1.3 弧度制课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第二册

1.3 弧度制 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制，体现数学抽象能力（重点） 2.能进行角度制与弧度制的互换，能用弧度制表示弧长公式、扇形面积公式，体现逻辑推理能力（重难点） 课程引入 在几何的度量中，首先研究了线段长度的度量，引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线的长度.在面积的度量中，引入一个以单位线段为边长的单位正方形作为面积的度量单位.在体积的度量中，以单位线段为棱长的单位立方体作为体积的度量单位，并用这些度量单位度量图形的长度、面积和体积. 新课学习 在对角的度量选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.显然此时角的度量单位的确与单位线段无关. 由此可见在几何图形的各种度量中除了角度之外其他的度量长度面积体积等都是以单位线段为基础的. 新课学习 弧度与弧度制的概念 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度（通常用“弧度”或“rad”省略不写）．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制． O A B 1 rad 1 1 新课学习 弧度的表示 注意：一般地，弧度与实数为一一对应关系．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0 ． 1.如图，在单位圆中， 的长等于1，∠AOB就是1rad的角. O A B 1 rad 1 1 2.如图，在单位圆中， 的长等于2，∠COD就是-2rad的角. O C D -2 rad 2 角的正负由角的终边的旋转方向决定. 新课学习 思考一下：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系？ 根据弧度的定义，可知 根据需要，可以用上述两式进行弧度与角度的换算. 对于任意角，每一个角β都可以表示为： β=α+k·360°(0°≤α<360°，k∈Z) 新课学习 思考一下：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系？ 而360°角对应2π弧度角，因此只需要把角α用弧度角α表示，就可以得到角β的弧度角β，即 β=α+2kπ(0°≤α<2π，k∈Z) 新课学习 角度制与弧度制的互换 180°=π rad 1°= rad≈0.01745 rad 1 rad=( )°≈57°18 弧度数 = 角度数× 角度数 = 弧度数× 新课学习 例1：（1）把45°化成弧度；（2）把－600°化成弧度. （1）45°＝45× rad＝ rad； （2）－600°＝－600× rad＝ rad. 新课学习 例2：（1）把 化成度；（2）把 化成度. （2） rad＝ . （1） rad＝ ； 新课学习 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 新课学习 思考一下：我们知道[0,360°)的特殊角的弧度数，如何求α>360°的弧度数？ 例如：420°=360°+60°=(2π+ )rad= rad 结论：当α>360°，α=k·360°+β=(2π+ β)rad 新课学习 “皮尺”缠绕法： 如图，单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看作是一个“皮尺”，对于任意一个正数a，他对应正半轴上的点A，线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A.这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过逆时针旋转以MA为终边的圆心角α，该角的弧度数为正数a. 新课学习 思考交流： 对于任意一个负数b，如何利用“皮尺”缠绕的方法，在上述的圆M中找到与弧度数为b相对应的圆心角β? 对于任意一个负角β，负半轴上也有唯一一个负数b与之对应.这意味着线段OB按顺时针方向缠绕到单位圆上，形成一个以点M为顶点，以MO为始边，经过顺时针旋转以MB为终边的圆心角β，该角的弧度数为负数b. 新课学习 圆心角与弧长与半径的关系 即圆心角的弧度数等于该角所对的弧长与半径之比. 新课学习 拓展：扇形的弧长与面积的计算公式： 扇形的弧长： 扇形的面积： 课程练习 A 课程练习 D 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 D 课程练习 解析：因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角， 所以选项ABC说法不正确，D正确， 故选：D 课程练习 4 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.弧度与弧度制的概念 2.弧度与角度的换算 3.弧长与面积的计算公式 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE 在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它的对应的弧长为l= ·2πr，又此时角A的弧度数α= ·2π，因此，l=αr，即 $