专题8.6 整式乘法（十九高频易错题题型训练 共38题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

专题8.6 整式乘法（高频易错题题型训练） 【解析版】 题型一 单项式乘单项式的计算与应用 1．（24-25七年级下·全国·期中）下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【易错点拨】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可 【规范解答】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误． ∴仅③正确，正确的有1个． 故选：A． 2．计算：如图，“三角”表示，方框表示，求的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错点拨】本题主要考查整式的乘法，根据题意列算式，再根据整式的乘法法则计算可求解． 【规范解答】解：由题意得 ． 故答案选：B 题型二 计算单项式乘多项式及求值 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【易错点拨】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出结论； （）根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出结论． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形空地，先准备在空地边留出一部分（图中阴影部分）用来安置健身娱乐器材，其余部分种植花草． (1)用含、的代数式表示用于种植花草的土地面积． (2)已知种植花草每平方米需花费80元，若，，请计算种植花草所需的成本． 【答案】(1)平方米； (2)元 【易错点拨】本题考查了列代数式，整式乘法的应用，代数式求值，根据图形正确列代数式是解题关键． （1）根据图形和长方形面积公式列式即可； （2）将、的值代入（1）所得代数式，求出种植花草的土地面积，再乘以每平方米的花费，即可得到成本． 【规范解答】（1）解：种植花草的土地面积为：平方米． （2）解：当，时，， 即种植花草的土地面积为平方米， 因为种植花草每平方米需花费80元， 所以种植花草所需的成本为元， 答：种植花草所需的成本是2880元． 题型三 单项式乘多项式的应用 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【规范解答】（1）解： （2）解： ． 6．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 【答案】（1）至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元；（2）至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 【易错点拨】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元； （2）根据题意得：， 则在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 题型四 利用单项式乘多项式求字母的值 7．（25-26八年级上·北京·开学考试）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错点拨】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【规范解答】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 8．（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【易错点拨】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型五 计算多项式乘多项式 9．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【易错点拨】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【考点点拨】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 10．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 【答案】(1) (2)是，平衡因子为 (3)或7或 【易错点拨】本题主要考查了新定义的理解，多项式乘多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子； （3）分三种情况列出算式，再计算求值． 【规范解答】（1）解： ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （2）多项式，，，是一组平衡多项式． ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （3）需分三种情况讨论： ① ， 这组多项式是一组平衡多项式， ， ． ② ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． ③ ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． 综上所述，m的值为或7或． 题型六 (x+p) (x+q）型多项式乘法 11．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于任何数，我们规定：．例如：． (1)按照这个规定，请你化简： (2)按照这个规定，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算计算即可； （2）先根据定义的新运算，然后进行计算，最后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【规范解答】（1） （2） ， ∵，即， ∴． 12．（23-24八年级上·山西长治·月考）观察下列算式特征，并完成相应任务． ； ； ； ． (1)任务一：发现与表达 请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ___________． (2)任务二：问题与解决 如果，其中均为整数，则的取值有（    ） A．1个     B．2个     C．3个     D．4个 (3)任务三：拓展与猜想 若，则______，______． 【答案】(1) (2)D (3)； 【易错点拨】（1）根据前面4个运算式的提示，再归纳可得结论； （2）由，从而可得答案； （3）先通过计算可得：，从而可得结论． 【规范解答】（1）解：∵； ； ； ； 归纳可得： ∴； （2）∵， ∴， ∴或或或， 故选D （3）∵， ∴， ∴，． 【考点点拨】本题考查的是多项式乘以多项式的规律探究以及灵活应用，熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键． 题型七 多项式乘多项式—化简求值 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【易错点拨】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时， ． 14．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，， (3)19 【易错点拨】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【规范解答】（1）解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． （3）解：将，代入得：， 即， 解得． 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 15．（24-25七年级下·河南周口·期中）在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)若计算所得多项式中不含一次项，求a的值； (3)如果，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【易错点拨】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键． （1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可； （2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可； （3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：一次项系数为， （2） 解：根据题意，得一次项系数， 解得； （3）解：的一次项系数为， ． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【易错点拨】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得的一次项系数为，常数项为，列式求解得到和的值，即可求得的值． 【规范解答】解：（1） ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 题型九 多项式乘多项式与图形面积 17．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1)平方米 (2)元 【易错点拨】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解面积，进而求出对应的费用即可． 【规范解答】（1）解：“”型图形的面积为平方米， （2）解：当，时，原式平方米， ∴修建文化广场所需要的费用为元． 18．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（），面积分别为和． (1)①计算：______；______； ②填空：______（填“”“”或“”）； (2)若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积表示为． ①正方形纸片的边长为______； ②与的差与是否有关系，并通过计算说明理由． 【答案】(1)，，； (2)①，②与的差与无关，理由见解析． 【易错点拨】本题考查了整式的乘法，图形的周长和面积，整式的减法，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则． （1）根据面积公式，即可求得两个长方形的面积，用作差法比较大小即可； （2）求出乙长方形的周长，即为正方形的周长，由正方形周长和边长之间的关系即可求得正方形的边长，代入正方形的面积公式，求得正方形的面积，与乙长方形的面积作差，看结果是否含有即可． 【规范解答】（1）解： ， ， 故答案为：，． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵乙长方形的周长， ∴正方形的周长， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 与的差与无关， 理由： ∵，， ∴， ∴与的差是，与无关， 答：与的差与无关． 题型十 多项式乘法中的规律性问题 19．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于 ． 【答案】2 【易错点拨】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由“杨辉三角”得出，再将代入的展开式，即可求解． 【规范解答】解：由“杨辉三角”可得， 当时， 又， ， ， ， 故答案为：2． 20．探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 【答案】(1) (2)31 (3) (4) 【易错点拨】此题考查代数式的计算规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知条件即可得到规律； （2）根据，由题中规律即可计算； （3）题中已知条件的规律即可归纳出一般性规律即，将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可得到答案； （4）将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：由前三个等式可知：． （2） ； （3）由已知等式可得： 依题意得： ， （4） ． 题型十一 整式乘法混合运算 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【易错点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 22．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【答案】(1)m2 (2)m2 (3)元 【易错点拨】本题考查了代数式运算的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键； （1）利用长方形面积公式列式运算即可； （2）把，代入（1）中式子运算即可； （3）把费用代入运算即可； 【规范解答】（1）解：由题意得： 答：安装健身器材的区域面积为； （2）当，时， 安装健身器材的区域面积 ， 答：安装健身器材的区域面积为2780 m2； （3）根据题意，需要的总费用为： ， 当，时，总费用为：（元）； 答：建设该居民健身场所需181000元． 题型十二 运用平方差公式进行运算 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【易错点拨】（1） 图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积；图②阴影是长方形，用长×宽表示面积； （2） 由两个阴影面积相等，推导出对应的乘法公式； （3） 将变形为，用平方差公式简化计算． 【规范解答】（1）解：由题意得，，． （2）解：由（1），可得乘法公式． （3）解： ． 【考点点拨】本题考查了平方差公式的几何验证与代数应用，掌握用面积相等推导公式，以及将数变形为平方差形式简化计算是解题的关键． 24．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【易错点拨】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【规范解答】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：① ，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 题型十三 平方差公式与几何图形 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)B (2)①；②127 【易错点拨】此题考查了平方差公式的应用． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式即可得到得到答案；②利用平方差公式得到，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：因为图1中阴影部分的面积等于，图2是长为，宽为得长方形， ∵图2是由图1中的阴影部分拼成的， ∴， 故选：B； （2）解：①由（1）得， ∵ ∴， ∵， ∴. ② ∵， ∴． 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）（1）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． 比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到等式：___________（用字母、表示）； （2）将边长分别为的正方形各1个，以及长为，宽为的长方形2个，拼接成正方形（如图3）．（卡片间不重叠、无缝隙） 则由图3可以得到等式：___________（用字母、表示）； 嘉嘉将边长分别为的正方形按适当方式摆放，利用（1）（2）得到的等式很方便就能解决下面的问题，请你也来试试． （3）将正方形按如图4所示的方法摆放，其中边在同一条直线上，且点与点重合，点在上，点在上，若两正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是___________； （4）将图4中正方形沿向下翻折，得到如图5，已知，阴影部分的面积为15，求两正方形的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【易错点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式的几何应用． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用大正方形的面积等于两个小正方形与两个长方形的面积和可得公式； （3）由正方形的面积差为，可得，再列式计算阴影部分的面积即可； （4）由题意可得，结合，再进一步求解即可． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； （2）由题意可得：乘法公式为：； （3）∵两个正方形的面积差为， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积是： ； （4）∵阴影部分的面积为15， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∴两正方形的面积和为． 题型十四 运用完全平方公式进行运算 27．阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 【答案】(1) (2) 【易错点拨】（1）根据材料的变形过程可得结论； （2）根据材料的形式依次计算可得结论． 本题考查多项式乘以多项式和完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证． 【规范解答】（1）解： 故答案为：； （2）． 28．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【易错点拨】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【规范解答】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 题型十五 通过对完全平方公式变形求值 29．（24-25七年级下·福建漳州·月考）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． (1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______； (2)若，，求； (3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【易错点拨】本题考查完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形的面积求法，完全平方公式的灵活应用是解题的关键． （1）利用两个图形分别求出个长方形的面积，从而建立等量关系； （2）利用（1）的关系代入求值即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【规范解答】（1）解：第一图个长方形的面积为， 第二个图个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得； （3）解：一个长方形的周长为，面积为， ，， ． 30．（24-25七年级下·全国·期末） 阅读下列材料，并解答问题： 已知，，求的值． 老师是这样讲解的： 解：因为，所以． 因为，，所以． (1)已知，，求的值； (2)如图，在中，，分别以，为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，求的面积． 【答案】(1)12 (2) 【易错点拨】本题主要考查的是完全平方公式的应用，对公式进行适当变形是解题的关键． （1）对公式变形，再代入求解即可； （2）由题可得，利用，展开再代入求解即可． 【规范解答】（1）因为，所以， 因为，，所以， 所以． （2）由题意得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用 31．（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)① (2) (3)16 【易错点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数”的思想是解题的关键． （1）观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式； （2）先根据长方形的周长和面积求出与的值，再代入计算； （3）设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积． 【规范解答】（1）解：∵图①中，大正方形面积=小正方形面积+4个矩形面积， ∴对应公式①， 故答案为：①； （2）解：∵长方形周长为16， ∴， ∴， ∵长方形面积为6， ∴， ∴； （3）解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为，， ∴． ∴． ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积为 ． 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）数学活动课上，老师分别准备了几张如图①所示的正方形和长方形卡片，从这些卡片中选取几张，用它们拼成如图②所示的正方形． (1)请你用两种不同的方法表示图的面积； 方法一：______，方法二：______； (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【易错点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图的面积即可； （2）由（1）中两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）根据（2）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：方法：图整体上是边长为的正方形，因此面积为， 方法：拼成图的四个部分的面积和为， 故答案为：，； （2）解：由（1）中两种方法所表示的图形面积相等可得，； （3）解：， ，即， ， ， 解得， ． 题型十七 求完全平方式中的字母系数 33．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【易错点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【规范解答】解： 是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)48 【易错点拨】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 题型十八 完全平方式在几何图形中的应用 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【易错点拨】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【规范解答】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 36．（2024·河北邯郸·二模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 【答案】(1)需要卡片张，卡片张，卡片张 (2)要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取型卡片张 (3) 【易错点拨】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式： （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为，则多项式是一个完全平方式，据此求解即可； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）解：设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为， ∵所有卡片可以紧密拼成一个正方形， ∴多项式是一个完全平方式， ∴， ∴或（舍去） ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）解：依题意，设长方形的边长为， ∴ 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 题型十九 整式的混合运算 37．（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【易错点拨】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先化简所求式子，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 38．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）问题情境： 若x满足，求的值． 解：设，，则 ，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)知识运用： 若满足，求的值； (2)类比探究： 若a满足，求的值； (3)拓展延伸：如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积为200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，则四边形的面积是________（结果必须是一个具体数值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【易错点拨】（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据题意可得：四边形是正方形，然后设，，则，，从而可得，，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答． 本题考查整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴的值为； （2）设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为； （3）四边形的面积为， 理由：由题意得：四边形是正方形， 设，， ∵正方形的边长为，，， ∴， ， ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∴正方形的面积： ， ∴四边形的面积为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.6 整式乘法（高频易错题题型训练） 【原卷版】 题型一 单项式乘单项式的计算与应用 1．