5.2 简单的轴对称图形（十二大题型）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

5.2 简单的轴对称图形 题型一 等边对等角 1．如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，角平分线，交于点F，若，则 度． 3．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 题型二 三线合一 4．如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 6．如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出点A、B、C的坐标． （2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s） ①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标． ②当t为何值时，与一腰垂直？ 题型三 线段垂直平分线的性质 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为 ．   9．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 题型四 线段垂直平分线的判定 10．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 11．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 题型五 作已知线段的垂直平分线 12．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 14．按下列要求完成画图： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在三角形中，C是边上的一点．请用直尺和圆规作，使，且射线交于点F； 题型六 角平分线的性质定理 15．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 16．如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作，垂足为D，且．若的面积是34，则的周长为 ． 17．如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为，，．求的长． 题型七 作角平分线（尺规作图） 18．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则 °． 20．如图，某村镇有三条小路，其中与交于点，现为了方便村民通行，计划修建一条公路，保证公路是的平分线，且与小路交于点，请你用尺规作图法在图中作出公路．（不写作法，保留作图痕迹） 题型八 最短路径问题 21．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 22．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 23．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 题型九 线段问题（轴对称综合） 24．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 25．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 26．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的和最小．（简要叙述点的画法） 题型十 面积问题（轴对称综合） 27．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 28．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 题型十一 角度问题（轴对称综合） 29．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 30．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 题型十二 其他问题（轴对称综合） 32．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是 ．    33．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 简单的轴对称图形 题型一 等边对等角 1．如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的拐点模型． 利用等腰三角形的性质求出，再利用拐点模型求的度数即可． 【详解】解：过点B作直线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，中，，角平分线，交于点F，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案． 【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接， 平分， ，， 平分， ，， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故答案为：． 3．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了等边对等角、角平分线的性质定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等边对等角、角平分线的性质定理是关键． （1）根据等边对等角即可得到答案； （2）利用平行线的性质得到，利用等量代换即可得到结论； （3）过点D作，垂足分别为，利用角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）过点D作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴． 题型二 三线合一 4．如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解∶∵，平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故选∶C． 5．如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 6．如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）直接写出点A、B、C的坐标． （2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s） ①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标． ②当t为何值时，与一腰垂直？ 【答案】（1），，；（2）①，，；，；②7或25 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理求出OA，从而可写出坐标． （2）①分，，三种情况分别求解； ②当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解． 【详解】解：（1）∵△ABC为等腰三角形， ∴OB=OC=BC=4，又腰长AB=AC=5， ∴OA==3， ∴，，； （2）①当时，与或重合，不可能； 当时，， 解得． 此时， ，． 当时，，此时，解得：， ，即； ②当时，，即， ． 当时，， 即， ． 题型三 线段垂直平分线的性质 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为 ．   【答案】14 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 连接，由垂直平分线的性质得到，，若要的周长取最小值，则三点共线，即为与的交点，的周长为，最后代入求解即可． 【详解】解：为边的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，且， 连接，如图， 依题意得，， 的周长， 的周长的最小值为14， 故答案为：14. 9．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 题型四 线段垂直平分线的判定 10．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 题型五 作已知线段的垂直平分线 12．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 【答案】19cm/19厘米 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，结合△ABD的周长从而得到结论． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD= AB+BD+CD =13cm， ∵AC=6cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=13+6=19cm， 故答案为：19cm． 14．按下列要求完成画图： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在三角形中，C是边上的一点．请用直尺和圆规作，使，且射线交于点F； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的相关方法是解题的关键． （1）在射线依次截取，，线段为题目要求所作线段． （2）分别以点E、C为圆心，大于长度为半径画圆弧，交于点P、Q，连接交于点F，连接并延长至点M，即为题目要求所作角度． 【详解】（1）解：如图，在射线依次截取，，线段为题目要求所作线段． （2）如图，分别以点E、C为圆心，大于长度为半径画圆弧，交于点P、Q，连接交于点F，连接并延长至点M，即为题目要求所作角． 题型六 角平分线的性质定理 15．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故选：C 16．如图，已知点O为的两条角平分线的交点，过点O作，垂足为D，且．若的面积是34，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到点O到各边的距离为4，利用三角形面积公式得到，然后计算出即可． 【详解】解：作，，连接，垂足分别为、， ∵点O为的两条角平分线的交点，， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的周长为17， 故答案为：17． 17．如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为，，．求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，过点作于点，角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型七 作角平分线（尺规作图） 18．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，即可得出结果． 【详解】解∶由作图过程可得， ∴ 故选：B． 19．如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，角的和差倍分等知识，根据得到，由作图可知，． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知， ， 故答案为：． 20．如图，某村镇有三条小路，其中与交于点，现为了方便村民通行，计划修建一条公路，保证公路是的平分线，且与小路交于点，请你用尺规作图法在图中作出公路．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的作图方法作出即可． 【详解】解：如图所示，即为所作． 题型八 最短路径问题 21．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 22．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 23．如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 题型九 线段问题（轴对称综合） 24．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 25．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． ． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 26．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的和最小．（简要叙述点的画法） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）连接交直线于点，由轴对称的性质得，则，根据两点之间线段最短，可知此时的和最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 题型十 面积问题（轴对称综合） 27．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 28．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 题型十一 角度问题（轴对称综合） 29．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 30．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 31．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)或． 【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接， ∴即为所求； （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 题型十二 其他问题（轴对称综合） 32．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    33．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）作线段关于直线的对称直线与网格线的交点即为所求； （3）延长到点，使，找到中点，与点连接并延长，即为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，即为所求； 1 学科网（北京）股份有限公司 $