专题8.7 整式乘法（二十压轴题题型训练 共40题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

专题8.7 整式乘法（压轴题题型训练） 【解析版】 题型一 计算单项式乘单项式 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【易错点拨】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【规范解答】（1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【考点点拨】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【易错点拨】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【规范解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【易错点拨】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 4．如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【易错点拨】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【规范解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【考点点拨】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 题型三 计算单项式乘多项式及求值 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【易错点拨】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 题型四 单项式乘多项式的应用 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【易错点拨】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 【规范解答】（1）解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． （2）解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 8．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，将一块长、宽的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含的整式表示盒子外表面的面积（结果化为最简）； (2)若，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米的喷漆价格为元，则喷漆一共需要多少元？ 【答案】(1) (2)喷漆一共需要元 【易错点拨】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为元，求出喷漆的费用即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得 所以盒子外表面的面积为． （2）解：当时， 盒子外表面的面积 所以（元）， 答：喷漆一共需要元． 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 9．（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【易错点拨】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 10．若恒成立，则 ． 【答案】0 【易错点拨】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【规范解答】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【考点点拨】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 题型六 计算多项式乘多项式 11．已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足 ． 【答案】 【易错点拨】本题考查了整式的乘法和减法运算，令，可得，，再利用作差法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【规范解答】解：令， 则 ， ∴ ， ∵均为正数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【易错点拨】本题主要考查了新定义、多项式的系数等知识点，理解新定义是解题的关键． ①先列举出多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式，然后说明，再解方程即可；②按照“取反换位”列出所有多项式，然后求和即可解答；③先说明系数、常数项，再根据“取反换位”归类常数项并求和即可． 【规范解答】解：①当对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式为：， 由题意可得：， ∴，即， ∴，即， ∴，故①正确； ②当时， ∵， ∴，， 多项式“取反换位”操作后可得多项式：， ，， ，即②正确； ③对于无论取何值总是等于，则， 当常数项不参与变换时，可得10多项式； 当常数项与各项均有一次“取反换位”， 则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为，即③正确． 综上，①②③正确． 故选D． 题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 13．（23-24七年级下·陕西西安·月考）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【易错点拨】本题考查了有理数的乘方，零指数，负整数指数幂，完全平方公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可解题； （2）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可解题． 【规范解答】解：（1）， ， ； 解：（2）， ， ． 14．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）在计算时，甲错把看成了4，得到结果是：，乙错把看成，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． （1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【规范解答】（1）解：甲错把看成了4，得到结果是： ， 乙错把看成，得到结果：， ∴， ，， 解得：； （2）． 题型八 多项式乘多项式—化简求值 15．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，， (3)19 【易错点拨】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【规范解答】（1）解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． （3）解：将，代入得：， 即， 解得． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【易错点拨】此题考查了整式乘法的混合运算及新定义问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接根据定义计算的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出的值即可； （3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式． 【规范解答】解：（1） ，，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 平衡因子； （2） ，，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 是常数， ， 解得：； （3）当，，，之间满足时，他们是一组平衡数． 证明： ，，，是一组平衡数， 的结果为常数， 结果为常数， ， ． 题型九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 17．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【易错点拨】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【规范解答】（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”； 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 18．（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【易错点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【规范解答】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 19．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【易错点拨】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【规范解答】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【易错点拨】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【规范解答】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 【答案】(1)①② (2)①② 【易错点拨】本题主要考查了数字的变化规律、多项式的乘法、有理数的乘法、逆用幂的乘方等知识点，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）①先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可；②先将原式写成，然后利用（1）的规律解答可得，再逆用幂的乘方求解即可． 【规范解答】（1）解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． （2）解：① ． ② ． 因为且， 所以且， 所以． 所以． 所以． 题型十二 整式乘法混合运算 23．若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）． （1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 　 　． （2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式． （3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式． 【答案】（1）（5，4）；（2）B＝3x－2；（3）或． 【易错点拨】（1）根据整式得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的关联点坐标； （2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可； （3）设，根据题意求出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可． 【规范解答】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4， ∴b+d＝5，a+b+c+d＝4， A的关联点坐标为：（5，4）， 故答案为：（5，4）， （2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积， （x﹣2）（x+2）＝x2－4是二次多项式，且C的次数不能超过3次， ∴B中x的次数为1次， ∴设B＝nx+m， ∴， ∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m， ∵整式C的关联点为（6，﹣3）， ∴，， 解得：，， ∴B＝3x－2， （3）根据题意：设， ∴ ， ∴， ∵整式F的关联点为（﹣200，0）， ∴，， ，， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴，， ∴或． 【考点点拨】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题． 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 【答案】(1)平方米 (2)万元 【易错点拨】本题考查列代数式，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键在于根据题意用含有m，n的式子表示出网红打卡直播大舞台的面积． （1）利用健身公园一半的面积减去右上角小三角形的面积，即可解题； （2）先将，代入（1）中式子求出网红打卡直播大舞台的面积，再结合修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，列式求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：由题知，网红打卡直播大舞台的面积为： 平方米； （2）解： ，， 网红打卡直播大舞台的面积为 （平方米）； 修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米， 修建网红打卡直播大舞台需要的费用为：（万元）． 题型十三 运用平方差公式进行运算 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 26．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 【答案】总结：（1），；（2）；应用：；拓展： 【易错点拨】本题考查了利用平方差公式计算，平方差公式与几何图形，数字类规律探索，解题关键是掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式求解． （1）根据图写出阴影部分的面积即可； （2）利用两个面积相等列式即可；利用探究中的公式计算即可；算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【规范解答】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为． 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，， 故答案为：； [应用] [拓展] ∵，，，，，… 以2，4，8，6，四个为一个循环， ， ∴与的末位数相同，即为6． 故答案为：6． 题型十四 平方差公式与几何图形 27．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________． 任务3：（1）若满足，求的值． （2）计算． 任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和． 【答案】任务1： ；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4： 【易错点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 任务1：根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务2：根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； 任务3：（1）根据完全平方公式变形求值即可求解． （2）根据乘以，根据平方差公式求值即可求解． 任务4：根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【规范解答】解：任务1：图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为： ； 任务2：方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； 则； 故答案为：； 任务3：（1）设 ∵， ∴ ∴ ． （2）． 任务4：阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 28．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【易错点拨】（1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，，即，阴影部分面积 ，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，， ∴， ，， ∵长方形的面积是， ∴， 设，，即，则， ∴阴影部分面积 ， ∵ ， ∴（负值舍去）， ∴， 即阴影部分面积为． 【考点点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． 题型十五 运用完全平方公式进行运算 29．（24-25七年级下·广西桂林·月考）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)简单运用：已知，，则 ． (2)提升运用：已知， ，求的值． (3)类比探究：若x满足．求的值； (4)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为x，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1)26 (2)25 (3) (4)900 【易错点拨】本题主要考查了换元的数学思想，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方式的变形． （1）利用完全平方式进行求解即可； （2）利用完全平方式进行求解即可； （3）根据例题进行换元，令，则，，然后利用完全平方式进行求解即可； （4）根据给出的正方形和长方形，表示出相关线段的长度，令，则，，然后利用完全平方式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， 将，，代入上式得， 原式， 故答案为：26； （2）解： 将， ，代入上式得， 原式； （3）解：令，则，， ∴， 将，，代入上式得， 原式 即； （4）解：根据题意得，结合给出的正方形和长方形， 设正方形的边长为x，则， ∴， 正方形的面积为： 令，则，， ∴ 将，，代入上式得， 原式， 所以，正方形的面积为900． 30．（24-25七年级下·河北保定·月考）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4）28 【易错点拨】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【规范解答】解：（1）根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）∵， ∴ ． 题型十六 通过对完全平方公式变形求值 31．（24-25七年级下·广东佛山·期末）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． (2)若，求代数式的值． (3)观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②． 【易错点拨】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． （1），将数据代入求出，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积底高，即，代入数据计算即可； （2）设，，由可得，，所以，代入数据计算即可； （3）①根据图形可得； ②由，得，，因为，代入求出的结果． 【规范解答】（1）因为，， ， 图中阴影部分的面积为：； 故答案为：． （2）因为， 设，， 所以，， 所以， ． （3）， 故答案为：； 因为，，， 所以 ， 因为，， ， 所以 ． 32．（24-25七年级下·陕西西安·月考）我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决下列问题．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系________； (2)根据（1）中的等量关系求解：若，，求的值； (3)如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在的外部作正方形和正方形，连接．若的面积为，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) 【易错点拨】本题考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形． （1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据题意得，，再结合，得出，，整体思想求出结果即可． 【规范解答】（1）解：图②正方形的面积是，也可以表示成， 所以有； 故答案为：； （2）由（1）可得， 因为，， 所以 ； （3）设，则， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 所以，， 正方形和正方形的面积和为： =79． 题型十七 完全平方公式在几何图形中的应用 33．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【易错点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 34．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）通过学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图（1）可以得到；如图（2）可以得到．现有长与宽分别为a，b的长方形若干个，用四个这样的长方形拼成如图（3）所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 【探索发现】 (1)根据图（3），猜想并验证与之间的关系（用含a，b的式子表示）： ． (2)【解决问题】 ①若，，则＝ ； ②当时，求的值． (3)【迁移应用】 如图（4），在长方形空地上铺五个相同的蓝色小长方形，两个相同的白色大正方形和两个相同的白色小正方形地砖．已知长方形空地的周长为米，每个小长方形地砖的面积为平方米．设每个小长方形地砖的长为m米，宽为n米． ①＝ ； ②求长方形空地中白色地砖的总面积． 【答案】(1) (2)①12；②1904 (3)①；②长方形空地中白色地砖的总面积为平方米 【易错点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图（3）中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可得出答案； （2）①利用代入计算即可；②设，，由题意得，，由进行计算即可； （3）①根据图（4）中各个部分之间的关系即可得出，即可； ②根据代入求出的值，再计算的值即可． 【规范解答】（1）解：图（3）中大正方形的边长为，因此面积为，中间阴影小正方形的边长为，因此面积为，4个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2） 解：①，而，， ， ， 故答案为：12； ②设，，由题意得，， ； （3） 解：①由题意得，，，即， 故答案为：； ②长方形空地中白色地砖的总面积为（平方米）， 答：长方形空地中白色地砖的总面积为平方米． 题型十八 求完全平方式中的字母系数 35．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)48 【易错点拨】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 36．（24-25七年级下·重庆·期末）已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【易错点拨】本题主要考查了整式的四则混合运算、完全平方公式的变形应用、解一元一次方程等知识点，熟练进行整式的运算是解题的关键． ①将代入得到关于x的方程求解判断即可；②先将展开，然后根据完全平方公式的特点即可解答；将代入可得，然后整理并将代入求值即可判定③． 【规范解答】解：①将代入得：，解得：，故①错误． ②将展开为：， 若为完全平方式，则：，解得：，故②正确； ③∵， ∴，即 ∴ ，故③正确． 综上，②③正确，正确个数为2． 故选：C． 题型十九 完全平方式在几何图形中的应用 37．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】(1)D (2) (3)①；②29 (4)见解析 (5)①；②35 (6) 【易错点拨】（1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 【规范解答】（1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 【考点点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想． 38．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1） 【易错点拨】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积； （2）由阴影部分面积相等可得结果； （3）直接根据（2）的结论代入求值即可； （4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【规范解答】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2， 方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab； （2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2； （3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2， 可得：102-4×5=（a-b）2， ∴（a-b）2=80； （4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1）， ∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）． 【考点点拨】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． 题型二十 整式的混合运算 39．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，， 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 【答案】(1)； (2) (3)C 【易错点拨】本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含、、的代数式表示出、、、是解题的关键． （1）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将，，代入计算，即可求解； （2）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可； （3）先分别用含、、的代数式表示出、、、，再代入进行运算，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；． （2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故． （3）解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C． 40．（23-24八年级上·河南南阳·月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到．    请解答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________． (2)若，用上面得到的数学等式求的值． (3)小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1) (2)40 (3)104 【易错点拨】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，可得，，的值，从而得解． 【规范解答】（1）解：图2中正方形的面积有两种算法：①；②． ． 故答案为：． （2）， 故答案为：40． （3）由题可知，所拼图形的面积为：， ， ，， ． 故答案为：104． 【考点点拨】本题属于整式乘法公式的几何表示及其相关应用，属于基础题目，难度不大． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.7 整式乘法（压轴题题型训练） 【原卷版】 题型一 计算单项式乘单项式 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 4．如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 题型三 计算单项式乘多项式及求值 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 题型四 单项式乘多项式的应用 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 8．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，将一块长、宽的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含的整式表示盒子外表面的面积（结果化为最简）； (2)若，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米的喷漆价格为元，则喷漆一共需要多少元？ 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 9．（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 10．若恒成立，则 ． 题型六 计算多项式乘多项式 11．已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足 ． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 13．（23-24七年级下·陕西西安·月考）（1）计算：； （2）化简：． 14．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）在计算时，甲错把看成了4，得到结果是：，乙错把看成，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 题型八 多项式乘多项式—化简求值 15．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·月考）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 题型九 已知多项式乘积不含某项求字母的值 17．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 18．（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 19．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 20．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 题型十二 整式乘法混合运算 23．若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）． （1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 　 　． （2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式． （3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式． 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 题型十三 运用平方差公式进行运算 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 26．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 题型十四 平方差公式与几何图形 27．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________． 任务3：（1）若满足，求的值． （2）计算． 任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和． 28．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)请求解下面实际问题： 如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 题型十五 运用完全平方公式进行运算 29．（24-25七年级下·广西桂林·月考）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)简单运用：已知，，则 ． (2)提升运用：已知， ，求的值． (3)类比探究：若x满足．求的值； (4)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为x，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 30．（24-25七年级下·河北保定·月考）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 题型十六 通过对完全平方公式变形求值 31．（24-25七年级下·广东佛山·期末）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． (2)若，求代数式的值． (3)观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 32．（24-25七年级下·陕西西安·月考）我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决下列问题．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系________； (2)根据（1）中的等量关系求解：若，，求的值； (3)如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在的外部作正方形和正方形，连接．若的面积为，设，求正方形和正方形的面积和． 题型十七 完全平方公式在几何图形中的应用 33．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 34．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）通过学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图（1）可以得到；如图（2）可以得到．现有长与宽分别为a，b的长方形若干个，用四个这样的长方形拼成如图（3）所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 【探索发现】 (1)根据图（3），猜想并验证与之间的关系（用含a，b的式子表示）： ． (2)【解决问题】 ①若，，则＝ ； ②当时，求的值． (3)【迁移应用】 如图（4），在长方形空地上铺五个相同的蓝色小长方形，两个相同的白色大正方形和两个相同的白色小正方形地砖．已知长方形空地的周长为米，每个小长方形地砖的面积为平方米．设每个小长方形地砖的长为m米，宽为n米． ①＝ ； ②求长方形空地中白色地砖的总面积． 题型十八 求完全平方式中的字母系数 35．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 36．（24-25七年级下·重庆·期末）已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 题型十九 完全平方式在几何图形中的应用 37．【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 (2)根据图2，可以得到等式：______； (3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； (4)画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 (5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． (6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 38．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 题型二十 整式的混合运算 39．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，， 将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 40．（23-24八年级上·河南南阳·月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到．    请解答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________． (2)若，用上面得到的数学等式求的值． (3)小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $