1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，体现数学抽象能力（重点） 2.已知角α终边上一点，会求sin α，cos α的值，体现数学计算能力（重难点） 课程引入 复习一下：直角三角形的边角关系是什么？ B C A a b c α 在直角三角形ABC中， sin α＝ ，cos α＝ 思考一下：根据直角三角形的边角关系，思考一下锐角三角形是否有相似的边角关系？如果有，与直角三角形的边角关系的定义是否相同？ 新课学习 如图所示，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u,v),故u是由角α唯一确定的，v也是由角α唯一确定的. 过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有 x O M y P(u,v) 1 α 新课学习 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦值，点P的横坐标u是该角的余弦值. 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标(u,v)与之对应，在弧度意义下，α∈(0, )，称v=sin α为锐角α的正弦函数，u=cos α为锐角α的余弦函数. 新课学习 正弦值与余弦值的定义 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.我们把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值. 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v=sin α为任意角α的正弦函数，u=cos α为任意角α的余弦函数. x y O P(u，v) P α M 新课学习 例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. x y O P α Q N M 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况， 如图.设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝ . 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M，N，易知△POM∽△QON. 所以 ， 新课学习 例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. x y O P α Q N M 即 ， 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同，于是得到 同理， 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 新课学习 利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 比值 叫作角α的正弦函数值，记作sin α，即sin α= ； 比值 叫作角α的余弦函数值，记作cos α，即cos α= ； 其中r= 新课学习 例2：在单位圆中， . (1)画出角α； 如图以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M，于是 即为所作的角. x y O P α M 1 新课学习 例2：在单位圆中， . (2)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 设点P(u，v)，则 所以 新课学习 思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值，余弦函数值填入下表. α 0 π v=sin α u=cos α 0 1 1 0 - 0 -1 - 新课学习 思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值，余弦函数值填入下表. α 2π v=sin α u=cos α - - - - -1 0 - 0 1 - 新课学习 观察表格中的数据，你能发现函数v＝sin α和u＝cos α的变化有什么特点吗？ 由上表可知，函数v＝sin α在[0，]、[ ，2π]上单调递增，[ ， ]上单调递增. 由上表可知，函数v＝cos α在在[0，π]上单调递减，[π，2π]上单调递增. 课程练习 C 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 A 课程练习 A 课程练习 课程练习 -4 课程练习 课程总结 1.正弦值与余弦值的定义 2.正弦函数与余弦函数值 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $