样本的定义，以及有关平均数、方差等的计算。我们今天将进一步探索统计的简单应用，在上新课之前，我们一起回顾下我们学过的知识： 1.平均数：计算公式：=(x1+x2+…+xn). 作用：反映一组数据的整体情况与整体水平，反映数据集中趋势的一项指标. 2.方差：计算公式：s²=[(x1-)²+(x2-)²+…+(xn-)²]. 作用：来衡量一组数据的波动大小，反映一组数据稳定性. 二、讲授新课 议一议：在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差.这种做法合理吗？ 简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理. 数学上已经证明： 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 例：某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度，把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 （1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值； （2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值. 解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作,方差记作. (1)= (238×1+241×5+244×9+247×19+250×24 +253×22+256×11+259×6+262×1+265×2) =250.6. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是250.6g. (2)= [(238-250.6)²×1+(241-250.6)²×5+(244-250.6)²× 9+(247-250.6)2×19+(250-250.6)²×24+(253-250.6)²×22+ (256-250.6)2×11+(259-250.6)²×6+(262-250.6)²×1+(265- 250.6)²×2]=26.82. 于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是26.82. 思考：在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268 零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1 比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定？ 把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本. 由上例可知，这个样本的平均数是250.6，方差为26.82.于是甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是250.6 g，方差的一个估计值是26.82. 把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本. 于是这个样本的平均数为 = (236×2+240×7+242×8+245×16+250×23 +252×21+254×12+256×7+260×3+268×1) =249.38. 方差为 = [(236-249.38)²×2+(240-249.38)²×7+(242-249.38)²× 8+(245-249.38)2×16+(250-249.38)²×23+(252-249.38)²×21+ (254-249.38)2×12+(256-249.38)²×7+(260-249.38)²×3+(268- 249.38)²×1]≈31.18. 于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249.38 g，方差的一个估计值是31.18. 由于26.82<31.18，因此甲车间试生产的零件质量更稳定. 三、课堂小结 （1）知识内容小结：要点由学生共同来总结。 （2）学习方法小结：用样本估计总体和平均数，用到的知识点是平均数的计算公式= (x1+x2+x3+…+xn)，频率＝频数÷总数，用样本估计整体数量，用总体容量×样本的百分比即可. 对于样本平均数的理解和应用，用样本平均数去估计总体平均数，要注意所选取的样本应为简单随机样本. 四、板书设计 4.6 总体的平均数与方差的估计 教学设计反思 本堂课的新课内容相对较容易，新授的内容不多，知识学习了在统计中，可以用简单随机样本中的平均数或方差来估计总体的平均数或方差，所以，多数知识可以交由学生自主学习或小组讨论获得。但相当一部分学生可能对平均数与方差的计算方法已经生疏，因此，本节课安排了较多的计算来帮助学生巩固。主要是平均数、方差等的计算内容的复习。由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数和方差分别去估计总体的平均数和方差。 学科网（北京）股份有限公司 $