山东省聊城第一中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（一）

2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试题（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 2.若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3．记为公差不为0的等差数列的前项和，则下面说法不正确的是（   ） A．成等差数列 B．成等差数列 C． D． 4.设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 5．等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6.在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7.记椭圆的左，右焦点分别为，，下顶点为，直线与相交于另一点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足， 设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分．在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目 要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分． 9．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．是递减数列 B． C．当时，取得最小值 D．当时，取得最大值 10. 已知直线，圆，则（    ） A．，与相交 B．，使得圆心到的距离为 C．当圆截所得的弦长为时，的值为 D．当圆上有个点到的距离为时， 11．已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（    ） A． B．是等差数列 C．是等差数列 D．若，则n的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知等差数列的前项和为，，，则 . 13.设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面. (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（15分）已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点. (1)求准线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值. 18．（17分）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：是等差数列，并求； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和. 19.（17分）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1,0）的直线交于两点A，B． 直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 答案 1．A 2.D 3．D 4. D 5．D 6．A 7.D 8． B 5.【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 6.【答案】B 【详解】如图：作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则，而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知， 当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 7.【答案】D【详解】设椭圆的半焦距为，， 由，得， 由椭圆的定义得，. 如图，由余弦定理得， 即，化简得， 即，即，故，即得（负值舍去）. 故选：D. 8.【答案】A 【详解】由抛物线的定义知，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故，所以的最大值为 故选：A. 9．【答案】ABD【详解】对于A：，.又， ，故等差数列是递减数列，故A正确； 对于B：由A可知，且数列是递减数列，故有，， 因此有，故，即，故B正确； 对于C、D：由B可知，当时，；当时，，故当时，取得最大值，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10．【答案】ACD 【详解】直线可变形为， 令，则，解得，，则直线恒过定点； 又圆的圆心为，半径为. 则圆心到直线的距离为. 对于A选项，，点在圆内， 对，与相交，故A正确； 对于B选项，令，两边平方化简得，， ，此方程无解， 不存在实数，使得圆心到的距离为，故B错误； 对于C选项，直线与圆相交弦长， 则，解得，，两边平方解得， 当圆截所得的弦长为时，的值为，故C正确； 对于D选项，当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离， 即，两边平方解得，即，故D正确. 故选：ACD. 11．【答案】ABC【详解】选项A：因为，， 令，则，因为，所以， 又因为，故，选项A正确； 选项B：因为，则两边同时除以，得：，即，且， 因此是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确； 选项C：由的通项可得：，即， 当时，， 当时，，通项成立，则， 所以，所以是等差数列，选项C正确； 选项D：由，则不等式为：，（，，两边除以）得：， 则当时：，，，不成立， 当时：，，，成立， 所以的最小值为6，选项D错误. 故选ABC. 12.【答案】9 13.【答案】【详解】因为为有穷正项等差数列的前n项和，， 所以均为正数，且，解得. 由等差数列的性质知. 所以 ，当且仅当，即，亦即时等号成立， 故答案为： 14.【答案】 【详解】如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 15．【详解】（1）由于， 故解得，所以. （2）由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得，即，则，或， 又因为，所以的最小值为4. 16．【详解】（1）取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则平面， 且，所以， 因为，平面 可得平面，且平面， 所以. （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面的法向量为，则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 17．【详解】（1）解：因为抛物线关于轴对称， 可得必过中的两点， 代入可得，解得， 所以抛物线的方程为，准线的方程为. （2）解：证明：设直线的方程为且， 联立方程组，整理的， 可得，且，则. 又直线的方程为，令，得点的纵坐标， 又由过点作的垂线，垂足为，所以点的纵坐标， 所以 （定值）. 18．【详解】（1）在数列中，①， 又因为②,， 所以得． 又因为， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，，因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即；当时，， 所以，所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知，所以． 所以， 所以 . 19. 【详解】（1）如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直， 则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． （2）设直线AB的方程为，由得，，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $