精品解析：北京市第八中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程 【详解】因直线与直线垂直，所以设直线方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为， 故选：B. 2. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底表示. 【详解】在三棱锥中，是的中点， 则. 故选：C 3. 若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（ ） A. -240 B. 240 C. 15 D. -15 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件确定值，再根据二项式展开式的通项确定常数项为第几项，即可求解. 【详解】根据题意有，解得， 故二项式展开式的通项公式为： ， 令，求得， 则展开式的常数项为：. 故选：B 4. 若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用题设的焦距求解m, 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：即得解. 【详解】双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3， 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为： 所以双曲线的渐近线方程为：yx． 故选：A． 【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 5. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 6. 如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 则，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 因此，， 所以直线与平面所成的角的余弦值是. 故选：A 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 32种 D. 40种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果． 【详解】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况， 甲站在两端的情况有种情况， 甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种. 故选：B． 8. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再设出直线方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义列式求出点的横坐标即可. 【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为2，得， 则抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则，， 由，得，即，则，而，解得， 所以. 故选：C 10. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作出几何图形，利用正三棱柱的结构特征及勾股定理列式求出答案. 【详解】如图，正三棱柱中，， 点分别在棱上， 且是以为斜边的等腰直角三角形， 设，则， 作于，于，于， 则，， ， 在中，， 即，解得， 所以该三角形的面积为. 故选：A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】由全概率公式求解可得. 【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”， 事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”， “居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”， 则，且互斥，， 由题意可知，，， 且，， 由全概率公式可知 ， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为. 故答案为：. 12 若，则___________，___________．（用数字作答） 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，求出最高次项的系数，再利用赋值法求得第一空；利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】在中，， 令，得， 因此； 二项式展开式的第6项为， 所以. 故答案为：2； 13. 已知圆，若直线与圆C相交得到弦长为，则____________． 【答案】##-0.75 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k的方程，解之即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线即的距离为 ，所以， 有，解得. 故答案为：. 14. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为.. 考点：双曲线与抛物线的几何性质. 15. 已知曲线（为常数）. （i）给出下列结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线轴对称图形； ③当时，若点在曲线上，则或. 其中，所有正确结论的序号是_________. （ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可） 【答案】 ①. ①②③ ②. 均可 【解析】 【分析】 （i）在曲线上任取一点，将点、、代入曲线的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误； （ii）根据时，配方得出，可知此时曲线为圆，且圆的面积为，从而得知当时，曲线所表示的图形面积小于. 【详解】（i）在曲线上任取一点，则， 将点代入曲线的方程可得， 同理可知，点、都在曲线上，则曲线关于原点和坐标轴对称，命题①②正确. 当时，，反设且， 则，，所以，，则， 所以，，这与矛盾. 假设不成立，所以，或，命题③正确； （ii）当时，曲线的方程为，即，即， 此时，曲线表示半径为的圆，其面积为. 当时，且当时，在圆上任取一点，则，则点在曲线外，所以，曲线的面积小于圆的面积. 故答案为：①②③；均可. 【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题. 三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为1； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【小问1详解】 随机变量的可能取值为，则，， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【小问2详解】 有3次摸到红球则停止摸球，恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 所以恰好摸5次停止的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在；． 【解析】 【分析】（1）首先证明，再由面面垂直的性质定理可得平面，即证. （2）连结，以为坐标原点，，，为轴，建立空间直角坐标系，是平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. （3）根据题意可得与平面的法向量垂直，假设线段上存在点使得平面，再利用向量的数量积即可求解. 【详解】解：（1）因为四边形为菱形，所以． 又因为，为的中点，所以． 又因为平面平面， 平面平面， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）连结．因为，为的中点， 所以． 由（1）可知平面， 所以，． 设，则． 如图，建立空间直角坐标系． 所以． 所以，． 因为平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，所以 令，则，．于是． 所以． 由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为． （3）当点是线段的中点时，平面．理由如下： 因为点平面， 所以在线段上存在点使得平面等价于． 假设线段上存在点使得平面． 设，则． 所以． 由，得． 所以当点是线段的中点时，平面，且． 【点睛】思路点睛： 解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下： 甲 乙 （1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率． （2）如果，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望． （3）在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）见解析； （3）的可能值为，，． 【解析】 【分析】（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局的情况有种情况，然后分析得分情况相同的情况，即可求出其概率； （2）分析出的所有可能取值，然后分别求出其概率即可求出分布列和数学期望； （3）由甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，能写出的所有可能. 【小问1详解】 由已知可得从甲的局的比赛中，随机选取局的情况有种， 得分恰好相等有种，所以这局的得分恰好相等的概率为． 【小问2详解】 当时，的可能取值有，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为： ． 【小问3详解】 的可能值为，，． 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 19. 已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． （1）求圆和椭圆C的方程； （2）已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【答案】（1），； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程； （2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线的方程，求出M点坐标，同理写出方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得． 【小问1详解】 依题意，得，， 所以圆方程，椭圆方程． 【小问2详解】 设，， 则，，， 所以方程，令时，，即， 方程为，令时，，即， 则， 所以， 即，所以， 故为定值． 20. 已知椭圆的一个焦点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点（点A在点B左侧），点A关于轴的对称点为C，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出即可得椭圆方程. （2）设出直线l的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出面积的函数关系，再利用对勾函数性质求出范围. 【小问1详解】 由椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，得， 则，而此椭圆一个焦点为，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，， ， 而，， 因此， 函数在上单调递增，则， 因此，即， 所以面积的取值范围是. 21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.． （2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即． （3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5． 【小问1详解】 ①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . 【小问2详解】 不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. 【小问3详解】 由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设为的一个4元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则由，与结论*矛盾. 如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为5. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（ ） A. -240 B. 240 C. 15 D. -15 4. 若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 6. 如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 32种 D. 40种 8. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 2 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 12. 若，则___________，___________．（用数字作答） 13. 已知圆，若直线与圆C相交得到弦长为，则____________． 14. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. 15. 已知曲线（为常数）. （i）给出下列结论： ①曲线中心对称图形； ②曲线为轴对称图形； ③当时，若点曲线上，则或. 其中，所有正确结论的序号是_________. （ii）当时，若曲线所围成区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可） 三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下： 甲 乙 （1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率． （2）如果，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望． （3）在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． （1）求圆和椭圆C的方程； （2）已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 20. 已知椭圆的一个焦点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点（点A在点B左侧），点A关于轴的对称点为C，求面积的取值范围． 21. 已知集合，若集合，且对任意，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $