5 简单复合函数的求导法则（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦简单复合函数的概念及求导法则，通过“探究站”引导学生阅读教材，结合油轮泄漏等实例导入，搭建从导数基础到复合函数求导的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以油轮泄漏、水位退潮等实际情境培养数学眼光，通过分步求导步骤和题型训练发展数学思维，用规范符号表达强化数学语言。帮助学生理解应用，教师教学更系统高效。

5 简单复合导数的求导法则 第二章 导数及其应用 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值(最值) 利用导数解决最值问题 认识实际问题中的导数的意义 导数的概念及其几何意义     导数应用 导数在研究函数性质中的应用 导数在解决实际问题中的应用 导数的计算 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则 简单复合函数的求导法则 变化的快慢与变化率 平均变化率 瞬时变化率 学 习 目 标 1 2 3  理解复合函数的定义，能准确识别复合函数的内层函数与外层函数.  掌握简单复合函数的求导法则. 能运用法则求解常见简单复合函数的导数，解决基础实际问题（重点、难点）. 读教材 阅读课本P74-P75，5分钟后完成下列问题： 1.什么是复合函数？生活中或数学中哪些函数是复合函数？ 2.简单复合函数的求导法则是什么？ 3. 如何分步求解复合函数的导数？ 我们一起来探究“简单复合函数的求导法则”吧！ 学习过程 01 目录 1 简单复合函数的概念 03 02 2 简单复合函数的求导法则 3 题型训练 实例分析 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积 S (单位： 与油膜的半径 r (单位：m)的函数关系为   油膜的半径 r 随着时间 t (单位：s)的增加而扩大，假设 r 关于 t 的函数解析式为    油膜的面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率是多少？ 分析 由题意知，时间 t 决定油膜的半径 r ，进而决定油膜的面积 S ，所以可得 S关于 t 的函数解析式为    油膜的面积 S关于时间 t 的瞬时变化率就是函数 的导数. 复合函数 因为 根据导数公式表和导数的四则运算法则， 可得   所以油膜的面积 S关于时间 t 的瞬时变化率为 抽象概况 简单复合函数的概念 一般地，对于两个函数 和 如果给定 x 一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，那么 y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作其中 u 为中间变量. 牛刀小试 1.指出下列函数分别是由哪两个函数复合而成的． (1)； (2) (3) (4) 是由函数，复合而成的． 是由函数，复合而成的． 是由函数，复合而成的． 是由函数，复合而成的． 学习过程 01 目录 1 简单复合函数的概念 03 02 2 简单复合函数的求导法则 3 题型训练 实例分析 由计算可得 ， 即 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积 S (单位： 与油膜的半径 r (单位：m)的函数关系为   油膜的半径 r 随着时间 t (单位：s)的增加而扩大，假设 r 关于 t 的函数解析式为    观察函数的导数，你能发现什么规律？ 我们可以观察到 抽象概况 简单复合函数的求导法则 复合函数对 x 的导数为 说明 表示 y 对 x 的导数. 注意 (1)分解的函数通常为基本初等函数. (2)要分清楚复合函数的复合关系，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量. (3)分步求解时一定要明确是对哪个变量求导，其中特别注意变量的系数. 典例分析 【例1】求函数的导数 . 解：引入中间变量，则函数是由函数与复合而成的. 解：引入中间变量，则函数是由函数与复合而成的. 由复合函数的求导法则，可得 【例2】求函数 的导数. 由复合函数的求导法则，可得 典例分析 【例3】一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 h（单位：cm）关于时间 t（单位：s）的函数解析式为，求函数时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数是由函数与复合而成的,其中，是中间变量. 由复合函数的求导法则，可得 将代入，得 它表示当时，水面高度下降的速度为 抽象概况 计算简单复合函数导数的步骤 分解 求导 回代 选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求 计算并把中间变量转化为自变量的函数. 学习过程 01 目录 1 简单复合函数的概念 03 02 2 简单复合函数的求导法则 3 题型训练 题型训练 题型一 求复合函数的导数 【练习1】求下列复合函数的导数： (1)； (2) 解(1)设，则 (2)设，，则 题型训练 题型一 求复合函数的导数 (3)； (4) 解:(3)设，，则 . (4)设则 题型训练 题型一 求复合函数的导数 复合函数求导： (1)分清楚复合函数的复合关系，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量. (2)分步计算中的每一步，都要明确是对哪个变量求导，而其中特别注意变量的系数. (3)层层求导，一直导到不能导. (4)熟练之后，中间复合过程可以省略. 题型训练 题型二 复合函数导数计算的应用 【练习2】(2025·山西阳泉期末)曲线在点处的切线方程为(　　) 解因为=，所以，所以曲线在点(0，1)处的切线斜率为 所以切线方程为，即. 题型训练 题型二 复合函数导数计算的应用 【练习3】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________． 解设直线与曲线相切于点，与曲线 相切于点，则切线分别为 ,这两条切线表示同一条直线，所以 解得，所以 1－ln 2 题型训练 题型二 复合函数导数计算的应用 处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上； (3)切点在曲线上． 题型训练 题型二 复合函数导数计算的应用 【练习4】(2025·全国统一考试模拟题)已知函数的图象关于坐标原点对称，则曲线在处的切线方程为___________． 解依题意，函数为奇函数，当时，则，所以 ，即，所以 ，，所以，又，所以切线方程为，即. 课堂小结   1.一般地，对于两个函数 和 如果给定 x 一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，那么 y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作其中 u 为中间变量. 2.复合函数对 x 的导数为 感谢聆听! $