（24-25七年级下·全国·期中）下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．计算：如图，“三角”表示，方框表示，求的值是（    ） A． B． C． D． 题型二 计算单项式乘多项式及求值 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形空地，先准备在空地边留出一部分（图中阴影部分）用来安置健身娱乐器材，其余部分种植花草． (1)用含、的代数式表示用于种植花草的土地面积． (2)已知种植花草每平方米需花费80元，若，，请计算种植花草所需的成本． 题型三 单项式乘多项式的应用 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 6．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 题型四 利用单项式乘多项式求字母的值 7．（25-26八年级上·北京·开学考试）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型五 计算多项式乘多项式 9．计算： (1)． (2)． (3) ． 10．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 题型六 (x+p) (x+q）型多项式乘法 11．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于任何数，我们规定：．例如：． (1)按照这个规定，请你化简： (2)按照这个规定，当时，求的值． 12．（23-24八年级上·山西长治·月考）观察下列算式特征，并完成相应任务． ； ； ； ． (1)任务一：发现与表达 请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ___________． (2)任务二：问题与解决 如果，其中均为整数，则的取值有（    ） A．1个     B．2个     C．3个     D．4个 (3)任务三：拓展与猜想 若，则______，______． 题型七 多项式乘多项式—化简求值 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 14．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 15．（24-25七年级下·河南周口·期中）在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)若计算所得多项式中不含一次项，求a的值； (3)如果，则______． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 题型九 多项式乘多项式与图形面积 17．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． 18．（24-25七年级下·山东菏泽·月考）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（），面积分别为和． (1)①计算：______；______； ②填空：______（填“”“”或“”）； (2)若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积表示为． ①正方形纸片的边长为______； ②与的差与是否有关系，并通过计算说明理由． 题型十 多项式乘法中的规律性问题 19．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于 ． 20．探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 题型十一 整式乘法混合运算 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 22．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 题型十二 运用平方差公式进行运算 23．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 24．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 题型十三 平方差公式与几何图形 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）（1）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． 比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到等式：___________（用字母、表示）； （2）将边长分别为的正方形各1个，以及长为，宽为的长方形2个，拼接成正方形（如图3）．（卡片间不重叠、无缝隙） 则由图3可以得到等式：___________（用字母、表示）； 嘉嘉将边长分别为的正方形按适当方式摆放，利用（1）（2）得到的等式很方便就能解决下面的问题，请你也来试试． （3）将正方形按如图4所示的方法摆放，其中边在同一条直线上，且点与点重合，点在上，点在上，若两正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是___________； （4）将图4中正方形沿向下翻折，得到如图5，已知，阴影部分的面积为15，求两正方形的面积和． 题型十四 运用完全平方公式进行运算 27．阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 28．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 题型十五 通过对完全平方公式变形求值 29．（24-25七年级下·福建漳州·月考）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． (1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______； (2)若，，求； (3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值． 30．（24-25七年级下·全国·期末） 阅读下列材料，并解答问题： 已知，，求的值． 老师是这样讲解的： 解：因为，所以． 因为，，所以． (1)已知，，求的值； (2)如图，在中，，分别以，为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，求的面积． 题型十六 完全平方公式在几何图形中的应用 31．（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 32．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）数学活动课上，老师分别准备了几张如图①所示的正方形和长方形卡片，从这些卡片中选取几张，用它们拼成如图②所示的正方形． (1)请你用两种不同的方法表示图的面积； 方法一：______，方法二：______； (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 题型十七 求完全平方式中的字母系数 33．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 题型十八 完全平方式在几何图形中的应用 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 36．（2024·河北邯郸·二模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 题型十九 整式的混合运算 37．（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 38．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）问题情境： 若x满足，求的值． 解：设，，则 ，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)知识运用： 若满足，求的值； (2)类比探究： 若a满足，求的值； (3)拓展延伸：如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积为200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，则四边形的面积是________（结果必须是一个具体数值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $