四川省成都市龙泉驿区师一中学2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年四川省成都市龙泉驿区师一中学九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（每小题4分，共32分） 1．（4分）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）已知1是方程x2+kx+k+1＝0的一个根，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 3．（4分）下列各点中，在反比例函数y图象上的点是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣2，1） D．（2，1） 4．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形 B．当∠DOA＝90°时，平行四边形ABCD是菱形 C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形 D．当AC⊥BD且AO＝CO时，平行四边形ABCD是正方形 5．（4分）在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在0.6左右，则袋子里白球的个数估计是（　　） A．16 B．14 C．12 D．8 6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 7．（4分）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为76m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门口（如图）．设垂直于墙的长方形边长为xm，则下列方程正确的是（　　） A．x（78﹣3x）＝480 B．x（74﹣3x）＝480 C．x（78﹣2x）＝480 D．x（74﹣2x）＝480 8．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1．当时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 二．填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）若，则的值等于　 　 ． 10．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　 　 ． 11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，已知点B（﹣1，0），C（4，﹣2），D（2，0），则点A的坐标是　 　 ． 12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，点E为BC中点，DE与对角线AC交于点F，则线段FC长为　 　 cm． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　 　 ． 三．解答题（共48分） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程；3x2＝4x﹣1． 15．（8分）近期，国产AI大模型deepseek的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着deepseek等中国AI大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球AI领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产AI大模型deepseek应用场景的了解情况，在全校学生中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）在全校学生中抽取了　 　 位展开随机调查；扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为　 　 °； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产AI大模型deepseek应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率． 16．（8分）九年级（3）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯（Q点）距地面6.4米，小艺在距路灯的底部O点15米的A点时，测得此时他的影子AP的长度为5米．小艺沿AO方向行走8米到B点时，即AB＝8米，此时的影子为BN． （1）求小艺的身高； （2）小艺在B点时，影子BN的长度较原影子AP的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 17．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）若CD＝4，BC＝3，求DF的长； （2）求证：EF平分∠DFB； （3）在BC上截取CG，使AF＝2CG，求的值． 18．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与反比例函数的图象交于A，B两点，已知B点的纵坐标为﹣1． （1）求反比例函数解析式与点A的坐标； （2）点T为第二象限内反比例函数图象上一点，△ABT的面积为，求T点的坐标； （3）如图2，将双曲线第四象限的一支沿射线BA平移使其经过点A，平移后的曲线与双曲线第二象限分支另一个交点为C，求AC的长度． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．（4分）已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为　 　 ． 20．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝ 　 　 ． 21．（4分）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上，已知BD∥x轴，点A的横坐标为﹣3，则m+n的值为　 　 ． 22．（4分）任意一个三位数M，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：M＝234，因为2+4＝2×3所以234是“双倍快乐数”．则最小的“双倍快乐数”为　 　 ；若是一个“双倍快乐数”，且使关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，设，若F（N）+N能被6整除，则所有满足条件的N的和为　 　 ． 23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC的中点，E，F，G分别为线段AD，线段BD和线段CB上的动点（E，F，G均不与线段端点重合），，点P为线段EF的中点，将线段AG绕点A顺时针旋转至线段AH，使得旋转角∠GAH＝∠BAC，则线段PH的最小值为　 　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）贴福字和春联是春节的传统习俗，随着春节的临近，年货市场热闹非凡．某商家购进了一批福字贴和春联作为主打年货．商家花了1600元购进福字贴，又用1200元购进了春联．每张福字贴的进价比每副春联少2元，而且福字贴的购进数量是春联的2倍． （1）商家购进福字贴和春联的进价分别是多少？ （2）在销售过程中，商家发现春联售价为每副12元时，平均每天能卖出30个．为了吸引更多顾客，商家决定采取降价促销策略．据观察，春联的售价每降低1元，平均每天就能多卖出10个．为了尽快销售去库存，同时商家还要确保每天销售春联的获利达到200元．那么，请问商家应该将每副春联的售价定为多少元？ 25．（10分）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于C（m，3），D两点． （1）求m的值及反比例函数的解析式； （2）连接OC，OD，求△OCD的面积； （3）将线段AB沿直线AB平移后得到A1B1，在反比例函数图象上是否存在点P，使得△B1A1P∽△ABO？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 26．（12分）如图，在△ABC中，，BC＝4，∠ACB＝45°，P为平面内一点，且满足△APC≌△DCE，点A在线段CD上，CE与AP交于点F，连接EP． （1）如图1，当P与B重合时，AF与DE的位置关系是　 　 ；∠AFC＝　 　 °；设∠ACF＝α，则∠CEP＝　 　 （用含α的式子表示）； （2）如图2，在（1）问条件下，射线CD与射线PE交于点G，求的值； （3）如图3，过点B作直线l垂直于BC，点P1，P2在l上，若∠P1AC＝75°，∠P2AC＝120°，当P在l上从P1运动到P2时，求点F运动路径的长度． 2025-2026学年四川省成都市龙泉驿区师一中学九年级（上）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D C C A C 一．选择题（每小题4分，共32分） 1．【答案】D 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：U型磁铁从上面看的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，D图符合． 故选：D． 2．【答案】B 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+kx+k+1＝0中得：1+k+k+1＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+kx+k+1＝0中得：1+k+k+1＝0， 解得：k＝﹣1， 故选：B． 3．【答案】C 【分析】将各选项坐标代入解析式可求解． 【解答】解：当x＝﹣4时，y，故（﹣4，2）不在反比例函数y图象上； 当x＝﹣2时，y＝1，故（﹣2，﹣4）不在反比例函数y图象上； 当x＝﹣2时，y＝1，故（﹣2，1）在反比例函数y图象上； 当x＝2时，y＝﹣1，故（2，1）不在反比例函数y图象上； 故选：C． 4．【答案】D 【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法逐一判断即可． 【解答】解：A．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； B．当∠DOA＝90°时，平行四边形ABCD是菱形，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； D．当AC⊥BD且AO＝CO时，平行四边形ABCD是正方形，即由AC⊥BD可得平行四边形ABCD是菱形，但AO＝CO是平行四边形自带属性，无法进一步证明菱形ABCD是正方形，此选项错误，符合题意； 故选：D． 5．【答案】C 【分析】利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【解答】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在0.6左右， ∴摸到白球的概率为0.6， ∴袋子里白球的个数估计是20×0.6＝12个， 故选：C． 6．【答案】C 【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【解答】解：由题意得，∠A＝∠A， A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意； C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意； D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【解答】解：根据题意列出方程为：x（78﹣3x）＝480， 故选：A． 8．【答案】C 【分析】先根据反比例函数的中心对称性求得点B的横坐标为1，再根据k1x，结合图形，即可判断答案． 【解答】解：∵反比例函数是以点O为对称中心的中心对称图形， ∴点B与点A关于原点对称， ∵点A的横坐标为﹣1， ∴点B的横坐标为1， ∴由图象可知，当k1x时，即y1＜y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1． 故选：C． 二．填空题（每小题4分，共20分） 9．【答案】． 【分析】设a＝2k，b＝5k，然后代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，则b＝5k， ． 故答案为：． 10．【答案】k＞﹣5． 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，据此列式求解即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4×1×[﹣（k+1）]＝16+4（k+1）＝4k+20＞0， 解得k＞﹣5． 故答案为：k＞﹣5． 11．【答案】（﹣2，1）． 【分析】根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质计算，即可得出点A的坐标． 【解答】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．解：∵B（﹣1，0），C（4，﹣2），D（2，0）， ∴BO＝1，OD＝2， ∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形， ∴相似比为， ∵C（4，﹣2），且点A在第二象限， 则， 则点A的坐标是（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）． 12．【答案】． 【分析】结合正方形的性质以及勾股定理可得，再由△CEF∽△ADF，可得，即可求解． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3cm， ∴AB＝BC＝AD＝3cm，∠B＝90°，AD∥BC， ∴AC3cm， ∵点E为BC中点， ∴CEBC3cm， ∵AD∥BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴， ∴AF＝2CF， ∴． 故答案为：． 13．【答案】6． 【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案． 【解答】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB， 则AF＝BF， 可得AF＝AH，AC⊥FH， ∴FC＝CH， ∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3， ∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6． 故答案为：6． 三．解答题（共48分） 14．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）原式＝41+2 ； （2）3x2＝4x﹣1， 3x2﹣4x+1＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0， 则x， 所以． 15．【答案】（1）60，90； （2）补全条形统计图，如图即为所求； （3）． 【分析】（1）首先观察条形统计图和扇形统计图，通常条形图给出各类别的具体人数，扇形图给出各类别的百分比．若已知某一类别的频数和百分比，则可求出总人数（总人数 ＝ 该类别频数÷该类别百分比）．再根据总人数和其他类别频数，求出未知类别的频数．扇形圆心角 ＝ 该类别百分比×360°； （2）补全条形统计图的关键是确定缺失类别的频数．利用（1）中求出的总人数和已知类别的频数，计算出缺失类别的频数，然后在图中画出相应高度的条形； （3）从四人中随机抽取两人，属于不放回抽样．采用列表法，列出所有可能的组合，确保结果等可能且不重不漏．甲和乙同时被选中只是其中一种结果，用概率公式计算即可． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为3÷5%＝60（人）；圆心角度数为， 故答案为：60，90； （2）比较了解的人数为：60﹣24﹣15﹣3＝18（人）， 补全条形统计图，如图即为所求； （3）从甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产AI大模型deepseek应用场景的深度拓展暑期夏令营，作树状图如下： 共有12种等可能结果，其中甲和乙同时被选中的结果有2种， ∴P（甲和乙同时被选中）． 16．【答案】（1）1.6米； （2）影子变短了，变短了米． 【分析】（1）由题意易得，△CAP∽△QOP，则，计算出CA即可； （2）与（1）同理，△MBN∽△QON，则，计算出BN的长，与AP比较即可． 【解答】解：（1）∵CA∥QO， ∴△CAP∽△QOP， ∴，即， 解得，CA＝1.6米， 答：小艺的身高为1.6米． （2）∵OA＝15米，AB＝8米， ∴OB＝7米， ∵MB∥QO， ∴，即， 解得，米， （米）． 答：影子变短了，变短了米． 17．【答案】（1）； （2）如图1，四边形ABCD是矩形，E为CD的中点，过点E作EH⊥AB交BF于点K， ∴∠D＝∠A＝90°，DC＝AB，DE＝CE， ∴四边形ADEH是矩形， ∴DE＝AH， ∴DE＝AH＝CE＝BH， ∵EH⊥AB，∠A＝90°， ∴EH∥AD， ∴∠DFE＝∠FEH，1， ∵∠BEF＝90°， ∴， ∴∠BFE＝∠FEH， ∴∠DFE＝∠BFE， ∴EF平分∠DFB； （3）． 【分析】（1）根据E为CD的中点，CD＝4，得出DE＝CE＝2，根据四边形ABCD是矩形，得出∠D＝∠C＝90°，结合EF⊥BE，得出∠CEB＝∠DFE，证明△CEB∽△DFE，则，即可求解； （2）如图，过点E作EH⊥AB交BF于点K，证明四边形ADEH是矩形，证出DE＝AH＝CE＝BH，根据平行线性质得出∠DFE＝∠FEH，根据平行线分线段成比例得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，即可得∠BFE＝∠FEH，则∠DFE＝∠BFE，即EF平分∠DFB； （3）过点E作EP⊥BF，根据EF平分∠DFB，得出DE＝EP，结合DE＝CE，得DE＝CE＝EP，设CG＝x，AD＝BC＝a，则BG＝a﹣x，DF＝a﹣2x，证明△DEF≌△PEF，得DF＝PF＝a﹣2x，证明△CEB≌△PEB，得BC＝BP＝a，则BF＝2a﹣2x，即可求解． 【解答】（1）解：∵E为CD的中点，CD＝4， ∴DE＝CE＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∴∠DEF+∠DFE＝90°， ∵EF⊥BE，BC＝3， ∴∠DEF+∠CEB＝90°， ∴∠CEB＝∠DFE， ∴△CEB∽△DFE， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； （2）证明：如图1，四边形ABCD是矩形，E为CD的中点，过点E作EH⊥AB交BF于点K， ∴∠D＝∠A＝90°，DC＝AB，DE＝CE， ∴四边形ADEH是矩形， ∴DE＝AH， ∴DE＝AH＝CE＝BH， ∵EH⊥AB，∠A＝90°， ∴EH∥AD， ∴∠DFE＝∠FEH，1， ∵∠BEF＝90°， ∴， ∴∠BFE＝∠FEH， ∴∠DFE＝∠BFE， ∴EF平分∠DFB； （3）解：如图2，EF平分∠DFB，过点E作EP⊥BF， ∴DE＝EP， ∵DE＝CE， ∴DE＝CE＝EP， 设CG＝x，AD＝BC＝a，则BG＝a﹣x，DF＝a﹣2x， ∵∠D＝∠EPF＝90°， ∴△DEF和△PEF是直角三角形， 在Rt△DEF和Rt△PEF中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△PEF（HL）， ∴DF＝PF＝a﹣2x， ∵∠C＝∠EPB＝90°， ∴△CEB和△PEB是直角三角形， 在△CEB和△PEB中， ， ∴△CEB≌△PEB（HL）， ∴BC＝BP＝a， ∴BF＝PF+BP＝a﹣2x+a＝2a﹣2x， ∴． 18．【答案】（1），（﹣1，4）； （2）（﹣2，2）或（3，3）； （3）． 【分析】（1）先求出B点坐标，然后再求反比例函数的解析式，再联立方程组求点A的坐标； （2）先联立方程组求点B的坐标，作△ABT的外接矩形BECD，S△ABC＝用矩形的面积减去△ABT外的三个三角形的面积，通过列方程求解即可； （3）根据平移规律写出平移后的解析式，然后联立方程组求解即可． 【解答】解：（1）把y＝﹣1代入直线y＝﹣x+3得，﹣1＝﹣x+3， 解得x＝4， ∴点B的坐标为（4，﹣1）， ∵点B在反比例函数上， ∴k＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数解析式为， 联立方程组，消去y得，x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴xA＝﹣1， 把x＝﹣1代入y＝﹣x+3，得y＝4， ∴点A的坐标为（﹣1，4）； （2）作△ABT的外接矩形BECD，则E（4，4）， 点T为第二象限内反比例函数图象上一点，设点， ∴C（t，4），D（t，﹣1）， ∴，，BD＝CE＝4﹣t，BE＝CD＝4﹣（﹣1）＝5，CA＝﹣1﹣t，AE＝4﹣（﹣1）＝5， ∴S矩形AECD＝BD•BE＝5（4﹣t），，， ∵， ∴， 解得，t1＝﹣2，t2＝2（舍去）， ∴T的坐标为（﹣2，2）， 过点T与直线AB平行的直线为y＝﹣x， 直线OT关于直线AB对称的直线为y＝﹣x+6， 当﹣x+6时，解得x＝3或x＝3（舍）， ∴T（3，3）； 综上所述：T点坐标为（﹣2，2）或（3，3）； （3）将双曲线第四象限的一支沿射线BA平移使其经过点A，即双曲线向上平移5个单位，再向左平移5个单位得到双曲线， 联立方程组， 消去y得x2+5x+4＝0， 解得，x1＝﹣1，x2＝﹣4， ∴xC＝﹣4， 把x＝﹣4代入，得y＝1， ∴点C的坐标为（﹣4，1）， ∴． 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．【答案】﹣1． 【分析】根据根与系数的关系，求出方程两根之和与两根之积，再代入代数式展开式计算即可解答． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， ∴，， ∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣3+1+1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 20．【答案】120． 【分析】根据菱形的对角线互相平分，则可推出AC＝2OA＝24，BD＝2OH＝10，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴点O为BD的中点，AC＝2OA＝24， ∵DH⊥AB， ∴BD＝2OH＝10， ∴， 故答案为：120． 21．【答案】﹣18． 【分析】设AC与BD交于点E，延长BD，延长AC交x轴于F，先根据正方形的性质可得AE＝BE＝CE＝DE，AC⊥BD，AC⊥x轴，AC∥y轴，再设AE＝BE＝CE＝DE＝e（e＞0），CF＝a（a＞0），则可得点A，B，C，D的坐标，将点A，D的坐标代入反比例函数，点B的坐标代入反比例函数，据此解答即可得． 【解答】解：如图，连接AC，交BD于E，延长AC交x轴于F， 由条件可知AE＝BE＝CE＝DE，AC⊥BD， ∵BD∥x轴，x轴⊥y轴， ∴AC⊥x轴，AC∥y轴， 设AE＝BE＝CE＝DE＝e（e＞0），CF＝a（a＞0）， ∴AF＝AE+CE+CF＝2e+a，EF＝CE+CF＝e+a， ∵点A的横坐标为﹣3， ∴A（﹣3，2e+a），B（﹣3+e，e+a），C（﹣3，a），D（﹣3﹣e，e+a）， ∴m＝﹣3（2e+a）＝（﹣3﹣e）（e+a）， ∴e（e+a﹣3）＝0， ∵e≠0， ∴e+a﹣3＝0， ∴e＝3﹣a， ∴m＝﹣3（2e+a）＝﹣18+3a， ∴B（﹣a，3），C（﹣3，a）， 由条件可知n＝﹣3a， ∴m+n＝﹣3a+（﹣18+3a）＝﹣18， 因此 m+n＝﹣18． 故答案为：﹣18． 22．【答案】111，1998． 【分析】根据“双倍快乐数”的定义，最小数为111；由题意可得a+c＝2b且b2＝ac，联立可得a＝b＝c，再根据整除条件确定a的值，进而求和． 【解答】解：由条件可知，十位上的数最小只能为1， ∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的“双倍快乐数”， ∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111； ∵是一个“双倍快乐数”， ∴a+c＝2b， 由条件可知4b2﹣4ac＝0，即b2＝ac， ∴a＝b＝c， ∵，若F（N）+N能被6整除， ∴设N＝100a+10a+a＝111a， ∴F（N）+N＝a+111a＝112a， ∵112a能被6整除， 由条件可知112a既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， ∴a＝3、6、9， 当a＝3时，N＝333，当a＝6时，N＝666，当a＝9时，N＝999， ∴所有满足条件的N的和为333+666+999＝1998， 故答案为：111，1998． 23．【答案】． 【分析】根据直角三角形的性质可得到点P在以点D为圆心，1为半径的圆上，作射线BH，连接DH交AB于点Q，当点P在线段DH上时，此时PH最小，最小值为DH﹣1，当DH最小时，PH最小，证明△ABH≌△ACG（SAS），∠ABH＝∠C，从而得到点H在射线BH上运动，进而得到当DH⊥BH时，DH最小，过点D作DM⊥AB于点M，则∠AMD＝∠BMD＝∠ADB＝90°，可得到∠DAM＝∠DQM，从而得到DQ＝AD＝3，再结合锐角三角函数，即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝8，D为BC的中点， ∴，AD⊥BC，∠ABC＝∠C， ∴， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， 连接PD， ∵点P为线段EF的中点， ∴， ∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上， 如图，作射线BH，连接DH交AB于点Q，当点P在线段DH上时，此时PH最小，最小值为DH﹣1， 当DH最小时，PH最小， ∵∠GAH＝∠BAC， ∴∠BAH＝∠CAG， ∵将线段AG绕点A顺时针旋转至线段AH， ∴AH＝AG， 在△ABH和△ACG中， ， ∴△ABH≌△ACG（SAS）， ∴∠ABH＝∠C， ∴∠ABH＝∠ABC， ∴点H在射线BH上运动， ∴当DH⊥BH时，DH最小，此时PH最小， 过点D作DM⊥AB于点M，则∠AMD＝∠BMD＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°＝∠BAD+∠ADM， ∴∠ABH＝∠ABD＝∠ADM， ∵∠BHD＝∠BMD＝90°，∠BQH＝∠DQM， ∴∠ABH＝∠QDM， ∴∠DAM＝∠DQM， ∴DQ＝AD＝3， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．【答案】（1）商家购进福字贴的进价是4元，春联的进价是6元； （2）商家应该将每副春联的售价定为10元． 【分析】（1）设商家购进福字贴的进价是x元，则商家购进春联的进价是（x+2）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1600元购进福字贴的数量是用1200元购进了春联数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值（即商家购进福字贴的进价），再将其代入（x+2）中，即可求出商家购进春联的进价； （2）设商家应该将每副春联的售价定为y元，则每副春联的销售利润为（y﹣6）元，平均每天能卖出（150﹣10y）个，利用总利润＝每副春联的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，再结合要尽快销售去库存，即可确定结论． 【解答】解：（1）设商家购进福字贴的进价是x元，则商家购进春联的进价是（x+2）元， 根据题意得：2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， ∴x+2＝4+2＝6（元）． 答：商家购进福字贴的进价是4元，春联的进价是6元； （2）设商家应该将每副春联的售价定为y元，则每副春联的销售利润为（y﹣6）元，平均每天能卖出30+10（12﹣y）＝（150﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣6）（150﹣10y）＝200， 整理得：y2﹣21y+110＝0， 解得：y1＝10，y2＝11， 又∵要尽快销售去库存， ∴y＝10． 答：商家应该将每副春联的售价定为10元． 25．【答案】（1）m＝2，y； （2）8； （3）存在，（﹣4+2，2）或（2，）或（﹣4，2）或（﹣2，）． 【分析】（1）将点C代入一次函数，求出m的值，确定C点坐标，即可求反比例函数的解析式； （2）求出D点、C点坐标，再求△OCD的面积即可； （3）分两种情况讨论：当线段AB延直线AB向x轴正方向移动时，设向右平移2m个单位长度，则向上平移m个单位长度，则A1（﹣4+2m，m），B1（2m，2+m），当∠BAO＝∠PB1A1时，A1P∥y轴，求得P（﹣4+2，2）；当∠A1B1P＝∠BAO时，过点P作MN∥x轴，过点A1作A1M⊥MN交于M点，过点B1作B1N⊥MN交于N点，设P（t，），根据△A1MP∽△PNB1，求出P（2，）；当线段AB延直线AB向x轴负方向移动时，设向左平移2m个单位长度，则向下平移m个单位长度，则A1（﹣4﹣2m，﹣m），B1（﹣2m，2﹣m）当∠BAO＝∠PB1A1时，A1P∥y轴，求出P（﹣4，2）；当∠A1B1P＝∠BAO时，过点P作GH∥x轴，过点A1作A1H⊥HG交于G点，过点B1作B1H⊥GH交于H点，设P（t，），由△A1MP∽△PNB1，求得P（﹣2，）． 【解答】解：（1）当x＝m时，m+2＝3， 解得m＝2， ∴C（2，3）， ∴y； （2）当x+2时，解得x＝﹣6， ∴D（﹣6，﹣1）， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∴△COD的面积AO×（3+1）4＝8； （3）存在点P，使得△B1A1P∽△ABO，理由如下： 当x＝0时，y＝2， ∴B（0，2）， 当线段AB延直线AB向x轴正方向移动时， 设向右平移2m个单位长度，则向上平移m个单位长度， ∴A1（﹣4+2m，m），B1（2m，2+m）， 当∠BAO＝∠PB1A1时，A1P∥y轴， ∴P（﹣4+2m，2+m）， ∴（2m﹣4）（m+2）＝6， 解得m或m（舍）， ∴P（﹣4+2，2）； 当∠A1B1P＝∠BAO时，过点P作MN∥x轴，过点A1作A1M⊥MN交于M点，过点B1作B1N⊥MN交于N点， 设P（t，）， ∵△A1MP∽△PNB1， ∴B1N＝2MP，PN＝2A1M， ∴2+m2（t+4﹣2m），2（m）＝2m﹣t， 解得t＝2或t＝﹣2（舍）， ∴P（2，）； 当线段AB延直线AB向x轴负方向移动时， 设向左平移2m个单位长度，则向下平移m个单位长度， ∴A1（﹣4﹣2m，﹣m），B1（﹣2m，2﹣m）， 当∠BAO＝∠PB1A1时，A1P∥y轴， ∴P（﹣4﹣2m，2﹣m）， ∴（﹣4﹣2m）（2﹣m）＝6， 解得m或m（舍）， ∴P（﹣4，2）； 当∠A1B1P＝∠BAO时，过点P作GH∥x轴，过点A1作A1H⊥HG交于G点，过点B1作B1H⊥GH交于H点， 设P（t，）， ∵△A1MP∽△PNB1， ∴B1H＝2GP，PH＝2A1G， ∴2﹣m2（t+4+2m），2（﹣m）＝﹣2m﹣t， 解得t＝2（舍）或t＝﹣2， ∴P（﹣2，）； 综上所述：P点坐标为（﹣4+2，2）或（2，）或（﹣4，2）或（﹣2，）． 26．【答案】（1）平行；45°；； （2）； （3）． 【分析】（1）利用△APC≌△DCE，找到∠CAP＝∠D从而得到AF∥DE；由平行求得∠AFC；在△CEP中，用内角和关系表示出角度即可； （2）利用（1）求得的条件，由平角和三角形内角和，找到∠G＝∠GDE，从而得到GD＝ED，转化为，过点A作AM⊥PC于M，，由勾股定理求得AC，由已知条件全等求得CD，即可求得； （3）根据AF•AP＝AC2，构造三角形使得△AFI∽△AHP，找到F运动轨迹在以AI为直径的圆上，再进行计算即可． 【解答】解：（1）∵△APC≌△DCE， ∴EC＝PC，∠CAP＝∠D， ∴AF∥DE， ∴∠AFC＝∠DEC＝∠ACP＝45°， 又∵EC＝PC， ∴∠CEP＝∠EPC， ∵∠ACP＝45°，∠ACF＝α， ∴∠ECP＝45°﹣α， 在△CEP中，∠CEP+∠EPC+∠ECP＝180°， 即2∠CEP+45°﹣α＝180°， 则， 故答案为：平行；45°；； （2）如图2，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，，过点A作AM⊥PC于M， ∴AM＝MC＝1， ∵EC＝PC＝4， ∴PM＝PC﹣MC＝4﹣1＝3， 在Rt△AMP中，由勾股定理得：AP2＝PM2+AM2， ∴， ∵△APC≌△DCE， ∴， 由（1）得，，∠DEC＝∠ACP＝45°， ∴， 在△GPC中，， ∴∠G＝∠GED， ∴GD＝ED， 又∵AF∥DE， ∴△ACF∽△DCE， ∴； （3）如图3，过点B作直线l垂直于BC，点P1，P2在l上，若∠P1AC＝75°，∠P2AC＝120°，过点A作AM⊥BC于点M，过点A作AH⊥l于点H， ∴四边形AHBM为矩形， 由（2）知AM＝MC＝1， ∴BM＝AH＝BC﹣MC＝4﹣1＝3， 由已知得△APC≌△DCE， 即∠APC＝∠DCE（即∠ACF）， 又∵∠FAC是公共角， ∴△ACF∽△APC， ∴AF•AP＝AC2，即AF•AP＝2， 在AH上取点I使， 使得AF•AP＝2＝AI•AH， ∴， ∵∠IAF＝∠HAP， ∴△AFI∽△AHP， ∴∠AFI＝∠AHP＝90°， ∴F在以AI为直径的圆上， 设圆心为O，连接OF， 当∠P1AC＝75°时，F与F1重合， 当P为P2时，F为F2， ∴∠P2AP1＝120°﹣75°＝45°， ∴∠F2OF1＝2×45°＝90°， ∴点F运动路径为：. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $