寒假作业12 基本不等式的应用（11大题型）（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 不等式 以分母为主元构造型： 1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换。 2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母。 构造分母：待定系数 特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致” 方法：直观凑配或者分母换元 分子含参型：分离分子型 1.分离分子原理题 2.分子二次型换元分离 3.分子二次型凑配构造分离 反解代入型:消元法 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 因式分解型 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 均值用两次 两次均值，逐次消去，取等条件一致 换元型 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元 3.齐次分式同除型，可以代数换元 “和”与所求和系数不一致型 1.可以简单的反解代入消去 2.可以整体配凑构造（换元） 3.可以“无中生有”构造消去 4.也可以因式分解 “均值裂项”凑配型 利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 以分母为主元构造型 1．已知非负数满足，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．10 D．16 2.已知，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D． 3.已知正数、满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 题型二 构造分母：待定系数 1. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.已知，，，则取到最小值为 ． 题型三 分子含参型：分离分子型 1．若，则的最小值为___________. 2.已知正实数满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3.若，且，则的最小值为_________ 题型四 反解代入型:消元法 1．已知正数，满足，则的最大值为______． 2.已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.若正数，满足，则的最小值是______，此时______. 题型五 因式分解型 1.非负实数满足，则的最小值为___________. 2.已知，且，则的最小值等于_______． 3.已知，且，则的最小值是___． 题型六 均值用两次 1.是不同时为0的实数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ） A． B． C． D． 3.已知，，则的最小值为___________. 题型七 换元型 1.已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为 A.2 B.4 C. D. 2.若，且，则的最小值为_____ 3.已知，，则的最小值为____. 题型八 “和”与所求和系数不一致型 1、已知，，且，则的最小值为 A． B． C．5 D．9 2.若正实数，满足，则的最小值是__________． 3. 题型九 “均值裂项”凑配型 1.已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___． 2.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________． 3.已知实数满足，则实数的取值范围是_________． 题型十 整体化同乘方程型 1.已知实数，满足，且.则的最大值为_____． 2.已知正数满足，则的最大值为________． 3.已知为正数，且，则的最大值为 ． 题型十一 三元最值型 1.已知实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 2.若实数、、，且，则的最小值为 A． B． C． D． 3.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________． 1.设，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 2.若正实数满足，则的最小值为___________. 3.已知，且，则的最小值等于_______． 4.已知正实数，，满足，则的最小值为______. 5.已知为正实数，则的最小值为_________. 6. 7.已知，，，且，则的最小值为___________． 8.若正实数满足，则的最大值为________. 1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．9 D．10 2.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 3.已知，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．7 D．6 4.、设，且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知的最小值为 （ ）。 6.已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D． 7.若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________. 8.已知，则的 (　　) A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 最小值为 9.知，，，则＋的最小值为____． 10.若，则的最小值为____________． 11.已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _ 12.已知，且满足，则的最小值为 13.已如，则的最小值为______. 14.若实数满足，则的最大值为________. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 不等式 以分母为主元构造型： 1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换。 2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母。 构造分母：待定系数 特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致” 方法：直观凑配或者分母换元 分子含参型：分离分子型 1.分离分子原理题 2.分子二次型换元分离 3.分子二次型凑配构造分离 反解代入型:消元法 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 因式分解型 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 均值用两次 两次均值，逐次消去，取等条件一致 换元型 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元 3.齐次分式同除型，可以代数换元 “和”与所求和系数不一致型 1.可以简单的反解代入消去 2.可以整体配凑构造（换元） 3.可以“无中生有”构造消去 4.也可以因式分解 “均值裂项”凑配型 利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 以分母为主元构造型 1．已知非负数满足，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．10 D．16 【答案】B 【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解. 【详解】由，可得， 当且仅当取等号，故选：B 2.已知，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】A 【详解】，，又，且，， 当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A． 3.已知正数、满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】已知正数、满足，则， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C. 题型二 构造分母：待定系数 1. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可 【详解】 由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8. 所求 当且仅当时取等号，所以答案为.故选:A. 2.知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 设，可得，解得， 所以， .当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：A. 3.已知，，，则取到最小值为 ． 【答案】． 【解析】试题分析：令，∴，∴ ，当且仅当时，等号成立， 即的最小值是． 题型三 分子含参型：分离分子型 1．若，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为.故答案为：. 2.已知正实数满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】，因为， 所以，因为，所以， 因此， 因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A 3.若，且，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解. 【详解】令，则，则，即， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为.故答案为：. 题型四 反解代入型:消元法 1．已知正数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由，得，由，得，所以 ，当且仅当，即时等号成立，、 所以的最大值为.故答案为：. 2.已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，，所以，得， 所以，记，所以， 所以，且，所以 ，当且仅当即等号成立，此时 ， . 3.若正数，满足，则的最小值是______，此时______. 【答案】2 2 【分析】先由求出，再根据基本不等式求解即可． 解：，，，因为、，所以，即 ， 即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；2． 题型五 因式分解型 1.非负实数满足，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据题意化简得,结合基本不等式求得，即可求得的最小值. 【详解】由题意，非负实数满足，可得, 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或，所以， 即时，的最小值为.故答案为：. 2.已知，且，则的最小值等于_______． 【答案】 【详解】，且，即有 ， 即 ，可得 ， 当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为： 3.已知，且，则的最小值是___． 【答案】 【解析】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y，当且仅当时等号成立。填 题型六 均值用两次 1.是不同时为0的实数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数，则 ， 当且仅当，且取等，即取等号， 即则的最大值为，故选：A． 2.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）A． B． C． D． 【详解】．A 设，则 所以 当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A 3.已知，，则的最小值为___________. 【答案】2 【分析】由可得答案. 【详解】因为，，所以，， 当且仅当时等号成立，所以最小值为2.故答案为：2. 题型七 换元型 1.已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为 A.2 B.4 C. D. 【答案】B详解：将化为，令， 则， 又，所以，即． 2.若，且，则的最小值为_____ 【详解】由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b， 所以a2+b2＝（）2+（）2，当且仅当x2，y2时取等．故答案为． 3.已知，，则的最小值为____. 【答案】 【详解】因为，所以令， 解得，所以 .因为，所以的最小值为. 题型八 “和”与所求和系数不一致型 1、已知，，且，则的最小值为 A． B． C．5 D．9 【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A. 2.若正实数，满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】根据题意，若，则 ；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立； 即的最小值是，故答案为. 3. 题型九 “均值裂项”凑配型 1.已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___． 【答案】          【分析】根据不等式求最值. 【详解】由，当且仅当时取等号， 得，当且仅当时取等号； 又，当且仅当，时等号成立. 故答案为：，. 2.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________． 【答案】1 【分析】由条件转化为求的最大值，再解不等式，即可求解. 【详解】因为，当时取等号，所以 的最大值是，即， 解得，所以a的最大值是1． 故答案为： 3.已知实数满足，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题设条件，化简得，，再利用，得到不等式，即可求解． 【详解】由题意，实数满足，可得， 由，可得， 所以， 又由，得， 即，解得． 故答案为：． 题型十 整体化同乘方程型 1.已知实数，满足，且.则的最大值为_____． 【答案】9 【分析】将已知等式变形为 ，对等式两边同乘，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可. 【详解】由，得 ， 则 ，当且仅当， 即时成立，令，则有， 解得，故的最大值为.故答案为9. 2.已知正数满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】试题分析：由已知得，，变形为， 因为，由基本不等式得，，故，解得. 3.已知为正数，且，则的最大值为 ． 【答案】 试题分析：因为，所以，所以，即，令，则 ，而，所以，即，故应填． 题型十一 三元最值型 1.已知实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析： 即， 由，，， 所以， 即，当且仅当时取等号， 综上所述，的取值范围是. 故答案选 2.若实数、、，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 ，所以=，当且仅当时，等号成立. 故选D. 点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为. 3.已知，且，则的最大值是_______，的最大值是________． 【答案】     10     【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到，代入数据计算得到答案. 【详解】根据均值不等式：，，， 故，当且仅当时取等号； 又因为，， ， 令，即， 故此时有，即， 当且仅当时取等号． 故答案为：10；. 1.设，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解 【详解】，， ，当且仅当， 即时取等号故选：A 2.若正实数满足，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为： 3.已知，且，则的最小值等于_______． 【答案】 【详解】，且，即有 ， 即 ，可得 ， 当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为： 4.已知正实数，，满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为，即，所以 ，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：． 5.已知为正实数，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为. 6. 7.已知，，，且，则的最小值为___________． 【答案】 由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值. 【详解】解：因为，，，且， 所以 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 所以 。令，则， 令，则，所以函数在上单调递增， 所以所以 则所求最小值为故答案为： 8.若正实数满足，则的最大值为________. 【答案】 由题设，由结合基本不等式可得，从而可得的最大值. 【详解】因为，所以， 而，故，所以， 当且仅当等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．9 D．10 【详解】∵，，，∴，当且仅当 时，即时取“”. 2.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可. 【详解】因为，，且，所以，所以， 所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值． 故选：B. 3.已知，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解. 【详解】, ,当且仅当，即时等号成立， 解得或（舍去），的最小值为6故选：D 4.、设，且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】D因为，∴，又由，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，故选D. 5.已知的最小值为 （ ）。 【答案】3 【解析】 试题分析：根据题意，由于 则根据均值不等式可知，故可知答案为. 6.已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】，因为，所以， 因此 ，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以. 故选：B. 7.若实数x，y满足，且，则的最小值是_______________. 【答案】4 解：，满足，且，则，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值4．故答案为：4． 8.已知，则的 (　　) A． 最大值为 B． 最小值为 C． 最大值为 D． 最小值为 【答案】A 【详解】由题意知，则，又由， 当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故选A. 9.知，，，则＋的最小值为____． 【答案】 【分析】将原等式化为，从而可得，利用换元法和基本不等式可求最值. 【详解】可化为， 因为，，故，故，所以. 设，故且，故 又， 因为，故即，当且仅当时等号成立， 故的最小值为4，故的最小值为.故答案为：. 10.若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 11.已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _ 答案： 12.已知，且满足，则的最小值为 【答案】试题分析：∵，且满足，∴， =， 当且仅当时，的最小值为。 13.已如，则的最小值为______. 【答案】7 【分析】根据条件换元与放缩，再根据基本不等式求最值. 【详解】设，则， 所以 当且仅当时取等号，即的最小值为 14.若实数满足，则的最大值为________. 【答案】 已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得，设，其中. 则，从而， 记，则，不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $