2026年中考数学总复习专题突破训练：圆相关问题

2026年中考数学总复习专题突破训练：圆相关问题 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建厦门·期末）半径为的正六边形的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（浙江省金华市2025-2026期末）如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知内接于，点为的中点，连接并延长交于点，且为弧的中点，连接，在上存在点，使得，若，则的长（     ） A． B． C． D． 4．（云南省大理州2025-2026期末）如图，、、、是上的四个点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）如图，中，弦，相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，为的弦，为圆上的两个动点．记弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为．若，正确的是（    ） ①；②若，则；③若为弧的中点，则；④． A．①② B．②④ C．①②③④ D．①②④ 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 8．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为 ． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在矩形中，，，点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点，点是边上一个动点，连接，，则线段的最小值为 ． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 12．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“、或”）： （2）若，，则 ． 13．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点，过点作于点，若，则的最大值为 ． 三、解答题 14．（上海市静安区2025-2026期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 15．（北京市平谷区2025-2026期末）如图，内接于，点D为的中点，连接平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 16．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 17．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，当是中点时，请直接写出的最大值． 18．（25-26九年级上·天津滨海新·期末）如图，中，是直径，弦于点E，连接并延长，交于点F，连接，． (1)若，求和的度数： (2)若，，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查正多边形与圆，连接正六边形的中心与各个顶点，正六边形被半径分成六个全等的正三角形．利用正三角形的性质分析． 【详解】解：连接， 正六边形的中心角， ∴是正三角形； ∵正六边形的半径是， ∴， ∴， ∴正六边形的周长是， 故选： C． 2．D 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 3．D 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等，合理添加辅助线是解题的关键． 连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，，进而可证，根据得出；设，则，同理证明，得出，再证，过作于，作于，根据角平分线的性质定理可得，进而由面积法得出，代入数值和表达式解方程即可． 【详解】解：连接， ∵点M为的中点， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 同理可得：， ∴， ∵，， ∴， 过作于，作于， ∴， 由面积法可得：， ∴， 解得：， ∴； 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查了角平分线、圆周角定理，根据角平分线的定义可知，根据圆周角定理可知． 【详解】解： 平分，， ， ， . 故选：C. 5．A 【分析】本题考查三角形内角和定理，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题关键． 先在中根据三角形内角和定理求出，再利用“同弧所对的圆周角相等”求出的度数． 【详解】解： ，， ， ， ． 故选：． 6．D 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，证明，得到，，进而得到判断①；根据，推出为等边三角形，进而得到，解直角三角形得到，判断②；假设，求出，得到只有当，，判断③；勾股定理结合等量代换判断④即可． 【详解】解：延长交于点，连接，则：，， ∴， ∵弦所对的圆心角度数为．弦所对的圆心角度数为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴；故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，；故②正确； ∵若为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴只有当时，③成立；故③不正确， 在中，， ∵， ∴；故④正确； 综上所述，一定正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 7．B 【分析】作，于E，于M，连接．在中，，则，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为． 【详解】解：作，于E，于M，连接． ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 8．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 9． 【分析】作出点关于的对称点，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，然后求出，再求出，再求出，然后求出，从而判断出为圆的直径． 【详解】如图，作出点关于的对称点，连接， 则与的交点即为所求的点，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵是的直径，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系，熟记各性质并求出是圆的直径是解题的关键． 10． 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、将军饮马问题、勾股定理和隐形圆的动点问题，正确找到动点的轨迹是解题的关键．先根据旋转的性质，找到动点 的轨迹是以点F为圆心，半径为2的圆，作点关于的对称点，连接，此时线段的值最小，即的长，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 点是以点为圆心，半径为2的圆上一个动点，将点绕点顺时针旋转得到点， 点Q的轨迹是以点F为圆心半径为2的圆， 连接交于点E，交于点，此时线段的值最小，即的长， 矩形，，， ，， 点C关于的对称点， ， 点绕点顺时针旋转得到点，圆的半径为2， 的半径为2，即，， ， 在中，， ， 则线段的最小值为8． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题．作于点F，作于点K，利用计算出，证，推出，可得取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时，取最大值，由此可解． 【详解】解：作于点F，作于点K， 中，，，， ， ， ． ，， ， 又 ， ， ， 是定值， 取最大值时，取最小值； 点D运动过程中，始终保持， 点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E，K，O共线时，取最大值，如图， ，， ， ，即， ， ，即的最大值为， 此时， 的最小值是， 故答案为：． 12． 1 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 13．/ 【分析】本题主要考查圆与几何的综合，勾股定理，一元二次方程根的判别式，连接，由勾股定理得，设，则，即，则，令，所以，则，然后根据，即，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，同弧或等弧所对圆周角相等，相似三角形的判定和性质等知识是关键． （1）连接，如图，根据垂径定理得到，结合切线的判定方法即可求解； （2）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，由角平分线的定义，三角形的外角的性质得到，由此即可求解； （3）根据题意证明，得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）证明：∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， 由（2）得， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得,． 16．(1)20 (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，由圆周角定理推出． （1）设的半径是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； （2）由圆周角定理得到，因此，判定是等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）解：设的半径是r，则， ∵ ∴， ∵直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质与圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质得到，即可证明结论成立； （2）证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）证明，过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， 得到根据垂径定理得到，，进一步即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：当是中点时，则， 由（2）可知，， ∴， 过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， ∴ 根据垂径定理得到，， ∴, 即的最大值为． 18．(1)； (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理和勾股定理等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据半径相等，求出，进而求出，再根据圆周角定理和垂直的定义，得，，计算即可求解． （2）设半径为x，先根据垂径定理求出，再利用勾股定理，列方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 则，； （2） ，是直径，， ， 设，则， 在中，，则 即，解得， 的半径为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $