寒假作业03基本不等式-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

寒假作业03 基本不等式 要点回顾 知识点1 基本不等式 1.重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2.基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. （2）叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点2 基本不等式的变式 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 题型巩固练 一、题型一 基本不等式的内容 1．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ， ， ，即，解得， 当时，取等号，故D正确． 故选：D． 2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 3．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 4．已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由基本不等式证明充分性，取特殊值说明不满足必要性，即可求解. 【详解】当时，，则“”是“”的充分条件； 当，取，则，则“”不是“”的必要条件； 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 二、题型二1的妙用 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 6．已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，联立解得时取等号， 所以的最小值是1. 故选：A 7．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 8．设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将等式化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 故答案为： 三、题型三对勾型求最值 9．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 10．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 11．下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】用基本不等式可对选项进行判断，注意基本不等式等号成立的条件，用二次函数的性质可判断选项. 【详解】对于选项. 函数，定义域为. 当时，，当且仅当，即时等号成立，即； 当时，，当且仅当，即时等号成立，即. 综上，函数的最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 对，，当且仅当时等号成立，但没有能满足此条件，故此函数最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，其中，故. ，当且仅当，即时等号成立. 故函数的最小值为2，选项正确. 对于选项. ，定义域为，且 则，由函数的性质可知，当时，有最小值4. 故当时，有最小值，故选项正确. 故选： 12．已知，若，的最小值为 . 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 四、题型四条件等式求最值 13．已知，则的最小值为（    ） A．14 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】利用基本不等式以及“”的代换的方法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 14．已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 【答案】ABD 【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确. 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. 15．已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断AB；特殊值法计算判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 16．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式计算可得. 【详解】由，得， 则，解得或（舍去）， 即的最小值为，当且仅当，时，等号成立. 故答案为： 五、题型五 基本不等式的综合 17．已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 18．已知，且，则下列正确的有（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当，即时，取等号，所以最小值为，故B错误； 对于C，因为， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D，因为，由A可知最大值为， 所以的最大值为4，所以的最大值为2，故D正确. 故选：ACD. 19．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 20．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 能力提升练 一、单选题 1．若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 2．下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 【答案】D 【分析】根据题意，利用对勾函数的单调性，可得判定A、B错误，由不是定值，可判定C错误；结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以，所以A错误； 对于B，当时，可得，令， 则在上单调递减，时，函数取得最小值5，所以B错误； 对于C，由不是定值，所以不是的最小值，所以C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，所以D正确． 故选：D. 3．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 4．若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 5．已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，通过换元法转化为一元二次不等式求解的取值范围. 【详解】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. 二、多选题 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断AB，利用基本不等式判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误： 因为，所以，即，又，所以，故B正确； 因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立，故C不正确； 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 又，故，故D正确. 故选：BD 7．已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】直接使用基本不等式可判断A；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；消元后结合二次函数性质可判断C；配方后使用基本不等式可判断D. 【详解】对A，因为，，且，所以， 整理可得，当且仅当，即时等号成立，正确； 对B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对C，因为，所以，当时等号成立， 又，故取不到等号，即的最大值不是1，错误； 对D，因为，所以， 由上知，，所以，当且仅当时等号成立，正确. 故选：ABD 8．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】BD 【分析】分别求出小明和小刚上山和下山所用的时间之和，再由基本不等式化简即可． 【详解】解：小明上山和下山所用时间之和为，故A错误，B正确； 对于C，D，小刚上山和下山所用时间之和为，因为， 所以，， 所以， 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确． 故选：BD． 三、填空题 9．已知，，，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为16. 故答案为：16. 10．已知，，且，则的最小值 . 【答案】2 【分析】利用基本不等式可求得的最小值，进而可求的最小值. 【详解】， ， ， . 当且仅当即时取等号， 的最小值为4，则的最小值为2. 故答案为：2 11．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 三、解答题 12．（1）解不等式； （2）已知，求函数的最小值，并求出此时的值； （3）已知，且，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】（1）；（2）最小值为6，此时；（3），最小值为16． 【分析】（1）利用分式不等式解法求解即可； （2）利用基本不等式即可求解； （3）结合“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）因为，可得，即，则，解得， 所以不等式的解集为． （2）因为，所以， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 所以函数的最小值为6，此时； （3） ， 当且仅当，即时取等号，所以目标式最小值为16，此时. 13．已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 14．某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业03 基本不等式 要点回顾 知识点1 基本不等式 1.重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2.基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. （2）叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点2 基本不等式的变式 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 题型巩固练 一、题型一 基本不等式的内容 1．已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 4．已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、题型二“1”的妙用 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．已知，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 7．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设，若，则的最小值为 ． 三、题型三对勾型求最值 9．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 10．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 11．下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，若，的最小值为 . 四、题型四条件等式求最值 13．已知，则的最小值为（    ） A．14 B．16 C．17 D．18 14．已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 15．已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 16．已知，，且，则的最小值为 . 五、题型五 基本不等式的综合 17．已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 18．已知，且，则下列正确的有（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为2 19．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 20．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 能力提升练 一、单选题 1．若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 3．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 4．若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 8．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 三、填空题 9．已知，，，则的最小值为 . 10．已知，，且，则的最小值 . 11．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是 . 四、解答题 12．（1）解不等式； （2）已知，求函数的最小值，并求出此时的值； （3）已知，且，求的最小值，并求出此时的值． 13．已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 14．某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $