精品解析：四川省广元市利州区兴安初级中学2025-2026学年七年级上学期数学期末试卷

广元市利州区兴安初中2025-2026学年七年级上数学期末试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 习总书记指出“善于学习，就是善于进步”，“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将数据5450000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. a2+2a+32是三次三项式 B. 的系数是4 C. 的常数项是﹣3 D. 0是单项式 4. 已知，下列各式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列调查中，应采用全面调查的是（ ） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 调查某品牌手机的使用满意度 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 6. 下列说法错误的是（ ） A. 过两点有且只有一条直线 B. 连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C. 两点之间，线段最短 D. 射线和射线是同一条射线 7. 如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C表示的数都是整数．若点和点所表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　） A. B. C. 2 D. 9. 如果是关于x的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 21 D. 5 10. 如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，，连续这样操作2025次，则每次取的两个中点所形成的所有线段之和（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 比较大小：___________ 12. 已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则________． 13. 如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则_______． 14. 如图，将一个正方形纸片先剪去一个宽为6cm的长条①后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条②，若长条①和②面积恰好相等，则这个正方形纸片的面积是______. 15. 若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为___________． 16. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为________． 三．解答题（共10小题，满分96分） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中x，y满足 ． 19. 为了提高学生的综合素质，某校对七年级学生开设“A烹饪、B种菜、C手工制作、D桌椅维修”四门校本课程，学生必须从四门校本课程中选修一门且只选一门．为了解学生对校本课程的选择意向，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 人，扇形统计图中m的值是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）计算扇形统计图中“D桌椅维修”所对应的圆心角度数为 °； （4）已知该校七年级共有1200名学生，请估计选择“A烹饪”的学生有多少人？ 20. 如图，已知A，B，C，D四个点，根据要求完成下列各小题． （1）画线段和； （2）用尺规在线段的延长线上作线段； （3）找一点P，使点P既在直线上，又在直线上； （4）在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． 21. 如图所示，点在线段上，，，点是的中点． （1）如图，求的长度； （2）如图，若是线段上的一点，且，试判断点是否是线段的中点，并说明理由． 22. 如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 23. 已知，（其中a，b为常数，且表示系数） （1）计算； （2）若不含二次项，求a的值； （3）若，且，求的值． 24. 春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 25. 如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． （1）求出点与点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； （3）现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 26. 如图①，若同一平面内三条射线、、有公共端点，且满足，或者，我们称是和的“和谐线”． （1）的角平分线 射线和 的“和谐线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数； （3）如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒，求为何值时，射线是射线 和的“和谐线”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市利州区兴安初中2025-2026学年七年级上数学期末试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据正数的绝对值等于本身即可求解． 【详解】解：的绝对值是 故选：B． 2. 习总书记指出“善于学习，就是善于进步”，“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将数据5450000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列说法正确的是（　　） A. a2+2a+32是三次三项式 B. 的系数是4 C. 的常数项是﹣3 D. 0是单项式 【答案】D 【解析】 【分析】单项式：数字与字母的积，单个的数或字母也是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，几个单项式的和是多项式，其中每一个单项式都是多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数，直接利用多项式以及单项式的相关概念分析得出答案． 【详解】解：A、a2+2a+32是二次三项式，故此选项错误； B、的系数是，故此选项错误； C、的常数项是，故此选项错误； D、0是单项式，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是单项式与多项式的概念，单项式的系数与次数，多项式的项与次数概念，熟悉概念是解题的关键. 4. 已知，下列各式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条基本性质逐一分析选项，判断式子是否一定成立即可． 【详解】解：∵， ∴根据等式的基本性质1（等式两边同时加上同一个数，等式仍成立），可得，故A选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴两边同时乘得，再根据等式基本性质1，两边同时加a得，故B选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴根据等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得，故C选项一定成立，不符合题意． 对于D选项，当时，分式和无意义，只有当时，根据等式基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 5. 下列调查中，应采用全面调查的是（ ） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 调查某品牌手机的使用满意度 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面抽查和抽样调查，根据全面调查的定义（对需要调查的对象进行逐个检查的一种调查方法）和抽样调查的定义（从全部调查的研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据此对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法）逐项判断即可． 【详解】解：A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用抽样调查； B. 调查某品牌手机的使用满意度，采用抽样调查； C. 了解全班同学的身高情况，采用全面调查； D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用抽样调查； 故选：C 6. 下列说法错误的是（ ） A. 过两点有且只有一条直线 B. 连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C. 两点之间，线段最短 D. 射线和射线是同一条射线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点确定一条直线，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C表示的数都是整数．若点和点所表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴上点的确定，找到原点的位置是解决本题的关键，用到的知识点为两个数的绝对值相等，那么这两个数到原点的距离相等． 设A、C的中点为O点，表示的数是0，A、C之间的距离为8，得出点A表示的数是，即可得出结果． 【详解】解：设A、C的中点为O点，表示的数是0，A、C之间的距离为8， 所以点A表示的数是，所以点B表示的数是． 故选：B 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设竿长为尺，根据绳索比竿长5尺可得绳索长尺，再根据将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 9. 如果是关于x的方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 21 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到a和b的关系式，然后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， 故选：C. 10. 如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，，连续这样操作2025次，则每次取的两个中点所形成的所有线段之和（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段中点的性质、等比数列的通项与求和公式，熟练掌握线段中点的性质以推导线段长度的规律，并运用等比数列求和公式计算总和是解题的关键．根据，、分别为、的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：，、分别为、的中点， ， 又，分别为、的中点， ， ，分别为、的中点， ，， 由此可得：， ． 故选：． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 比较大小：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 12. 已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简绝对值，掌握数轴的性质，由数轴确定，，它们的符号，化去绝对值是解题关键． 【详解】解：由数轴可知：，， 由得，则， 由得，则， 由得，则， 则 ． 故答案为：． 13. 如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则_______． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，根据折叠的性质得到，，根据已知条件和角的和差即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：85． 14. 如图，将一个正方形纸片先剪去一个宽为6cm的长条①后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条②，若长条①和②面积恰好相等，则这个正方形纸片的面积是______. 【答案】576 【解析】 【分析】这个正方形纸片的边长为，则长条①的长为，宽为6cm；长条②的长为，宽为8cm．再根据题意结合长方形的面积公式可列出关于x的方程，解出x的值，再根据正方形面积公式求解即可． 【详解】设这个正方形纸片的边长为，则长条①的长为，宽为6cm；长条②的长为，宽为8cm． ∵长条①和②面积恰好相等， ∴， 解得：， ∴这个正方形纸片的边长为， ∴这个正方形纸片的面积是． 故答案为：576． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出方程是解题关键． 15. 若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可． 【详解】解：解方程， 得：， 根据题意可知为整数，是整数， 当的值为0，，，，，时，为整数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键． 16. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，解一元一次方程的运用，找出规律，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据题意，设，则原式变形得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 整理得，， 解得，， 故答案为： ． 三．解答题（共10小题，满分96分） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据有理数加减运算求解即可； （2）根据有理数乘方以及四则混合运算求解即可； （3）根据移项合并同类项，求解即可； （4）根据去分母，去括号，合并同类项，系数化为1等步骤求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： 移项得： 合并、系数化为得：． 【小问4详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，有理数乘方以及四则运算，解题的关键是熟练掌握有理数的相关运算法则和一元一次方程的求解步骤． 18. 先化简，再求值：，其中x，y满足 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，整式加减的化简求值等知识，正确计算是解题的关键；由非负数的性质可求得x，y的值；再利用去括号法则及同类项合并法则计算，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ， 当时，原式． 19. 为了提高学生的综合素质，某校对七年级学生开设“A烹饪、B种菜、C手工制作、D桌椅维修”四门校本课程，学生必须从四门校本课程中选修一门且只选一门．为了解学生对校本课程的选择意向，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 人，扇形统计图中m的值是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）计算扇形统计图中“D桌椅维修”所对应的圆心角度数为 °； （4）已知该校七年级共有1200名学生，请估计选择“A烹饪”的学生有多少人？ 【答案】（1）60 （2） 条形统计图补充完整如下： （3）60 （4）240 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，根据题目中的数据进行正确的计算是解题的关键． （1）用C手工制作的人数除以对应的百分比即可得到答案； （2）求出调查的学生中选择B的学生数，补全条形统计图即可； （3）用乘以“D桌椅维修”的百分比，即可得到“D桌椅维修”所对应的圆心角度数； （4）用七年级共有学生数乘以调查的学生中选择“A烹饪”的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数是（人）， 故答案为：60； 【小问2详解】 调查的学生中选择B的学生数为（人）， 【小问3详解】 解：“D桌椅维修”所对应的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计选择“A烹饪”的学生有240人． 20. 如图，已知A，B，C，D四个点，根据要求完成下列各小题． （1）画线段和； （2）用尺规在线段的延长线上作线段； （3）找一点P，使点P既在直线上，又在直线上； （4）在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． 【答案】（1） 如图，线段和即为所求作． （2） 作图如图，线段即为所求作． （3） 作图如图， 点P即为所求作． （4），两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，角的概念理解，作线段（尺规作图），两点之间线段最短等知识点，熟练掌握相关定义和作图技能是解题的关键． （1）根据线段、角的定义画图即可； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点E，则线段即为所求作； （3）作直线、，则两条直线的交点即为所求作； （4）根据“两点之间线段最短”进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ∵两点之间线段最短， ∴． 故答案为：，两点之间线段最短． 21. 如图所示，点在线段上，，，点是的中点． （1）如图，求的长度； （2）如图，若是线段上的一点，且，试判断点是否是线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点是的中点，理由如下： ，， ， ∴， 点是的中点， ， ， ， ， ∴， 点是的中点． 【解析】 【分析】本题考查线段的和差计算，线段的中点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先根据已知条件求出，再根据，求出，然后根据线段中点的定义求出，再根据，求出，根据线段中点的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：，， ， ∴， 点是的中点， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键． （1）根据补角，余角的关系，可得，根据角平分线的定义，可得答案； （2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得，再根据余角的定义，可得答案． 【小问1详解】 解： 平分 ； 【小问2详解】 解： 设 平分 ， 解得 ． 23. 已知，（其中a，b为常数，且表示系数） （1）计算； （2）若不含二次项，求a的值； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，多项式的项的定义，非负数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1） 将A和B的表达式代入，去括号并合并同类项． （2）令中二次项的系数为零，解方程得到a的值． （3）由非负数和为零求出x和y的值，再代入化简后的表达式计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：不含二次项， 即 解得； 【小问3详解】 解：当时， ， ∵， ∴ 即， ． 24. 春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为300元．每盒坚果礼盒的成本为250元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多200元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利15000元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 【答案】（1）每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元 （2）计划每个水果篮应打5折出售 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元 （2）计划每个水果篮应打5折出售 【小问1详解】 解：设买水果篮售价x元，坚果礼盒售价y元，依题意得： ， 解得， 答：每个水果篮售价600元，坚果礼盒售价400元． 【小问2详解】 解：设计划每个水果篮应打a折出售，依题意得： ， 解得：， 答：计划每个水果篮应打5折出售． 25. 如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． （1）求出点与点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； （3）现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【答案】（1）； （2）或； （3）秒或秒． 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、解一元一次方程．解决本题的关键是用含的代数式表示出点的位置，再根据两点之间的距离公式列方程． 根据绝对值的非负性和平方的非负性可得：，，解方程即可求出、的值； 点到点的距离是点到点的距离的倍，列方程求解，本题分为当点在点与点之间时，当点在点的右侧时两种情况． 根据点和之间的距离和点运动的速度可以求出点运动到点的时间，根据点与点相距个单位，可以列方程求解，本题分为当点在点右侧时和当点在点左侧时，两种情况． 【小问1详解】 解：， ，， ，， 点与点之间的距离为； 【小问2详解】 解：设点所表示的数为， 当点在点与点之间时， 根据题意可得：， 解得：； 当点在点的右侧时， 根据题意可得：， 解得：； 点表示的数是或； 【小问3详解】 解：点运动到点的时间是（秒）． 经过秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得； 所以当为秒或秒时，点与点相距1个单位长度． 26. 如图①，若同一平面内三条射线、、有公共端点，且满足，或者，我们称是和的“和谐线”． （1）的角平分线 射线和 的“和谐线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数； （3）如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒，求为何值时，射线是射线 和的“和谐线”？ 【答案】（1）不是 （2）为或或 （3）当的值是3秒或19秒或23秒时，是射线和的“和谐线” 【解析】 【分析】本题考查的是角的和差倍分的新定义，一元一次方程的应用，角的动态定义，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据“和谐线”的定义判断即可； （2）根据“和谐线”的定义分类讨论即可，这里注意要分在内部和外部，其中每种情况下又有两种情况讨论，分别是或； （3）与第二问思路一致，分情况讨论，再根据和谐线的定义求出的度数，从而求出值． 【小问1详解】 解：如图，平分，则， 不是射线和的“和谐线”； 故答案为：不是． 【小问2详解】 当在内部时： ①如图，，， ； ②如图，，， ； 当在外部时： ①如图，，， ， ； ②如图，，， ， ； 综上所述：为或或； 【小问3详解】 由题意知，所以． ①当在外部且在左侧时，如图，转到的位置， ，， ， ， ，此时秒； ②当在内部且满足，如图转到的位置， ，， ， ，此时秒； ③当在内部且满足，如图转到的位置， ，， ， ，此时秒． 综上所述：当的值是3秒或19秒或23秒时，是射线和的“和谐线”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $