5.2.3 简单复合函数的导数（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.1 导数的概念及其意义 5.2.3 简单复合函数的导数 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 了解复合函数的概念，理解函数复合的过程，培 育逻辑推理的核心素养 能求简单的复合函数（限于形如 ）的导数，培育数学运算的核心素养 能利用复合函数的导数解决与切线有关的问题及实际问题，培育逻辑推理的核心素养 旧知回顾 导数的四则运算法则 新知导入 问题1 如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 这个函数不是由基本初等函数通过四则运算得到的，因此既没有没有相应的求导公式也无法通过导数的四则运算法则来求导. 那么该如何对这个函数进行求导呢？ 下面，我们先分析这个函数的结构特点． 新知探究 追问2 函数 y＝ln(2x-1) 的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？ 若设 u=2x-1 , 则 y=lnu. 如果把 y 与 u 的关系记作 y=f (u) ，u 与 x 的关系记作 u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为 y=f (u)=f (g(x))= ln(2x-1). 从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 及u＝2x-1 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数. 新知探究 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g (x)的复合函数. 记作：y=f (g(x)). 复合函数 例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 新知探究 试一试：以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1 u=－0.05x+3 u=x+1 y=log2u y=u3 u=3x+5 y=eu 新知探究 问题2 如何求复合函数的导数呢？ 以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.（分两步进行） (1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关. 以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数,以 u′x 表示 u 对 x 的导数 可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数 y′u=cosu, u′x =2 (2)可以换个角度来求 y′x ： y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x 定义新知 复合函数的导数法则 一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 新知探究 函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成 以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导 因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2, 所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 ＝ 问题3 现在可以用复合函数的求导法则来求函数 y＝ln(2x-1) 的导数了吗？ 典例分析 例6 求下列函数的导数: 解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数 根据复合函数求导法则，有 y'x＝y'u·u'x=(u3)'· (3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2. (2)y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数 根据复合函数求导法则，有 y'x＝y'u·u'x=(eu)'· (－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1. 总结规律 (1)复合函数求导的基本步骤  (2)求复合函数的导数需要注意以下几点： ①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁． 方法技巧 典例分析 例7 某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 课后练习 课本练习 课本P81 1. 求下列函数的导数: 解： 课后练习 课本练习 课本P81 1. 求下列函数的导数: 课后练习 课本练习 课本P81 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课后练习 课本练习 课本P81 解： 复合函数的导数 题型一 题型探究 【例1】(多选题) 下列复合函数的导数计算正确的是 ( @5@ ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 [解析] 令 <m></m> ，则 <m></m> ，故A错误； 令 <m></m> ，则 <m></m> ，故B正确； 令 <m></m> ，则 <m></m> ，故C错误； 令 <m></m> ，则 <m></m> ，故D正确. BD 复合函数的导数 题型一 题型探究 【例2】已知函数 ，则 ( @7@ ) A. B. C. D. [解析] 由 <m></m> ，得 <m></m> ， 所以 <m></m> . C 复合函数的导数 题型一 题型探究 提分笔记 计算复合函数的导数的方法步骤 （1）换元：将复合函数 通过换元法化为基本初等函数 ， ； （2）求导数：分别求基本初等函数的导数与 ； （3）相乘再还原：利用 计算导数，最后将中间变量还原 为自变量 . 复合函数与导数四则运算法则的综合应用 题型二 题型探究 【例3】 求下列函数的导数. （1） ； [解析] 解法一：对于函数，令 ， 则，所以 . 对于函数，令 ，则 ， 所以 . 所以函数 的导数为 . 解法二： ， . 复合函数与导数四则运算法则的综合应用 题型二 题型探究 【例3】 求下列函数的导数. （2） . [解析] 函数的导数为，且 ， 所以函数 的导数为 . 复合函数与导数四则运算法则的综合应用 题型二 题型探究 解题感悟 复合函数与导数四则运算法则综合问题的求解方法 （1）先利用换元法计算复合函数的导数； （2）再利用导数的四则运算法则求函数的导数； （3）如果求复合函数导数的方法有多种，那么尽可能运用简捷的方法. 复合函数的导数的应用 题型三 题型探究 【例5】已知曲线<m></m>在点<m></m>处的切线与其平行直线<m></m>的距离为m</m>，求<m></m>的方程． 所以曲线在点 <m></m> 处的切线的斜率 <m></m> ， 所以该切线方程为 <m></m> ，即 <m></m> ， 设 <m></m> 的方程为 <m></m> ，则切线与直线 <m></m> 的距离 <m></m> ， 解得 <m></m> 或 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> 的方程为 <m></m> ，即 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> 的方程为 <m></m> ，即 <m></m> . 综上可知， <m></m> 的方程为 <m></m> 或 <m></m> . [解析] 由题意，得<m></m>， 复合函数的导数的应用 题型三 题型探究 【例6】设函数 <m></m> ，曲线 <m></m> 与直线 <m></m> 在点 <m></m> 处相切．求<m></m> ，<m></m> 的值． [解析] 由曲线 <m></m> 过 <m></m> 点，得 <m></m> ，解得 <m></m> . 由 <m></m> ， 得 <m></m> ，则 <m></m> ， 即曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线的斜率 <m></m> ． 由题意，得 <m></m> ，故 <m></m> . 综上所述， <m></m> ， <m></m> . 复合函数的导数的应用 题型二 题型探究 解题感悟 求复合函数图象的切线的方法步骤 （1）判断问题是求复合函数图象在某点处的切线还是过某点的切线， 若不知道切点，则需先设切点的坐标. （2）求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切 线的点斜式方程，进一步求解. 课堂达标 1. 已知函数 ，则 ( @26@ ) A. B. C. D. B [解析] <m></m> ，所以 <m></m> . 2. 函数 的导数为( @28@ ) A. B. C. D. C ]<m></m> . 课堂达标 3. 已知函数 ，则 =____. <m></m> [解析] <m></m> · <m></m> ，令 <m></m> ，得 <m></m> · <m></m> ，所以 <m></m> . 4. 已知直线 与曲线 相切，则 的值为____. 3 [解析] 依题意得 <m></m> ，因此曲线 <m></m> 在切点处的切线的斜率等于 <m></m> ， <m></m> , <m></m> .此时, <m></m> ,即切点坐标为 <m></m> ，相应的切线方程是 <m></m> ,即直线 <m></m> , <m></m> , <m></m> . 课堂小结 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数， 记作y＝f (g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系 为y′x＝yu'×ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 3.复合函数求导的步骤： 分解→求导→回代 感谢聆听! 第一步：分解——适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数 关系； 第二步：求导——分层求导（弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量 求导），特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求. 第三步：相乘——将与两式相乘 第四步：回代——将中间变量代回元自变量（一般是）的函数. $