第09讲 一元二次方程的解法（第2课时 开平方法、配方法）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第09讲 一元二次方程的解法（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：开平方法解一元二次方程 1.开平方法的概念 一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1=,x2=-。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。如x2=4,解得x=±2,即x1=2,x2=-2。(x+1)2=5,解得x+1=±,即x1=-1+,x2=-1-。 2.用开平方法解一元二次方程的步骤 (1)把原方程化成左边为含未知数的式子的平方，右边为非负数的形式，即：x2=a或（x+b）2=a，(a≥0)； (2)开平方，把一元二次方程转化成一元一次方程； (3)解一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 注意：利用开平方法解一元二次方程时，一定要注意方程有两个解。 知识点2：配方法解一元二次方程 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为（x+b）2=a(a≥0)的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 配方法的基本步骤： ①移项：将常数项移到右边，有x的项移到左边； ②配方：在左右两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式； ③配成：将左边写成完全平方式的形式； ④检查：检查等式右边是否为非负数，若是则方程有解；若不是，则方程无解； ⑤开方：左右两边分别开平方，解出一元二次方程的两个根。 【题型1 开平方法解一元二次方程】 例1．用开平方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 变式1.用开平方法解下列一元二次方程： （1） （2）2 （3） （4） 变式2.（25-26九年级上·河北邢台·月考）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求m的值； (2)当时，求该方程的实数根． 【题型2 配方法解一元二次方程】 例2．用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 例3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 变式1．用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 变式2.（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则 ． 【题型3 配方法和开平方法的典型问题探究】 例4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）在用配方法解方程时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得 第二步：配方，得， 即 第三步：两边开平方，得 第四步：所以，，． (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 例5．定义新运算“”：对于任意有理数，，都有． (1)计算：的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 变式1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 问： (1)小明第三步配方的依据是＿； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 (2)小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____． (3)直接写出该方程的根是_____． 变式2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D． ， 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 6．配方法解一元二次方程，应在方程两边同时加上 7．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：， 8．（25-26九年级上·四川广元·期中）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果方程 可以配方成 ，那么 ． 10．（25-26九年级上·河南信阳·月考）解方程： (1)； (2)． （3） （4） （5） 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在解一元二次方程 时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 或 第五步： 问： (1)小明第三步配方的依据是 ； A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号) (3)请你写出正确的解答过程． 12．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，点对应的实数为____________，点对应的实数为____________，A，B两点之间的距离为____________； (2)若，求的值． 13．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)用配方法将此方程变为的形式； (2)讨论该方程根的情况． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一元二次方程的解法（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：开平方法解一元二次方程 1.开平方法的概念 一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1=,x2=-。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。如x2=4,解得x=±2,即x1=2,x2=-2。(x+1)2=5,解得x+1=±,即x1=-1+,x2=-1-。 2.用开平方法解一元二次方程的步骤 (1)把原方程化成左边为含未知数的式子的平方，右边为非负数的形式，即：x2=a或（x+b）2=a，(a≥0)； (2)开平方，把一元二次方程转化成一元一次方程； (3)解一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 注意：利用开平方法解一元二次方程时，一定要注意方程有两个解。 知识点2：配方法解一元二次方程 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为（x+b）2=a(a≥0)的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 配方法的基本步骤： ①移项：将常数项移到右边，有x的项移到左边； ②配方：在左右两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式； ③配成：将左边写成完全平方式的形式； ④检查：检查等式右边是否为非负数，若是则方程有解；若不是，则方程无解； ⑤开方：左右两边分别开平方，解出一元二次方程的两个根。 【题型1 开平方法解一元二次方程】 例1．用开平方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【详解】（1）解： 解得，． （2）解：， ， 解得； （3）解： ∴ ∴， 解得： （4）解：， ∴， 解得． 变式1.用开平方法解下列一元二次方程： （1） （2）2 （3） （4） 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【详解】（1）解： 解得 即，． （2）解：2， ， ， 解得； （3）解： ∴ ∴， 解得： （4）解：， ∴， 解得． 变式2.（25-26九年级上·河北邢台·月考）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求m的值； (2)当时，求该方程的实数根． 【答案】(1)的值为． (2)， 【详解】（1）解：将代入原方程，得：， 解得：， 的值为． （2）解：时，原方程为， ， ， ， 解得：，， 该方程得实数根为，． 【题型2 配方法解一元二次方程】 例2．用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得． （2）解： 解得． （3）解： 解得． （4）解： 解得． 例3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【答案】2026 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．用配方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）． （3）． （4）． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得． （2）解： 解得． （3）解： 解得． （4）解： 解得． 变式2.（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则 ． 【答案】3 【详解】解：方程， 配方，得， 即， 则， 解得. 故答案为：3. 【题型3 配方法和开平方法的典型问题探究】 例4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）在用配方法解方程时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得 第二步：配方，得， 即 第三步：两边开平方，得 第四步：所以，，． (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 故小颖的解答过程从第二步开始出现错误． （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 解得． 例5．定义新运算“”：对于任意有理数，，都有． (1)计算：的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)33 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： ， 解得 （3）解： ， 整理得 解得 变式1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 问： (1)小明第三步配方的依据是＿； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 (2)小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____． (3)直接写出该方程的根是_____． 【答案】(1)A (2)第二步 (3) 【详解】（1）解：小明第三步配方的依据是完全平方公式； 故选A； （2）解：第二步开始出现错误，等式右边没有加1； （3）解：， ， ， 解得． 变式2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 整理得， 解得； （2）解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D． ， 【答案】D 【详解】解：， ， 直接开方得：，， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（配方）， ∴ 故选：C． 4．对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ∴， ∴ 整理得， 解得． 故选：D． 5．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【详解】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 6．配方法解一元二次方程，应在方程两边同时加上 【答案】9 【详解】解：∵， 配方，得：，即：； 故答案为：9． 7．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：， 【答案】或 【详解】解： ∴，． 故答案为： ，． 8．（25-26九年级上·四川广元·期中）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 【答案】 【详解】解：方程两边直接开平方， 得， 因此两个一元一次方程分别为和， 故另一个方程是． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如果方程 可以配方成 ，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程 可以配方成 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河南信阳·月考）解方程： (1)； (2)． （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【详解】（1）解： 解得：. （2）解： 解得： （3）解： 或 解得： （4）解： 解得： （5）解： 解得： 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在解一元二次方程 时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 或 第五步： 问： (1)小明第三步配方的依据是 ； A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号) (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)A (2)2 (3)，过程见解析 【详解】（1）解：由题知，第三步配方的依据是完全平方公式， 所以A选项符合题意． 故答案为：A； （2）解：由解题步骤可知， 第二步等式右边漏加了1， 所以第二步出现错误． 故答案为：2； （3）解：， ， ， ， 则， 所以，． 12．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，点对应的实数为____________，点对应的实数为____________，A，B两点之间的距离为____________； (2)若，求的值． 【答案】(1)，0，3． (2)， 【详解】（1）解：当时， 数轴上点对应的实数为，点对应的实数为． ∴A，B两点之间的距离为， （2）∴； 依题意， ∴ ∴ ∴， 解得：，. 13．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)用配方法将此方程变为的形式； (2)讨论该方程根的情况． 【答案】(1) (2)详见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根， 当时，该方程无实数根． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $