3.5 一次函数与二元一次方程的关系 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(湘教版·新教材)

该教案聚焦“一次函数与二元一次方程的关系”核心知识点，通过问题链导入，从解方程2x+20=0、函数y=2x+20值为0时x的值、函数图象与x轴交点三个问题，搭建一次函数与一元一次方程的联系支架，引出新课探究。 此资料以“问题驱动-探究发现-应用巩固”为主线，通过议一议分析方程解与函数图象点的对应关系，培养学生几何直观与抽象能力（数学眼光），例题中用图象法求方程解，强化推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言），助力学生深化数形结合理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

课题 第3章 3.5 一次函数与二元一次方程的关系 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1.用一次函数观点认识一元一次方程； 2.掌握一次函数与二元一次方程的关系，会利用图象法求二元一次方程的解； 3.掌握求一次函数与坐标轴的交点的方法； 4.进一步理解方程与函数的联系，加深理解数形结合思想． 二、过程与方法 1．在对作图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化； 2.学习用函数的观点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想. 三、情感、态度与价值观 经历了方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想. 教学重点、 难点 教学重点：1.二元一次方程和一次函数的关系； 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程的近似解. 教学难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.问题导入 问题1：解方程2x+20=0. 问题2：当x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 问题3：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点. 思考：（1）问题1与问题2有什么关系? （2）问题1与问题3有什么关系? 通过以上的问题，我们可以发现一次函数与一次方程有着紧密的联系，那么，这节课就让我们一起来探讨它们之间的联系吧！ 2.讲授新课 1.一次函数与二元一次方程 议一议：(1)(4，1)与(1，7)是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个. (2)给定一个二元一次方程2x+y-9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ （1）由七年级知识可知，(4，1)和(1，7)都是二元一次方程2x+y-9=0的解，并且这个方程有无数个解，如(-1，11)，(0，9)，等等. （2）对于二元一次方程2x+y-9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x+9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y-9=0的形式. 思考：(1)一次函数y=-2x+9的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？ (2)以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗? 我们知道二元一次方程x+y=5的解有无数组，以这些解为坐标的点在一次函数y=5-x的图象上.将方程x+y=5化成一次函数的形式：y=5-x，易知该一次函数的图象上任意一点的坐标也满足方程x+y=5. (1)如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为(c，-2c+9)，其中c为任意实数.由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y-9=0的解. (2)又二元一次方程2x+y-9=0的所有解都可以表示为(c，-2c+9)，其中c为任意实数，而所有点(c，-2c+9)都在一次函数y=-2x+9的图象(一条直线)上，如图所示，于是以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象. 一般地，一次函数y=kx+b图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程kx-y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线. 对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)，其任意一个解都满足一次函数у=，因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y=的图象上.反之，一次函数y=的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解. 由此可知：在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y=的图象. 例1：在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. 解：由-2x+3y-6=0可得一次函数y=x+2， 从而当x=0时，y=2， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出A(0，2)，B(3，4)两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数y=x+2的图象，从而它是二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线. 给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y=kx+b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.由于一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx-y+b=0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx-y+b=0表示的直线. 例2：如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，-2)，Q(-4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 解：设直线PQ是一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象. 因为点P(0，-2)和点Q(-4，5)都在该函数的图象上，所以解得 因此，直线PQ是一次函数y=x-2的图象，从而它是二元一次方程x+y+2=0表示的直线. 议一议：关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 一次函数y=kx+b的图象上任一点的坐标是(c，kc+b).由于函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0.因此交点的横坐标满足kx+b=0，于是c=，从而一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是(，0). 因此，关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标为(，0) 3.课堂练习 1.下列图象中，以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图象是(　) A B C D 解析：可以有多种解法：方法一，由方程y-2x-2=0得函数y=2x+2，由函数性质得一次函数y=2x+2过一、二、三象限，所以此题选C；方法二，求出y=2x+2与两坐标轴的交点坐标，从图象上判定；... 解：（以方法二为例）方程y-2x-2=0可化为y=2x+2当x=0时，y=2当y=0时，x=-1可知函数图象过（0，2）和（-1，0）故选C． 方法总结：此题考查方程与函数的关系，由于任何一元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当函数值确定时，求与之对应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值．也可用一次函数图象与坐标轴的交点坐标来求所对应的方程的解． 2.一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为(　) A．x=-1 B．x=2 C．x=0 D．x=3 解析：因为函数y=kx+b的图象经过点(2，3)(0，1)， 所以解得k=1，b=1. 所以一次函数解析式为y=x+1， 由x+1=0，解得x=-1，故选：A. 方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 3.直角坐标系中有两条直线：y=x+，y=-x+6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B. (1)求A、B两点坐标； (2)用图象法解方程组； (3)求△PAB的面积． 解析：(1)分别令y=0，求出x的值即可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解：(1)令y=0，则x+=0，解得x=-3，所以点A的坐标为(-3，0)， 令-x+6=0，解得x=4，所以点B的坐标为(4，0). (2)如图所示，可知：P（2，3），所以方程组的解是x=2，y=3； (3)AB=4-(-3)=4+3=7，△PAB的面积为×7×3=. 方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解． 4.课堂小结 1.一次函数与一次方程 前提 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转换为kx+b=0（k，b为常数，k≠0）的形式 一元一次方程kx+b=0的解一次函数y=kx+b中y=0时，对应的x值 一元一次方程kx+b=0的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标 2.解题策略 一次函数与二元一次方程组的联系 任何一个二元一次方程都可以看作一次函数，反过来，任何一个一次函数表达式都是二元一次方程，从而一次函数的图象（直线）上点的坐标就是二元一次方程的解；进一步说，任何一个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就对应两条直线.从数的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时两个函数的值相等，以及求该函数值.反映在图象上，解方程组相当于求两条直线的交点坐标. 5.板书设计 一次函数与一次方程 1．一次函数与一元一次方程的联系 2．应用一次函数与一次方程解决实际问题 教学设计反思 对于实际问题中数量之间的相互关系，可以用函数的思想去进行描述，研究其内在联系和变化规律．同时让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x轴交点的横坐标就是其对应的一次方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $