专题04两条直线的位置关系题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04两条直线的位置关系题型突破讲义 01 重难点 重点内容 1.同一平面内两条直线的位置关系 掌握同一平面内两条直线只有相交和平行两种位置关系，明确“同一平面内”是 前提条件，能准确区分两种位置关系的特征。 2对顶角的定义与性质 能根据定义快速识别对顶角，牢记对顶角相等的核心性质，会利用该性质进行简单 的角度计算。 3.垂直的相关概念与性质 理解垂直是相交的特殊情况，掌握垂直的定义、表示方法（如直线a⊥b);熟练运 用 两个核心性质： *过一点有且只有一条直线与己知直线垂直： *垂线段最短，能结合该性质解决简单的实际距离问题。 二、难点内容 1.容易忽略“同一平面内”这个前提，误以为任意两条直线不是相交就是平行，其 实空间中还有不相交也不平行的直线（暂时不用深究空间情况，记准平面内的两种 关系即可)。 2.能记住“对项角相等”，但不会用“邻补角和是180°”的知识推导，做题时只知 结论、不懂原理，遇到需要推导的题目就卡壳。 3.知道“垂线段最短”，但碰到实际题（比如找最短路径、算最短距离），不会把 题目场景转换成数学里的垂线段模型，不知道怎么应用。 4.分不清“垂线”和“垂线段”：垂线是无限长的直线，没法度量长度：垂线段是 有固定长度的线段，距离都是用垂线段算的，混淆二者容易算错距离。 02 题型梳理 基础 1.平面内两条直线的位置关系 2.立体图形中平行棱的识别 试卷第1页，共3页 3.相交线的概念与性质 4.对顶角的定义 通关题 5.对顶角相等的性质 6.余角的计算 7.补角的计算 8点到直线的距离的定义 9.余角与补角的综合计算 10.垂线的定义理解 能力提升题 11.垂线的作图方法 12.垂线段最短的性质 拓展拔高题 13.同（等）角的余（补）角相等的应用 基础过关题 【题型1.平面内两条直线的位置关系】 1.下列图形表示平面内直线AB∥CD的是() A B B A.C B D 2.一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：①一：② ① 特殊情况 ② 在同一平面内，两条 不重合的直线的位 置关系。 平行 3.在同一平面内有2026条互不重合的直线”，4， a,如果/a,a∥a， a3∥a4a4∥a5 ,…,以此类推，那么4与“的位置关系是(） A.垂直 B.平行 C.垂直或平行 D.不能确定 4.平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000 条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有对， 解答题 试卷第2页，共3页 AC,BC 5.如图，已知方格纸上有两条线段 ,根据下列要求完成以下操作： ①)过点5作4C的平行线： (2)连接AB 取B中点0，过点0作的平行线与8C交于点E 【题型2.立体图形中平行棱的识别】 6.如图，在正方体ABCD-EFGH中，下列各棱与棱CD平行的是(） D F:. G A.BC B.BF C.EH D.EF 7.观察如图所示的长方体，回答下列问题： H G (1)用符号表示下列两条棱的位置关系：1B EF.AD AB,GF EF.AD GF:(填“∥”或“⊥”) (2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们（填“是”或“不是”）平行 线.由此可知，只有在一内，两条不相交的直线才能叫作平行线。 解答题 8.观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系： AB AA AB AD DC AD BC 试卷第3页，共3页 D B B 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下. 【题型3.相交线的概念与性质】 9.下列语句表示的图形是（只填图序）： B,C,D ①过点的三条直线与另一条直线分别相交于点 三点： ②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧作∠AOC和∠BOD: 0 B.C.D ③过点的一条直线和以为端点的两条射线与另一条直线分别相交于点 三点：一 B 图(1) 图(2) 图(3) 10.平面内三条直线的交点个数可能有() A.1个或3个 B.2个或3个 C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或3 11.如图，直线a,b,c交于点0，若∠3=110°，则∠1与∠2的度数之和为() A.70° B.55 C.40° D.35° 12.某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局 计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数 最多为一 解答题 试卷第4页，共3页 13.下列说法中： ①若对于任意有理数x,则x++B- 存在最小值为4： ②如果关于x的二次多项式3x+mx+mm-x+3的值与x的取值无关，则m+川m-川 的值为-8； ③一条线垂直于两条直线中的一条，则这条直线也垂直于另一条； ④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则m- 的值为5. 其中正确的有（填序号）一 【题型4.对顶角的定义】 14.下列各图中，∠1和∠2互为对顶角的是() D 15.光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形 成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，∠1=∠2， ∠4<∠3，下列结论正确的是() 入射光线反射光线 35 2 空气 玻璃 \折射光线 A.∠1与∠2是对顶角 B.∠4与∠3是对顶角 试卷第5页，共3页 C.∠3=∠5 D.∠4=∠5 16.在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角. 17.下列各图中的直线都相交于一点. ×兴米 ② ③ 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角. 【题型5.对顶角相等的性质】 18.如图，直线AB,CD相交于点O,若∠1=40°，∠2=30°，则∠DOE的度数是() B D A.80° B.70° C.60° D.50° 19.若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=140°，则∠1的补角是. D1,D2,D3 20.如图，三条直线a,b,c交于一点， 从小到大排序，用“<”连接为 a 609 S09 21.如图，已知直线AB与CD相交于点O,为了说明AB⊥CD,甲、乙、丙分别添加了一 个条件，下列判断正确的是() 试卷第6页，共3页 甲：∠AOC=90°：乙：∠AOC=∠BOC;丙：∠AOC+∠BOD=180° A.只有乙不正确 B.只有丙不正确 C.甲、乙、丙都正确 D.以上都不正确 解答题 22.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF⊥OE于O,且 ∠DOF:∠BOE=2:3,求∠AOD的度数. 【题型6.余角的计算】 23.如图，∠BOD=∠COE=∠AOD=90°，则图中互余的角共有() E B A.2对 B.4对 C.3对 D.5对 24.以下说法正确的有() ①有理数包括正有理数和负有理数：②同角（或等角）的余角相等：③两点之间，直线最 短④“铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 25.直线AB与CD交于O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，则∠BOE的度数 26.如图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是 ∠AOB的三等分线，若∠BOC=30°，则∠EOD的度数为一 试卷第7页，共3页 解答题 27.如图，O是直线CE上的一点，以O为顶点作∠AOB,使∠BOC与∠AOC互余，且 OA、OB位于直线CE的两侧，OB平分∠COD, B D (1)当∠A0C=60°时，求∠D0E的度数： (2)请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由， 【题型7.补角的计算】 28.如果∠1与∠2互补，∠1=30°，则∠2的度数是() A.50° B.60 C.120° D.150° 29.若1和22是对顶角， 4=70,则2的补角的度数是( ) A. 20 B.700 C.110 120° D. 30.如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板30°角的顶点与另一个三角板的 直角顶点重合，若∠DOC=1330',则∠AOB的补角是 31.若“与B是对顶角。“的补角是10，则B的余角的度数为- <B 解答题 32.如图，直线AB,CD相交于点O,OE在∠BOD的内部. 试卷第8页，共3页 (1)图中∠AOD的对顶角为 ∠COE的补角为 (2)若∠AOC=80°，且∠B0E:∠EOD=1:4,求∠AOE的大小. 【题型8.点到直线的距离的定义】 33.如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段() A.AE B.BE C.BD D.CF 34.体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是() A.点到直线的距离相等 B.两点之间线段最短 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线 ∠BAC=90°，AD⊥BC 35.如图， 垂足为P,则下面的结论正确有 ①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB;④线段 AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是B点到AC的距离. D 36.定义：平面中两条直线和相交于点0，对于平面上任意一点M,若P、9分别是 M到直线和的距离，则称有序非负实数对P,9)是点M的“距离坐标”，根据上述定 试卷第9页，共3页 义，“距离坐标”是02)的点的个数是 解答题 37.(1)如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G;过点A画直线AB的垂线， 交BC于点H. (2)线段 的长度是点A到直线BC的距离. (3)线段AG、AH的大小关系为AG AH.(用符号>，<，=，≥，≤表 示)理由是 能力提升题 【题型9.余角与补角的综合计算】 38.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠C0D=44°，则∠AOB= 39.将一副直角三角尺按如图放置，若∠A0D=20°，则∠B0C的大小是() A.110° B.120° C.140° D.160° 40.若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为一 试卷第10页，共3页 专题04两条直线的位置关系题型突破讲义 一、 重点内容 1.同一平面内两条直线的位置关系 掌握同一平面内两条直线只有相交和平行两种位置关系，明确 “同一平面内” 是前提条件，能准确区分两种位置关系的特征。 2.对顶角的定义与性质 能根据定义快速识别对顶角，牢记对顶角相等的核心性质，会利用该性质进行简单的角度计算。 3.垂直的相关概念与性质 理解垂直是相交的特殊情况，掌握垂直的定义、表示方法（如直线a⊥b）；熟练运用 两个核心性质： **过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； **垂线段最短，能结合该性质解决简单的实际距离问题。 二、 难点内容 1.容易忽略“同一平面内”这个前提，误以为任意两条直线不是相交就是平行，其实空间中还有不相交也不平行的直线（暂时不用深究空间情况，记准平面内的两种关系即可）。 2.能记住“对顶角相等”，但不会用“邻补角和是180°”的知识推导，做题时只知结论、不懂原理，遇到需要推导的题目就卡壳。 3.知道“垂线段最短”，但碰到实际题（比如找最短路径、算最短距离），不会把题目场景转换成数学里的垂线段模型，不知道怎么应用。 4.分不清“垂线”和“垂线段”：垂线是无限长的直线，没法度量长度；垂线段是有固定长度的线段，距离都是用垂线段算的，混淆二者容易算错距离。 基础 1.平面内两条直线的位置关系 2.立体图形中平行棱的识别 3.相交线的概念与性质 4.对顶角的定义 通关题 5.对顶角相等的性质 6.余角的计算 7.补角的计算 8.点到直线的距离的定义 能力提升题 9.余角与补角的综合计算 10.垂线的定义理解 11.垂线的作图方法 12.垂线段最短的性质 拓展拔高题 13.同(等)角的余(补)角相等的应用 【题型1.平面内两条直线的位置关系】 1．下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 2．一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 3．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 4．平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 解答题 5．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 【题型2.立体图形中平行棱的识别】 6．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可． 【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，， 故选D 7．