第08讲 一元二次方程的解法（第1课时 因式分解法）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第08讲 一元二次方程的解法（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的定义 利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。通过因式分解，把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 2.因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)移项：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零。 (2)化积：将方程的左边分解因式，化为两个一次因式的乘积。 (3)转化：根据若A×B=0,则A=0或B=0,使每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解即原一元二次方程的解。 3.几种常见的用因式分解法求解的方程 (1)形如x2+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0, 则x=0或x+b=0,即x1=0,x2=-b。 (2)形如x2-a2=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x2=a。 (3)形如x2±2ax+a2=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)2=0,所以x1=x2=∓a。 (4)形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x2=-b。 注意： （1）因式分解法只适用于部分有解的一元二次方程。 （2）在方程的右边没有化为0之前，不能把左边进行因式分解。 （3）因式分解法解方程是把一个一元二次方程通过“降次”化为两个一元一次方程来解，体现了转化思想。 【题型1 一般的因式分解形式解一元二次方程】 例1．解下列一元二次方程： （1）； （2） （3） （4） 例2．解下列一元二次方程： （1） （2） 变式1.解下列一元二次方程： （1） （2）； （3） （4） 【题型2 用完全平方式分解因式求解一元二次方程】 例3．解下列一元二次方程： (1) (2) (3） 变式1.解下列一元二次方程： (1) （2） （3） 【题型3 用十字相乘法分解因式求解一元二次方程】 例4．解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 变式1．解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 【题型4 因式分解法求解一元二次方程的易错点】 例5．解方程：文文与明明两位同学解方程的过程如下： 文文： 两边同除以，得 则． 明明： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． 文文的解法_____；明明的解法_____；（填“正确”或“不正确”） 请你写出解一元二次方程的正确过程： 变式1．下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小颖同学：解：  第一步   第二步   第三步 或  第四步 解得  第五步 任务一：小颖同学的解答过程中，从第________步开始出现错误． 任务二：任意选择一种方法求该一元二次方程的解． 1．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）解方程较为合适的方法是（   ） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 3．（25-26九年级上·四川成都·自主招生）若，则的值为（   ） A．6或0 B．或0 C．5或0 D．或0 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（   ） A．16 B．11 C．11或16 D．11或17 5．（25-26九年级上·福建厦门·周测）关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 6．方程的根为 ． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是 ． 8．方程 的根是 ． 9．（25-26九年级上·广东潮州·期中）若，则 ． 10．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为 ． 11．（25-26九年级上·广东深圳·周测）解方程： (1)； (2)． (3)； (4)； 12.（25-26九年级上·河北保定·月考）对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． (2)请给出正确的解答过程． 13．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果一元二次方程的两根相差2，那么称该方程为“差2方程”，例如：是“差2方程”． (1)判断方程_____“差2方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的方程（是常数）是“差2方程”，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程的解法（第1课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的定义 利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。通过因式分解，把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 2.因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)移项：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零。 (2)化积：将方程的左边分解因式，化为两个一次因式的乘积。 (3)转化：根据若A×B=0,则A=0或B=0,使每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解即原一元二次方程的解。 3.几种常见的用因式分解法求解的方程 (1)形如x2+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0, 则x=0或x+b=0,即x1=0,x2=-b。 (2)形如x2-a2=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x2=a。 (3)形如x2±2ax+a2=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)2=0,所以x1=x2=∓a。 (4)形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x2=-b。 注意： （1）因式分解法只适用于部分有解的一元二次方程。 （2）在方程的右边没有化为0之前，不能把左边进行因式分解。 （3）因式分解法解方程是把一个一元二次方程通过“降次”化为两个一元一次方程来解，体现了转化思想。 【题型1 一般的因式分解形式解一元二次方程】 例1．解下列一元二次方程： （1）； （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解： 0 或 ∴，； 即：， （4）解： =0 0 或 ∴，； 例2．解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【详解】（1）解： 或 ∴． （2） 或 ∴． 变式1.解下列一元二次方程： （1） （2）； （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解：； 或 ∴，． （3）解： 或 ∴，． （4）解： 或， ∴，； 【题型2 用完全平方式分解因式求解一元二次方程】 例3．解下列一元二次方程： (1) (2) (3） 【答案】(1) (2) (3） 【详解】(1)解： 解得； (2)解： 解得； (3）解： 解得； 变式1.解下列一元二次方程： (1) （2） （3） 【答案】(1) (2) (3） 【详解】（1）解： 解得； (2)解： 解得； (3）解： 解得 【题型3 用十字相乘法分解因式求解一元二次方程】 例4．解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，； 变式1．解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【详解】(1)解：， ， 或， ，． (2)解： ， ，． (3) ， 【题型4 因式分解法求解一元二次方程的易错点】 例5．解方程：文文与明明两位同学解方程的过程如下： 文文： 两边同除以，得 则． 明明： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． 文文的解法_____；明明的解法_____；（填“正确”或“不正确”） 请你写出解一元二次方程的正确过程： 【答案】不正确；不正确；正确过程见解析 【详解】解：文文的解法：当时，不满足等式的性质，故文文的解法不正确； 明明的解法，在提取公因式时错误，正确应为， 正确过程如下： ∴或， ∴． 变式1．下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小颖同学：解：  第一步   第二步   第三步 或  第四步 解得  第五步 任务一：小颖同学的解答过程中，从第________步开始出现错误． 任务二：任意选择一种方法求该一元二次方程的解． 【答案】任务一：三；任务二： 【详解】任务一：从第三步出现错误，提取公因式后，应该变为， 故答案为：三； 任务二：解： 或 解得． 1．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）解方程较为合适的方法是（   ） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 【答案】D 【详解】解：∵， ∴提取公因式x得， 进而得或， 解得，， 该过程简洁直接，故选择因式分解法． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ， ， 或， 解得， ， 故选C． 3．（25-26九年级上·四川成都·自主招生）若，则的值为（   ） A．6或0 B．或0 C．5或0 D．或0 【答案】B 【详解】∵ ∴， ∴， ∴或 ∴当时，； 当时，； 综上所述，的值为或0． 故选：B． 4．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（   ） A．16 B．11 C．11或16 D．11或17 【答案】A 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴，． ∵等腰三角形的两边长为2和7， ∴第三边可能为2或7． 当第三边为2时，三边为2、2、7，但，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 当第三边为7时，三边为2、7、7，且，，，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 故选：A． 5．（25-26九年级上·福建厦门·周测）关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【答案】D 【详解】解：∵ 方程 的判别式 ， ∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选项C不符合题意； 当时，代入方程：， ∴是方程的一个根， 故选项A不符合题意； 设另一个根为，由因式分解得，展开得， 与原方程比较系数得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 方程的一个根大于1， 故选项B不符合题意； ∵方程的两个根为1和，均不小于1， ∴ 没有根小于1， 故选项D符合题意． 故答案为：D． 6．（2019·江苏徐州·中考真题）方程的根为 ． 【答案】， 【详解】解：由原方程，得， 则或， 解得，． 故答案是：，． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比小，比大，不妨设另一个根为， ∴一元二次方程可写为， 展开得． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）方程 的根是 ． 【答案】 【详解】解：， = ， = ， = ， = ， ， 故方程的根为：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东潮州·期中）若，则 ． 【答案】0 【详解】解：设（），则原方程化为， 因式分解得， 解得或， 又，故，即． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为 ． 【答案】21 【详解】解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 11．（25-26九年级上·广东深圳·周测）解方程： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得：，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得：，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （4）解： 解得：，． 12.（25-26九年级上·河北保定·月考）对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【详解】（1）解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． （2）解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 13．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果一元二次方程的两根相差2，那么称该方程为“差2方程”，例如：是“差2方程”． (1)判断方程_____“差2方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的方程（是常数）是“差2方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)或． 【详解】（1）解：解方程， 因式分解得， ∴或， ∴，， ∵， ∴是“差2方程”； 故答案为：是； （2）解：由， ∴或， 解得，， ∵方程（n是常数）是“差2方程”， ∴或， ∴或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $