北京市北京中学2024-2025学年高一上学期期中质量调研数学试题

高一英才数学期中试题 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A D B A B D C 1．D 【分析】直接利用集合的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以或. 故选：D 2．D 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式即可求出答案. 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 3．B 【分析】由题意可得，且方程的根为，利用韦达定理求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以，且方程的根为， 故，则，， 故不等式等价于， 即，解得或， 所以关于的不等式的解集是. 故选：B. 4．A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 5．D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 6．B 【分析】根据分段函数的定义求值． 【详解】由题意， 故选：B． 7．A 【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或， 由于在上是减函数，所以，故， 因此， 故选：A 8．B 【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果. 【详解】∵不等式的解集是， ∴是方程的两个实根， ∴，∴， ∴. 故选：B. 9．D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 10．C 【解析】若 ，，则 没有最大元素， 有一个最小元素 ，故 A正确； 若 ， 则 没有最大元素， 也没有最小元素，故B 正确； 若 ，，则 有一个最大元素， 没有最小元素，故 D 正确； 有一个最大元素， 有一个最小元素不可能，故C 不正确． 11．， 【分析】根据全称量词命题的否定求解. 【详解】命题的否定是，. 故答案为：， 12．7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 13．3 【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值． 【详解】由题意，是幂函数， ，解得或， 又是R上的增函数， . 故答案为：3. 14． 【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】－＋ ＝ 故答案为： 15． ①②③ 【解析】对于①：由，则；，则，解得：，故①错误； 对于②：由，则； ，则， （1）当时，在上单减，所以，解得：，又，所以a不存在； （2）当时，在上单减，在上单增，且所以，解得：，又，所以a不存在； （3）当时，在上单减，在上单增，且所以，解得：，又，所以a不存在； （4）当时，在上单增，所以，解得：，又，所以a不存在； 综上所述：不存在实数a，使得. 故②错误； 对于③：∵，而，则M=1,N=-1,但对任意，都有，不一定成立； 对于④：∵，∴，由得，所以则对任意的实数a，总存在实数b，使得，故5成立. 故选：①②③ 16．(1)， (2) 【分析】（1）利用交集和并集的概念进行求解； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，，； . （2）因为， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 17．(1) (2)1 【分析】（1）代入和即可求解； （2）由（1）得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得：解得：， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得 因为，所以，当且仅当时，取到等号， 所以的最小值为1. 18．(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 19．(1) (2) (3) 【分析】 （1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【详解】（1）由题意，解得. （2）由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. （3）由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：    由图可知：不等式的解集为. 20．(1)； (2)单调递减，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得. （3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a的值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 【点睛】易错点睛：借助函数单调性求解在定义域上不单调的函数不等式，必须分成在同一单调区间内和在不同单调区间内两大类求解. 21．(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $2024一2025学年度第一学期期中质量调研试题 高一英才数学 班级 胜名 成绩 本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定 处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.已知全集U={-3<x<3},集合A={x0<x<1},则CA=() A.(1,3) B.（-3,0)U(1,3)C.(-3,0) D.（-3,0]J[1,3) 2.函数f0阳=t-2x+4 (x>0)的最小值及取得最小值时x的值为() A.当x=12时最小值为2 B:当x=1时最小值为3 C.当x=0时最小值为4 D.当x=2时最小值为2 3.若关于x的不等式x2+bx+c>0的解集是(-2,3)，则关于x的不等式bx2+5ax+.c>0 的解集是() A.(（2,3) B.（-o,2)U(3,+o) c.(-1,6) D.（o0,-1)U(6,+∞) 4.函数-- 的定义域为() A.[0,+oo) B.(0,+oo) C.（-o,0] D.(-o,0) 5.已知函数f是定义在0，+四)上的增函数，则满足f2x-)<f得 的x的取值范围 是() c.6 D. 第1页，共4页 VE, 0≤x<1, 6.已知函数f(x)= 1 则f(4)=() x≥1. A.2 B. C.-2 7.f(x)=(m2-m-1)xm-2m-3是幂函数，且在x∈(0，+o)上是减函数，则实数m=() A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 8.如果关于x的不等式x2<ax-b的解集是{x-2<x<4}」那么b5等于() A.-4 B.4 c D. a,(x>1) 9..若函数f(x)= 4号+2c≤是R上的单调函数。则实数a取值范画为》 A.(1,+o) B.(1,8) c.(4,8) D.[4,8) 10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提 出了"戴德金分割"，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金 分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q, M∩N=,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分 割.试判断，对于任一戴德金分割(M,N),下列选项中不可能成立的是() A.M没有最大元素，N有一个最小元素 B.M没有最大元素，N也没有最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M有一个最大元素，N没有最小元素 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 第2页，共4页 11.命题x∈R,x2-2x+3>0的否定是 12.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条 生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年，t∈N) 满足二次函数关系：s=-22+30t-98,现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的 时间t为年. 13.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7）x"是R上的增函数，则m的值为 14.求值：81-(W5-5)°+ 15,若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则记△(X)=M-m.下列命题中 不正确的是 (写出所有符合题意的序号) ①已知X={-1,1},Y={0,b},且△(X)=△()，则b=) ②已知X=[a,a+2],Y={y川y=x2,x∈X,则存在实数a,使得A(Y)<d ③已知X={x|f(x)>g(x),x∈[-1,1}，若△()=2，则对任意x∈[-1,1]，都有f(x对)产g(x) ④已知X=[a,a+21,Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得△(XU)≤3 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题12分)设集合A={x-1<x<6,B={xa+1≤x≤3a-1}: (1)当a=4时，求A∩B,AUB (2)若BsA,求a的取值范围. 17.(本小题12分)已知函数f(x)=x2-ax+b的图象过点A(1,0)和B(2,0). (1)求函数f(x)的解析式： (②若函数8()=+2，当x>0时，求8()的最小值， 18.(本小题12分)已知函数f(x)=x+1 (1)判断并证明f(x)的奇偶性； 第3页，共4页 (2)证明f(x)在[1，+oo)上是增函数； (3)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. 19.（本小题13分)已知函数f(x)=a·2"+b的图像过原点，且f(①)=1. (1)求实数a,b的值； (2)若x∈R,f(x)>m,写出m的最大值： (3)设g(x)=f(x)-x,直接写出g(x)<0的解集. 20.(本小题3分)已知函数f)+a是奇函数 (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并说明理由： (3)解关于t的不等式f(1-3)+f(t-2)<0. 21.（本小题13分)已知集合A={1,2,3,,n(n∈N,n≥3)，MsA,若W中元素的个数为 m(m≥2)，且存在弘，v∈W(u≠)，使得u+v=2(飞∈N),则称W是A的P(m)子集. (1)若n=5,写出A的所有P(4)子集： (2)若W为A的P(m)子集，且对任意的S,t∈W(s≠t),存在k∈N,使得s+t二2，求m的 值。 第4页，共4页