观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系： ；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 （填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在 内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键． （1）由平行线及垂线定义可得答案． （2）由平行线定义可得答案． 【详解】解：（1）∵该图是长方体， ∴， 故答案为：；；；． （2）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 解答题 8．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 【题型3.相交线的概念与性质】 9．下列语句表示的图形是（只填图序）： ①过点的三条直线与另一条直线分别相交于点三点： ． ②以直线上一点为顶点，在直线的同侧作和： ． ③过点的一条直线和以为端点的两条射线与另一条直线分别相交于点三点： ． 【答案】 图（3） 图（2） 图（1） 【分析】本题考查了直线、射线与线段的知识以及相交线的相关知识，注意掌握三者的特点，给出图形应该能判断出是哪一个． 【详解】解：观察图形，根据所给的信息可得： ①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）； ②以直线上一点O为顶点，在直线的同侧画和的图形为（2）； ③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）． 故答案为：图（3）；图（2）；图（1）． 10．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 11．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 12．某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 解答题 13．下列说法中： ①若对于任意有理数x，则存在最小值为4； ②如果关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则的值为； ③一条线垂直于两条直线中的一条，则这条直线也垂直于另一条； ④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则的值为5. 其中正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查垂线、非负数性质、合并同类项和多项式等知识，理解和掌握非负数、同类项和垂线性质是正确判断的前提．逐项进行判断即可． 【详解】的意义是：数轴上表示数x的点到表示和3的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为，因此①正确； 由关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则，，因此，所以②正确； 一条线垂直于两条直线中的一条，如果这两条直线不平行，则这条直线就不垂直于另一条，因此③不正确； 在同一平面内，四条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点，即，，有，因此④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【题型4.对顶角的定义】 14．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 15．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 16．在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 【答案】20 【分析】本题考查了平面内两直线的位置关系、对顶角的定义，熟练掌握平面内两直线的位置关系是解题的关键．根据直线的位置关系可知，在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角，据此即可解答． 【详解】解：在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角， 在同一平面内任意画5条直线且直线两两相交，能构成最多对对顶角，此时对顶角共有对， 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成20对对顶角． 故答案为：20． 17．下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 【题型5.对顶角相等的性质】 18．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 19．若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 20．如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了对顶角相等，角的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故答案为：． 21．如图，已知直线与相交于点，为了说明，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有乙不正确 B．只有丙不正确 C．甲、乙、丙都正确 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义，对顶角性质进行求解判断，即可解题． 【详解】解：， ， 故甲正确， ，， ， ， 故乙正确， ，， ， ， 故丙正确， 综上所述，甲、乙、丙都正确， 故选：C． 解答题 22．如图，直线、相交于点，平分，于，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角，根据，得到，角平分线得到，平角的定义，求出的度数，进而得到的度数，对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：由，得． 由平分，得． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由对顶角相等，得． 【题型6.余角的计算】 23．如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：互余的角有：，，，， 共有4对， 故选：B． 24．以下说法正确的有（   ） ①有理数包括正有理数和负有理数；②同角（或等角）的余角相等；③两点之间，直线最短；④“铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，余角，线段的性质，垂线的应用，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：有理数包括正有理数，负有理数和0，故①说法错误； 同角（或等角）的余角相等；故②说法正确； 两点之间，线段最短；故③说法错误； “铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直；故④说法正确； 故选B． 25．直线与交于O，，则的度数 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于，那么这两个角叫做互为余角. 根据题意，分两种情况：（1）是锐角时；（2）是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出的度数是多少即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． （2）如图2， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． 综上，可得的度数是或． 故答案为：或． 26．如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 解答题 27．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型7.补角的计算】 28．如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 29．若和是对顶角，，则的补角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角相等，求一个角的补角，解题的关键是熟记定义． 由对顶角相等可得的度数，根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：． 30．如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴的补角为； 故答案为：． 31．若与是对顶角，的补角是，则的余角的度数为 ． 【答案】 【分析】根据补角定义可得的度数，再根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵的补角是， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴的余角的度为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了补角和对顶角，关键是掌握对顶角相等． 解答题 32．如图，直线，相交于点，在的内部． (1)图中的对顶角为______________，的补角为_________________； (2)若，且，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的意义，解题关键是能读懂所给的图． （1）根据对顶角，补角的意义求解； （2）先根据对顶角的性质，求得，再结合，求出，然后求出其补角的大小． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ， ． 【题型8.点到直线的距离的定义】 33．如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 34．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 35．如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ． ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离． 【答案】①④/④① 【分析】根据点到直线的距离和两条直线互相垂直即可逐项判断． 【详解】解：， ， ①与互相垂直，正确； ， ②与互相垂直，不正确； ③点到的垂线段是线段，而不是，不正确； ④线段的长度是点到的距离，正确； ⑤线段是点到的距离，不正确，应该是线段的长度是点到的距离． ①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了点到直线的距离和两直线垂直，解题的关键在于点到直线的距离是一个长度，即垂线段长度，而不是垂线段． 36．定义：平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 ． 【答案】2 【分析】由已知定义可知，“距离坐标”是的点表示到直线的距离为0，到直线的距离为2，即该点在直线上，据此分析即可得到答案． 【详解】解：解： 由已知定义可知，“距离坐标”是的点在直线上，可以在交点O的两侧各找到1个， 所以满足条件的点的个数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，正确理解“距离坐标”的定义是解题关键． 解答题 37．（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【题型9.余角与补角的综合计算】 38．如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．将一副直角三角尺按如图放置，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的运算，余角、补角及其性质，根据同角的余角相等，结合题意得，再由角的计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 40．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的3倍”作为相等关系列方程求解，即可得出结果． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 根据题意，得， 解得． 故答案为：． 41．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角的概念. 由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 即，故选项A不符合题意； B、∵， ∴与互余，故选项B不符合题意； C、当时，，故选项C符合题意； D、∵， ∴与互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 解答题 42．如图，与互为补角，与互为余角，平分且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义及余角和补角，熟练掌握角平分线的定义及余补角是解题的关键；先根据已知条件和互为余角的定义，求出，再根据互为补角的定义，求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据，求出答案即可． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； ∵与互为补角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型10.垂线的定义理解】 43．下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 【答案】B 【分析】钟表上，时针每小时移动，每分钟移动；分针每分钟移动．垂直时，时针与分针的角度差为或（但最小角度为90°）．通过计算各时刻时针与分针的角度差，可判断是否垂直． 本题重点考查的是钟面角问题，明确某一时刻，分针与时针所成角的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 时针速度：，分针速度：． A、 时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； B、时整， 时针角度， 分针角度， 角度差，垂直，正确，符合题意； C、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； D、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； 故选：B． 44．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 45．如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 46．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是 ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“”表示出来） ． 【答案】 ，见详解 ，共3对， 【分析】本题考查了平行线的定义，垂线的定义，线段的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，且结合线段的定义，进行列式计算，即可作答． （2）运用数形结合思想以及平行线的定义，进行分析，即可作答． （3）用三角尺或量角器度量、检验，且结合垂线的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）连接C、D、E、F中的任意两点，则有条线段， ∴共可得条线段，如图所示： 故答案为：； （2）观察图中信息，结合网格特征，得在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是； 故答案为：； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有，共3对． 故答案为：，共3对． 47．在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了两个角的两边互相垂直的两种情况，当两个角的两边分别垂直时，则这两个角相等或互补．解答的关键是能准确进行分情况讨论并画出图形，再根据情况列式解答即可． 【详解】 解：因为在同一平面内与的两边分别垂直，所以分两种情况讨论： 情况一：当时,如图1，设，则， 由比的3倍少， 可得：， 解得：， ； 情况二:当时,如图2，设， 则，可得： ， 解得：， ． 综上，的度数为或． 【题型11.垂线的作图方法】 48．下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 49．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有B选项符合题意， 故选：B ． 50．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 解答题 51．如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查过一点作已知直线（线段、射线）的垂线，解题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据垂线的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：如图，直线即为所求， 【题型12.垂线段最短的性质】 52．运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 53．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 54．如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确． 综上，正确的是②④， 故答案为：②④． 55．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 【题型13.同(等)角的余(补)角相等的应用】 56．如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等． 根据同角的余角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ，． ． 故选：B． 57．小颖在进行数学探究活动时，将一副直角三角尺如图所示摆放．摆放过程中，小颖惊奇地发现一个有趣的现象：与的度数始终相等．那么，能对这一现象作出合理解释的依据是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题考查了同角的余角相等，解题关键是能读懂图． 先根据两个直角相等，两个直角分别转化为两角之和，再利用等式性质变形即可得结果． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故答案为： 同角的余角相等． 58．下列说法中错误的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点可画无数条直线 C．一个角的补角一定大于这个角 D．同角的余角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线、直线定义、余角、补角等知识点，熟记相关定义是解题的关键． 根据相关定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．两点确定一条直线，说法正确，不符合题意；   B．过一点可画无数条直线，说法正确，不符合题意； C．设一个角为α，其补角为，当时，补角，即补角小于这个角，故该选项说法错误，符合题意；   D．同角的余角相等，说法正确，不符合题意． 故选C． 59．有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【答案】② 【分析】本题考查了补角的定义，两直线的位置关系，垂线的性质，同角的余角，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故①错误； 一个角的补角不一定大于这个角，也可能等于或小于这个角，例如：90度角的补角也是90度，两角相等，故②错误； 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等，故③正确； 在同一平面内，两条直线的位置：相交和平行或重合，故④错误； 故答案为：②． 解答题 60．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了对顶角的性质，互余的性质，角平分线的定义等知识，熟练利用这两个性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得，再利用互余关系即可求解； （2）由对顶角的性质及互余的性质得，再由是的平分线，得，从而得，利用互余的性质得，从而得证． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $