精品解析：山东师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期1月适应性训练数学试题

机密★启用前 2026年1月山东师大附中高一年级适应性训练试题 数学学科 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 满足的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）. A. B. C. D. 4. 下列函数中，最小值为的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数， 若， 则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上为增函数 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程仅有5个实数解 11. —般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“跟随区间”，则 B. 函数存在“跟随区间” C. 若函数存在“跟随区间”，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简求值____________. 13. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 14. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）已知函数，当，时，求函数的最大值（用含参数m的分段函数表示）． 16. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 17. 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）若，求的值； （2）求函数，的单调递增区间. 19. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对于给定的常数，是否存在实数，使得函数的图象关于直线对称，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； （3）当时， 比较与 的大小，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年1月山东师大附中高一年级适应性训练试题 数学学科 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：C 2. 满足的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【详解】解：不等式， ，解得， 故不等式的解集为：， 则其一个充分不必要条件可以是， 故选：． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 4. 下列函数中，最小值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AC选项；利用指数函数的基本性质可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为，A满足条件； 对于B选项，因为，则，即函数无最小值，B不满足条件； 对于C选项，当时，，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 但，故等号不成立，即，C不满足条件； 对于D选项，因为函数在上单调递增， 故当时，，D不满足条件. 故选：A. 5. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义和诱导公式即可判断. 【详解】由题意，得，， 则与终边相同的是. 故选：B 6. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故. 故选：A. 7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质求出半径，再利用扇形和三角形的面积公式计算. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，，则，， 则，， 则该弧田的面积为. 故选：D 8. 已知函数， 若， 则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得， 又由，所以函数为奇函数， 令，可得函数为单调递减函数， 根据复合函数的单调性，可得函数为定义域上的单调递减函数， 因为，即， 则满足，解得. 故选：B. 【点睛】求解函数不等式的方法： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上为增函数 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程仅有5个实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，对称性以及周期性逐一判断选项即可得到答案. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，即，则， 即，于是，函数是周期为的周期函数， 对于A，当时，，，A错误； 对于B，在上单调递增，由，知图象关于点对称， 则在上单调递增，即函数在上单调递增，因此在上单调递增，B正确； 对于C，由及，得，即， 因此函数图象关于点对称，C正确； 对于D，当时，，由函数图象关于点对称， 知当时，，则当时，， 由，知函数图象关于直线对称，则当时，， 于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为， 方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图， 观图知，与图象在上有且只有3个公共点，而当时，，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D错误. 故选：BC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 11. —般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“跟随区间”，则 B. 函数存在“跟随区间” C. 若函数存在“跟随区间”，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 【答案】CD 【解析】 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【详解】对于A选项，因为在其“跟随区间”单调递增， 由“跟随区间”的定义可知，解得或（舍去），故A选项错误； 对于B选项，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间，则有，即为的两根． 即的根，而，故方程无解，故B选项错误； 对于C选项，函数在其定义域上单调递减. 若函数存在“跟随区间”，则有， 即 ，两式作差得：， 所以， 又因为，所以，即，所以， 而，不妨设，， 所以只需，，所以，故C选项正确； 对于D选项，假设存在“3倍跟随区间”， 又在“3倍跟随区间”上单调递增，由“3倍跟随区间”的定义可知， 解方程得或， 故 存在“3倍跟随区间”使得其值域为，故D选项正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：理解新定义以及合理转换已知条件是解决问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简求值____________. 【答案】-11 【解析】 【分析】根据指数幂和对数运算法则进行运算即可. 【详解】 故答案为：-11 13. 若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设知：，根据正切函数的性质求解最值，即可求得a的取值范围. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示. 由，得或. 当时，有3个零点； 要使函数有7个零点， 则当，即时，曲线与直线有4个交点， 结合图象可得，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为有解，即或，作出函数的大致图象，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）已知函数，当，时，求函数的最大值（用含参数m的分段函数表示）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）三角恒等变换“1”的代换，把分母代换为，同除以，化简. （2）分类讨论对称轴与的位置关系，求出最大值. 【详解】（1）由已知得 . （2）开口向下，对称轴为， ①当时，在区间单调递增， 则； ②当，即时， 在区间单调递增，在区间单调递减， 故； ③当，即时，在区间单调递减， 故； 综上，的最大值. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【小问1详解】 由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. 【小问2详解】 当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 17. 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种： ①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额） 【答案】（1），（，且），从第3年开始盈利 （2）方案①比较合理，理由如下： 当且仅当，即时等号成立， 故第7年，年平均盈利额达到最大值， 工厂共获利万元； 由， 当时，， 故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短， 故方案①比较合理. 【解析】 【分析】（1）首先确定维修费用：代入首年费用求，再构建盈利函数，盈利 = 总收入 - 总支出，最后求开始盈利年份，解，最后答案取整数。 （2）方案①：用基本不等式解得最大值，方案②：用二次函数顶点在求最大值,然后两个比较求出最合理的方案. 【小问1详解】 由题意可得，，代入得，解得， 所以 所以，（，且） 令，解得， 因为，所以， 故从第3年开始盈利. 【小问2详解】 方案①比较合理，理由略. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）若，求的值； （2）求函数，的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据图象求出的解析式，然后用二倍角公式计算. （2）代入化简，然后用整体法求出单调区间. 【小问1详解】 由图象可知， 所以， 又由已知得，，解得， 又，所以， 所以 因为，所以， 所以 【小问2详解】 因为 令 解得，结合， 所以所求单调递增区间为 ,. 19. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对于给定的常数，是否存在实数，使得函数的图象关于直线对称，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； （3）当时， 比较与 的大小，并给出证明. 【答案】（1） （2）存在， （3）相等，证明如下： . 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求； （2）假设存在满足条件，由次可得函数为偶函数，结合偶函数性质列方程求； （3），展开结合指数幂运算及性质证明结论. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以， 故， 所以， 因此， 【小问2详解】 存在. 假设函数的图象关于直线对称， 则函数为偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因此当时，使得函数的图象关于直线对称； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $