精品解析：新疆喀什地区疏勒县2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高二数学 考试范围：选择性必修一 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 3. 抛物线C：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A B. 2 C. D. 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 点在圆外 C. 若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D. 若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系结论中，正确的有（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 直线方向向量，平面的法向量是，则或 11. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 13. 若圆与圆（）外切，则______. 14. 已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，以为直径圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 18. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 19. 已知点是离心率为的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高二数学 考试范围：选择性必修一 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系定义，结合关于坐标平面的对称点的特点，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点， 可得点关于平面对称的点的坐标是. 故选：D. 2. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 3. 抛物线C：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，得到，求出准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为， 抛物线C的焦点在x轴的负半轴上且，故其准线的方程为. 故选：D. 4. 如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 5. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则最小值为6． 故选：C 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B． 8. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 点在圆外 C. 若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D. 若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量坐标关系，可得，即可判断A的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断B、D的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断C的正误. 【详解】选项A：因为，所以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以或，故B错误； 选项C：因为，所以，所以，故C正确； 选项D：因，所以， 所以或，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知四点共面，结合四点共面的推论运算求解. 【详解】若，，共面，则四点共面， 因为，则，解得. 故答案为：. 13. 若圆与圆（）外切，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用外切时两圆心距离等于半径之和可解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 解得. 故答案为：4. 14. 已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由为直径求出圆心与半径，即可得到圆的方程； （2）先判断点在圆上，由求出直线的斜率，从而求得直线方程，再求点，利用即可求出的面积. 【小问1详解】 因为，，所以中点为，， 又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，圆的圆心到点的距离为， 故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，， 则，故切线方程为，即， 令，解得，则得， 故. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面， 再由线面垂直可证面面垂直； （2）如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程. 【小问1详解】 由题，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或. 18. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及，结合抛物线定义求，得到方程； （2）设直线，由求出，由求解. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 设过点的直线的方程为， 由得， 设，则， 所以， 解得， 所以 19. 已知点是离心率为的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 【答案】（1） （2）直线和的斜率之积为定值； （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及过点即可求出椭圆方程； （2）设，可得，从而可得，即可求解； （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为； 小问2详解】 依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $