黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2025-2026学年高二上学期期末考试题数学试题

哈工大附中2025-2026学年度第一学期期末试题高二学年数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高志龙 校对人陈玉梅 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，过作的准线的垂线，交准线于点．则（ ） A. B. 的面积为 C. 的角平分线过的准线与轴的交点 D. 以为直径的圆与轴相切 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知直线与抛物线相交于两点，若（为坐标原点），则的值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知． （1）求； （2）设函数，求的最小正周期和单调区间． 16. 已知是一个等差数列，且. （1）求的通项； （2）求的前n项和为，并求的最大值. 17. 已知数列的首项．且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为2． （1）求的方程； （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 19. 已知函数，． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切． 哈工大附中2025-2026学年度第一学期期末试题高二学年数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高志龙 校对人陈玉梅 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2），的单调递增区间为，单调递减区间为. 【16题答案】 【答案】（1）； （2），最大值为4. 【17题答案】 【答案】（1） 因为，所以. 又，所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）增区间和； （2），， 所以，直线的方程为，即， ，则，设直线与函数相切于点， 则，得，则切点坐标为， 所以，直线的方程可表示为，即， 由题意可得，则， 下面证明：存在唯一的使得. 由（1）知，函数在区间上单调递增， ，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，即. 所以，存在唯一的使得. 因此，在区间上存在唯一的，使得直线与与曲线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $