精品解析：甘肃省兰州市第五中学2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

兰州第五中学2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（33分） 1. 如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：A． 2. 某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的应用．根据，可得结论． 【详解】解：物体对地面的压强与受力面积S之间的函数解析式， ∴该函数图象位于第一象限． 故选：A． 3. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（    ） A. 6 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4. 二次函数写成形如的形式，则m，n的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式．将二次函数化为顶点式得到m，n的值即可． 【详解】解：∵ ， ∴，。 故选： B ． 5. 如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据坡面坡度等于即可得出答案． 本题考查了坡度的定义，坡度， 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴桥的坡面AC的坡度， 故选D． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式． 利用一元二次方程的定义和根的判别式，要求二次项系数不为零且判别式大于等于零． 【详解】解：∵方程是一元二次方程，且有实数根， ∴且， ， 解得， 又∵， ∴且． 故选：B． 7. 如图，菱形中，分别是的中点，若菱形的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，周长可得，根据分别是的中点，可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 8. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； 故选：D． 9. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 10. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点个数，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断⑤． 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ②∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与x轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，则，故④正确； ⑤∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线，， ∴，故⑤不正确， 综上：正确的有②③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系． 11. 如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设，先解直角三角形可得，从而可得，，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为30， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用，正确求出的面积的函数表达式是解题关键． 二、填空题（12分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 13. 已知，则的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质的计算是关键，通过设比例常数为 ，表示出 的值，然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：设 ，则 ，，（）， 代入 得： 分子：， 分母：， 所以 ； 故答案为． 14. 某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是______米． 【答案】#### 【解析】 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，米， 根据实际高度和影长成正比例，得出， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故答案为：． 15. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， 直线轴， ，B两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， 又点在反比例函数的图象上， 当，，即点坐标为， ， ． 故答案为：3． 三、解答题（75分） 16. 解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算与解一元二次方程． （1）根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质，进行计算即可求解 （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （2）点P为y轴上一点，求的最小值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 所以点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，勾股定理，解题的关键是注意位似中心及相似比、． （1）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点，连接即可； （2）由两点之间线段最短可知，作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，点P即为所求，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，如图，则， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∵2， ∴的最小值为． 18. 2025年暑期档电影涵盖了多种类型，给观众带来了丰富的观影体验．为了丰富孩子们的暑假生活，小豆爸妈准备带小豆和妹妹去看电影，将电影《南京照相馆》《东极岛》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》制作成四张卡片，这些卡片除内容外其余均相同，洗匀后背面朝上放置，小豆抽取一张记下内容后放回，再次洗匀后背面朝上放置，妹妹也抽取一张． （1）小豆随机抽取一张卡片，所抽卡片上的电影是《南京照相馆》的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小豆和妹妹所抽取的两张卡片上是同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键． （1）根据列举法确定抽一张卡片的所有可能和抽到《南京照相馆》的可能数即求； （2）列表找出所有可能的结果和两人抽到两张卡片是同一部电影的结果数，然后根据概率公式即可求出． 【小问1详解】 小豆随机抽取一张卡片，所抽卡片上的电影是《南京照相馆》的概率是； 【小问2详解】 记《南京照相馆》为A，《东极岛》为B．《长安的荔枝》为C．《浪浪山小妖怪》为D． 列表如下： 小豆 妹妹 A B C D A B C D 一共有16种等可能的结果，其中小豆和妹妹所抽取的两张卡片上是同一部电影的结果有4种， 所以，抽取的两张卡片上是同一部电影的概率为． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，与y轴交于点C． （1）求m，n的值； （2）结合函数图象直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． 【小问2详解】 解：根据图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方或相交， ∴的解集为：或． 【小问3详解】 解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得 ∴，即， 连接， ∴． 20. 2025年第十五届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地首次联合承办，其吉祥物“喜洋洋”以一级保护动物——中华白海豚为原型正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 【答案】网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键． 根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元．由题意，得： ， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元 ∴，即， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W最大，为， ∴网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元． 21. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，证明，再证明得到，证明四边形是平行四边形，结合，可证明四边形是菱形； （2）设，则，根据四边形是正方形， 得到，故，求得（舍去）， 故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当的长为时，四边形是正方形． 理由如下：∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴当的长为时，四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22. 万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处． 2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且． 3.在点处测得塔顶的俯角为． 4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 【答案】的高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．延长交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，求出，在中，根据三角函数求出结论即可． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由题意得：四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 解得：． 答：的高度为11.6米． 23. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，为的中点，求的长． 【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，据此即可求证； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 24. 贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 25. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2）；互为倒数 （3）和 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案． 【小问1详解】 解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于方程， ， 解得：， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；互为倒数； 【小问3详解】 解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”的两根为， 则方程的两根， 即， 整理方程得， ∴关于的方程的两根为和． 26. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 【答案】 （1）解：当时，是等腰直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵沿着折叠， ∴，， ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）的长为； （3）的长度为或4cm． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状； （2）证明，由相似三角形的性质，可得的长； （3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可得， ∵， ∴． ∴，，三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得，． ∴的长为． （3）解：∵沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， 分两种情况： 情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， 情况，如图，当点在上时，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点与点重合（如图）， 答：的长度为或4cm． 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州第五中学2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（33分） 1. 如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（    ） A. 6 B. C. 16 D. 4. 二次函数写成形如的形式，则m，n的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，一座高的过街天桥，天桥的坡面的长为，则天桥的坡面的坡度为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 如图，菱形中，分别是的中点，若菱形的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 9. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A. B. C. D. 10. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 二、填空题（12分） 12. ______． 13. 已知，则的值______． 14. 某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是______米． 15. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，，则的面积为__________． 三、解答题（75分） 16. 解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （2）点P为y轴上一点，求的最小值． 18. 2025年暑期档电影涵盖了多种类型，给观众带来了丰富的观影体验．为了丰富孩子们的暑假生活，小豆爸妈准备带小豆和妹妹去看电影，将电影《南京照相馆》《东极岛》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》制作成四张卡片，这些卡片除内容外其余均相同，洗匀后背面朝上放置，小豆抽取一张记下内容后放回，再次洗匀后背面朝上放置，妹妹也抽取一张． （1）小豆随机抽取一张卡片，所抽卡片上的电影是《南京照相馆》的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小豆和妹妹所抽取的两张卡片上是同一部电影的概率． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，与y轴交于点C． （1）求m，n的值； （2）结合函数图象直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 20. 2025年第十五届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地首次联合承办，其吉祥物“喜洋洋”以一级保护动物——中华白海豚为原型正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 21. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形． 22. 万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处． 2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且． 3.在点处测得塔顶的俯角为． 4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 23. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，为的中点，求的长． 24. 贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 25. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 26. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $