专题7.6 幂的运算（十一大压轴题题型训练 共33题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学幂的运算专题复习讲义通过题型分类系统构建知识体系，将同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等运算及逆用、混合运算等11类题型按逻辑递进组织，用框架图呈现知识脉络，突出运算规则与逆用技巧的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于压轴题分层训练设计，如通过“规定新运算探究数量关系”“利用幂的逆用求代数式值”等题型，培养运算能力与推理意识。基础题巩固法则，综合题提升应用能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供有效支持。

专题7.6 幂的运算（压轴题题型训练） 【解析版】 题型一 同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的运算， （1）根据同底数幂的乘方将原式化为，再根据有理数的乘方进行运算即可； （2）先去括号，再进行合并同类项即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 2．（23-24九年级下·湖北宜昌·月考）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解． 本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵1亿， ∴1991.2亿， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． （1）设，求出，用，求出的值，进而求出S的值； （2）设，则的值，同理可得结果． 【规范解答】（1）解：设， 则， ， ， ， 即； （2）解：设， 则， ， ， ， 则． 题型二 同底数幂乘法的逆用 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)若，，，试探究a，b，c之间存在的数量关系； (3)若，求t的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【思路引导】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2），理由如下： ∵，， ∴，， ∵ ∴，即 ∴ （3）设，，，则，， 由可得 ∴ 【考点点拨】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． 5．阅读理解：根据幂的意义，表示n个a相乘；则； ，知道a和可以求，我们不妨思考；如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：，所以．记，；与之间的关系式为 ． 【答案】 【思路引导】由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【规范解答】解：根据题意得： ，， ， ， 与之间的关系式为：， 故答案为：． 【考点点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，读懂题意，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则，是解题的关键． 6．观察下列等式： ； ； ； ； …… 已知按一定规律排列的一组数：，，，，．…，，，若，，则 （结果用含m、n的代数式表示） 【答案】 【思路引导】根据规律将所求式子变形为，再变形代入即可． 【规范解答】解：由题意可得：， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 【考点点拨】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：． 题型三 幂的乘方运算 7．（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______________； (2)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：__________________． 【答案】(1)3 (2)①证明见解析；②3 【思路引导】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据题意可得，进而求解； （2）由，，，得，，，得出，从而； （3）设，，由结论得，据此计算即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ， （2）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)8 (4) 【思路引导】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． （1）先逆用同底数幂的乘法法则变形，再逆用积的乘方法则变形，然后按顺序计算即可； （2）先利用幂的乘方法则化简，再逆用积的乘方法则计算即可； （3）先把后两个因数逆用幂的乘方法则变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （1）先把逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，再逆用积的乘方法则计算即可． 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 9．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 【答案】(1)96； (2)22； (3)3 【思路引导】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【考点点拨】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 题型四 幂的乘方的逆用 10．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 11．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含x的代数式表示y等． （1）将式子变形得，再对应相等即可得到本题答案； （2）将变形为，继而得到，后移项计算即可； （3）根据题干可得，再代入可得，再展开整理即可． 【规范解答】（1）解：∵，即：， ∴，即：； （2）解：变形为：，即：， ∴，即：，，解得：； （3）解：∵，即：， ∵，即：， ∴． 12．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知，，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据已知可得得出，即可求解； （2）根据幂的运算法则进行计算，最后合并，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2） ． 题型五 积的乘方运算 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空： ， ； (2)【说理】记，，．试说明： (3)【应用】若，求t的值． 【答案】(1)2， (2)见解析 (3)64 【思路引导】本题考查的是幂的乘方、积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算； （3）根据定义解答即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 故答案为：2，； （2）解：，，， ，，， ， ， ， ； （3）解：设，，， ，，， ， ， ， ， 即， ． 14．（24-25七年级下·山西太原·月考）已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 【思路引导】本题主要考查积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：的过程中，每一步的运算法则分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法， 故选D． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）675；（2）200 【思路引导】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据幂的乘方的逆用求出和，再根据同底数幂的乘法的逆用计算即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【规范解答】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴ ． 题型六 积的乘方的逆用 16．（24-25七年级上·山东济宁·月考）已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值和偶次幂的非负性，积的乘方的逆运用， 同底数幂乘法的逆用，先求出，，然后代入，则有，再运算括号内即可求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴则 ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·吉林长春·月考）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析 【思路引导】本题考查幂的运算： （1）逆用同底数幂的乘法，进行计算即可； （2）逆用积的乘方，幂的乘方，进行计算即可． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴； （2），理由如下： ∵，且，，， ∴． 18．（23-24七年级下·安徽宿州·月考）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考： 逆向运用同底数幂的乘法公式，即， ． ． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业计算：． 解：． ①小贤运用了逆向思考的方法，请直接写出此过程中逆向思考运用的公式： ； ②计算：． 【答案】(1) (2)①，② 【思路引导】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握幂的运算性质是解答本题的关键． （1）逆向运算同底数幂的乘方法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可；②逆向运算积的乘方运算法则计算即可； 【规范解答】（1）， ． ， ． ． （2）①， 小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 题型七 同底数幂的除法运算 19．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）已知，． ①求的值． ②计算的结果． （2）若，求的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）①根据同底数幂的除法法则解答即可；②根据同底数幂的乘法可得，由①可得，最后根据积的乘方的逆用，即可求解； （2）逆用积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则解答即可． 【规范解答】解：（1）① ， ， ， 即； ② ， ， ，即， ； （2） ， ． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3) 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法． （1）根据新定义列式求值即可； （2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值； （3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4，64； （2）解：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15； （3）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴的值为． 21．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：原式 ． 题型八 同底数幂除法的逆用 22．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 23．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)    (2) 【思路引导】（1）①由同底数幂乘法的逆用可得，然后将，代入求值即可；②由同底数幂除法的逆用及幂的乘方的逆用可得，然后将，代入求值即可； （2）由可得，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：①，， ； ②，， ； （2）解：， ， 解得：． 【考点点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘法的逆用，同底数幂除法的逆用，幂的乘方，幂的乘方的逆用，代数式求值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 24．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【思路引导】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【规范解答】（1）解： ① ； ② ； ③ ， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 题型九 幂的混合运算 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a， b）：如果那么（a，b）=c． 例如：因为所以（2，8）=3 (1)根据上述规定，填空：（3，9）=_______， （4，1）=_______，=_______． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，=（3，4），小明给出了如下的证明： 设，=x，则=，即=，所以，即（3， 4）=x， 所以，=（3，4）． 请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【答案】(1)2，0，-3 (2)见解析 【思路引导】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义结合幂的运算进行证明即可． 【规范解答】（1），，， ∴（3，9）=2，（4，1）=0，=-3． 故答案为：2，0，-3 ． （2）设（3，4）=x，（3，5）=y 则=4，=5 所以， 所以（3，20）=x+y， 所以（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【考点点拨】本题考查了幂的运算，掌握同底数幂的乘法，与幂的乘方运算，以及有理数的乘方，负整数指数幂的运算，掌握幂的运算并理解新定义是解题的关键． 26．阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，所以M＝am，N＝an，所以MN＝aman＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M+N），又因为m+n＝logaM+logaN，所以loga（MN）＝logaM+logaN． 解决以下问题： （1）将指数53＝125转化为对数式：　 　． （2）仿照上面的材料，试证明：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）． 【答案】（1）3=log5125；（）见解析 【思路引导】（1）根据题意可以把指数式53＝125写成对数式； （2）先设logaM=x，logaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论． 【规范解答】解：（1）将指数53=125转化为对数式：3=log5125． 故答案为：3=log5125； （2）证明：设logaM=x，logaN=y， ∴M=ax，N=ay， ∴， 由对数的定义得， 又∵x-y=logaM-logaN， ∴(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) ． 【考点点拨】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 27．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值的意义等知识化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【考点点拨】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型十 零指数冪 28．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）计算： 【答案】0 【思路引导】本题考查零指数幂，负整数指数幂、积的乘方、有理数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，积的乘方逆运算法则计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 29．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）计算：． （2）如图，直线a，b相交于点O，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）根据乘方的意义、负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算各项后再进行加减运算． （2）利用对顶角相等的性质，结合已知条件求出的度数，再依据邻补角互补求出的度数． 本题主要考查了乘方运算、负整数指数幂、零指数幂的运算，以及对顶角相等、邻补角互补的性质，熟练掌握这些数学概念和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式     ．     （2）解：因为与是对顶角， 所以． 因为， 所以， 所以     因为， 所以 30．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方法则计算即可； （2）先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十一 负整数指数冪 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了代数式求值，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．由已知等式可得，将变形为，再代入计算求值即可． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·福建漳州·期中）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以多项式，积的乘方，正确计算是解题的关键； （1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算即可； （2）根据单项式乘以多项式，积的乘方运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 33．（24-25七年级下·全国·月考）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了有理数运算和等式的性质，负整数指数幂；先求出所有数总和，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和=中间正方形四个顶点上的数字之和，求出代数式的值，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关代数式的值． 【规范解答】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为， ∵四个三角形的三个顶点上的数字之和减去中间正方形四个顶点上的数字之和等于8个数的和． 即， ∴， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 幂的运算（压轴题题型训练） 【原卷版】 题型一 同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24九年级下·湖北宜昌·月考）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 题型二 同底数幂乘法的逆用 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)若，，，试探究a，b，c之间存在的数量关系； (3)若，求t的值． 5．阅读理解：根据幂的意义，表示n个a相乘；则； ，知道a和可以求，我们不妨思考；如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：，所以．记，；与之间的关系式为 ． 6．观察下列等式： ； ； ； ； …… 已知按一定规律排列的一组数：，，，，．…，，，若，，则 （结果用含m、n的代数式表示） 题型三 幂的乘方运算 7．（24-25七年级下·四川达州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______________； (2)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：__________________． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 题型四 幂的乘方的逆用 10．（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 11．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 12．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知，，求的值． （2）计算：． 题型五 积的乘方运算 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空： ， ； (2)【说理】记，，．试说明： (3)【应用】若，求t的值． 14．（24-25七年级下·山西太原·月考）已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 15．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 题型六 积的乘方的逆用 16．（24-25七年级上·山东济宁·月考）已知，则 ． 17．（24-25八年级上·吉林长春·月考）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 18．（23-24七年级下·安徽宿州·月考）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考： 逆向运用同底数幂的乘法公式，即， ． ． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业计算：． 解：． ①小贤运用了逆向思考的方法，请直接写出此过程中逆向思考运用的公式： ； ②计算：． 题型七 同底数幂的除法运算 19．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）已知，． ①求的值． ②计算的结果． （2）若，求的值． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 21．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算： (1)； (2)． 题型八 同底数幂除法的逆用 22．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算：的结果． 23．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 24．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 题型九 幂的混合运算 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a， b）：如果那么（a，b）=c． 例如：因为所以（2，8）=3 (1)根据上述规定，填空：（3，9）=_______， （4，1）=_______，=_______． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，=（3，4），小明给出了如下的证明： 设，=x，则=，即=，所以，即（3， 4）=x， 所以，=（3，4）． 请你用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）． 26．阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，所以M＝am，N＝an，所以MN＝aman＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M+N），又因为m+n＝logaM+logaN，所以loga（MN）＝logaM+logaN． 解决以下问题： （1）将指数53＝125转化为对数式：　 　． （2）仿照上面的材料，试证明：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）． 27．计算： (1)． (2) 题型十 零指数冪 28．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）计算： 29．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）计算：． （2）如图，直线a，b相交于点O，若，求的度数． 30．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算： (1) (2) 题型十一 负整数指数冪 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是 ． 32．（24-25七年级下·福建漳州·期中）计算或化简： (1) (2) 33．（24-25七年级下·全国·月考）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $