第10讲 一元二次方程的解法（第3课时 二次项系数不为1）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第10讲 一元二次方程的解法（第3课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程 用配方法解一元二次方程的步骤 (1)化：将原方程化成一元二次方程的一般形式，且使二次项系数化为1。 (2)移：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 (3)配：配方，方程两边同加上一次项系数一半的平方，将方程的左边配成完全平方式。 (4)开：若方程的右边是非负数，则用开平方法求解，解出一元二次方程的两个根；若方程的右边是负数，则原方程无实数根。 注意：（1）用配方法解一元二次方程的关键是化二次项系数为1后，在方程左、右两边同加上一次项系数一半的平方，使含未知数的一边成为完全平方式。 （2）一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别 一元二次方程的配方是方程的两边同时除以二次项系数a,而二次三项式的配方是提取二次项系数a,要注意区分。 知识点2：求二次三项式的最值 将二次三项式提取二次项系数，得到，并将括号中的式子进行配方，即加上，但要注意同时在括号外减去. （1）当a为正数时，有最小值，最小值为； （2）当a为负数时，有最大值，最大值为； 【题型1 用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程】 例1．用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 变式1．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【题型2 求二次三项式的最值】 例2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 变式1.（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【题型3 配方法求解一元二次方程的问题探究】 例3．以下是小姜与小林分别解一元二次方程的结果，他们做的对吗？回答下列问题： 小姜 小林 解： ......① ......② ......③ ......④ ......⑤ 解得：， ......⑥ 解： ......① ......② ......③ ......④ ......⑤ 解得：， ......⑥ （1）王老师说小姜和小林的计算过程均有错误，分别指出他们错在哪一步。 （2）请你正确求解一元二次方程 例4．换元法是数学中非常重要的运算技巧。比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以。即，解得，。认识了换元法，我们来解决下列问题： （1）用换元法求解方程：。 （2）已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解。 变式1.“做题接龙”是课上王老师经常玩的数学游戏，今天王老师让学生解一题一元二次方程，每人做一个步骤，最终结果如下：解： ① ② ③+4 ④ ⑤ ⑥， 以上步骤有哪一步出错了？请指出来，并正确求解原方程。 变式2. 用换元法解方程： 1．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 6．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是 ． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）若代数式与的值互为相反数，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·湖南常德·月考）代数式的最大值 ． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 10．用配方法解方程： （1）． （2） （3） 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：求二次三项式的最小值． 解：， ， 即的最小值是2．试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点P在边AC上以2的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上以1的速度从点C向点B移动．若点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元二次方程的解法（第3课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程 用配方法解一元二次方程的步骤 (1)化：将原方程化成一元二次方程的一般形式，且使二次项系数化为1。 (2)移：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 (3)配：配方，方程两边同加上一次项系数一半的平方，将方程的左边配成完全平方式。 (4)开：若方程的右边是非负数，则用开平方法求解，解出一元二次方程的两个根；若方程的右边是负数，则原方程无实数根。 注意：（1）用配方法解一元二次方程的关键是化二次项系数为1后，在方程左、右两边同加上一次项系数一半的平方，使含未知数的一边成为完全平方式。 （2）一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别 一元二次方程的配方是方程的两边同时除以二次项系数a,而二次三项式的配方是提取二次项系数a,要注意区分。 知识点2：求二次三项式的最值 将二次三项式提取二次项系数，得到，并将括号中的式子进行配方，即加上，但要注意同时在括号外减去. （1）当a为正数时，有最小值，最小值为； （2）当a为负数时，有最大值，最大值为； 【题型1 用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程】 例1．用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ， ， 或 解得：，； （2）解： ， ， 或． 解得：，． (3)解： 解得：， 变式1．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】(1)解： 解得； (2)解： ， ， ， ， ， ， 解得：， ． (3)解： 解得：， ． 【题型2 求二次三项式的最值】 例2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)1，小，3 (2)，大，1 (3)矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当，即时，，值最小； 故答案为：1，小，3； （2）∵， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值为1； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，则另一边的边长为， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大为， ∴当矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为． 变式1.（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【详解】（1）解： ， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为，窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 【题型3 配方法求解一元二次方程的问题探究】 例3．以下是小姜与小林分别解一元二次方程的结果，他们做的对吗？回答下列问题： 小姜 小林 解： ......① ......② ......③ ......④ ......⑤ 解得：， ......⑥ 解： ......① ......② ......③ ......④ ......⑤ 解得：， ......⑥ （1）王老师说小姜和小林的计算过程均有错误，分别指出他们错在哪一步。 （2）请你正确求解一元二次方程 【答案】（1）小姜错在第③步；小林错在第③步。 （2）， 【详解】（1）小姜错在第③步，应加上而不是；小林错在第③步，只左边加了，右边没有加。 （2）解： 解得：， 例4．换元法是数学中非常重要的运算技巧。比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以。即，解得，。认识了换元法，我们来解决下列问题： （1）用换元法求解方程：。 （2）已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解。 【答案】（1）， （2）或或或 【详解】（1）解：设，原式变为：。 解得：，，因为t≥0，所以t=7，即|x+1|=7，解得：，. （2）设x+y=m，原式为 解： 解得：，，因为x和y都是正整数，所以m=x+y=5， 所以x和y的解为或或或. 变式1.“做题接龙”是课上王老师经常玩的数学游戏，今天王老师让学生解一题一元二次方程，每人做一个步骤，最终结果如下：解： ① ② ③+4 ④ ⑤ ⑥， 以上步骤有哪一步出错了？请指出来，并正确求解原方程。 【答案】第②步出错，正确答案：， 【详解】第②步出错，两边同时除以﹣2，则右边常数变成，而不是。正确的解答过程如下： 解： +4 ， 变式2. 用换元法解方程： 【答案】， 【详解】设，则原方程为 解： 解得：， ①当时，，解得：， ； ②当时，＜0，所以方程无解。 综上所述，方程的解为：， . 1．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 6．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是 ． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 系数化为1，得， 配方，得， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）若代数式与的值互为相反数，则的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：由题意，得， 即， 移项，得， 两边同除以，得， 配方，得 ， 解得． 故答案为：或 8．（25-26九年级上·湖南常德·月考）代数式的最大值 ． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 10．用配方法解方程： （1）． （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【详解】（1）解：原方程为， 两边同除以得， 移项，得， 配方，两边加上，得， 即， 开平方，得， 解得； 所以原方程的根为：，． （2）解： ， ， ， ， 解得：，． （3）解： 解得：， 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；等式两边没有同时加4 (2)见解析 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； （2）解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：求二次三项式的最小值． 解：， ， 即的最小值是2．试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点P在边AC上以2的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上以1的速度从点C向点B移动．若点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3)5 【详解】（1）解：， ∴的最小值是4； （2）解：，理由如下： ∵ ， ； （3）解：由题意得：，， ， ∴当时，S的最小值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $