2026年高一寒假作业三 不等式的性质、常见不等式解法和基本不等式

高一寒假作业 2025-2026学年第一学期高一寒假作业三 不等式的性质、常见不等式解法和基本不等式 一、单选题 1．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．已知 ， 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则下列不等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．若正实数，满足．则的最小值为（ ） A．12 B．25 C．27 D．36 6．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，则m，n不可能满足的关系是（  ） A． B． C． D． 8.已知，则下列命题错误的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为2 D．若，则的最大值为 二、多选题 9．,则下列命题中，正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，则下列不等式一定成立的有（  ） A． B． C． D． 11．已知，且则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．ab有最大值4 D．有最小值9 三、填空题 12．已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为 . 13. 已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是 （用区间表示）． 14.对于实数a、b、c，有下列命题： ①若，则a＞b；②若ab＞c，则；③若a＞b＞0，且n为正数，则. 其中，真命题的序号为 .（写出所有满足要求的命题序号） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形狮子笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间狮子笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间狮子笼的长、宽各设计为多少时，可使每间狮子笼面积最大？ (2)若使每间狮子笼面积为，每间狮子笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 16．如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且. (1)若，求关于的解析式； (2)求面积的最大值及相应的值. 17．为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一寒假作业 2025-2026学年第一学期高一寒假作业三 不等式的性质、常见不等式解法和基本不等式【解析】 一、单选题 1．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法可判断ABD；利用不等式性质可判断C. 【解析】，但，故A错误； ，但，故B错误； 因为，所以，所以，又，所以， 所以，故C正确； ，但，故D错误. 故选：C. 2．已知 ， 则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，不妨取则，此时不满足，即A错误； 易得，此时，所以B错误； 对于D，无意义，所以D错误， 由指数函数单调性可得，当时，，即C正确. 故选：C. 3．已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，所以或， 对A：若，则，若，则，A错误； 对B：∵，，∴，B错误； 对C：由或，知且，∴，C正确； 对D：当时，有，从而 当，则且，∴，D错误. 故选：C 4．已知，则下列不等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，，故，所以，两边同乘以得，，A成立； B选项，因为，所以，且，由基本不等式得，故B成立； C选项，因为，所以， 故，所以，C成立； D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立. 故选：D 5．若正实数，满足．则的最小值为（ ） A．12 B．25 C．27 D．36 【答案】C 【解析】因为，所以． 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，的最小值为27． 故选：C 6．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对ABC举反例即可判断，对C和D利用作差法即可判断. 【详解】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 7．已知，则m，n不可能满足的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即， 即. 对于 A， 成立. 对于 B， ，成立. 对于 C， ，即.故C错误； 对于 D， 成立. 故选：C. 8.已知，则下列命题错误的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为2 D．若，则的最大值为 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，故A正确； 若，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 若，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9．,则下列命题中，正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A：若，则无意义，故A错误； 对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：由于不确定的符号，故无法判断，例如，则，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确； 故选：BD. 10．已知，则下列不等式一定成立的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，得，当时，得0，即; 当时，得，即，综上或， 上述两种情况均可得，故选项错误; 当时，得，当时，得，故B选项正确; 令，则，，从而得，故C选项错误; 由上述论证可知恒成立，故D正确. 故选：BD. 11．已知，且则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．ab有最大值4 D．有最小值9 【答案】AC 【解析】A选项，，A正确； B选项，找反例，当时，，，，B不正确； C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确； D选项，，D不正确. 故选：AC. 三、填空题 12．已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即， 又，设， 则，解得，即，且， 故3b－8a的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是 （用区间表示）． 【答案】（答案不唯一，是的子集即可） 【解析】由题意可知，当且仅当时取得等号， 所以恒成立，故正实数的一个范围可以为 （答案不唯一，是的子集即可）． 14.对于实数a、b、c，有下列命题： ①若，则a＞b；②若ab＞c，则；③若a＞b＞0，且n为正数，则. 其中，真命题的序号为 .（写出所有满足要求的命题序号） 【答案】①③ 【解析】对于①，由，则，根据不等式的性质，可得，故①正确； 对于②，由，当时，不等式无意义，当时，可得，故②错误； 对于③，由，且为正数，根据不等式的性质，可得③正确； 故答案为：①③. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形狮子笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间狮子笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间狮子笼的长、宽各设计为多少时，可使每间狮子笼面积最大？ (2)若使每间狮子笼面积为，每间狮子笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 【答案】(1)每间狮子笼的长设计为、宽设计为时，可使每间狮子笼面积最大，面积最大为. (2)每间狮子笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 【分析】（1）先由题意得，，每间狮子笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值. 【解析】（1）由题得即，， 设每间狮子笼面积为S，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以即， 所以每间狮子笼的长、宽时，可使每间狮子笼面积最大，面积最大为. （2）由题意可得， 设钢筋网总长为l，则， 因为， 当且仅当即时等号成立， 所以每间狮子笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 16．如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且. (1)若，求关于的解析式； (2)求面积的最大值及相应的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）由全等三角形性质、勾股定理列方程即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【解析】（1）由已知得，易得和全等，所以， 由勾股定理得，即，其中； （2）， 当且仅当时取等，面积最大值为. 17．为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 【答案】(1)； (2)能获利，最大利润为. 【分析】（1）根据月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式可得，再根据基本不等式可得解； （2）设利润为，则，再根据二次函数性质可得最值. 【详解】（1）由已知月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式， 则每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时取等号， 即当月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）设利润为，则， 又， 则当时，取最大值为， 该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能获利，且最大利润为. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $