精品解析：河南省邓州市2026届高三十校联考模拟预测数学试题

南阳地区2025年秋季高一年级期末摸底考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数为幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式下的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众1000人，VR全景云包厢观众500人，线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ） A. 15 B. 20 C. 24 D. 25 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数在上严格单调递增，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某大学某专业开设了《数据分析》课程，在期末的“APM数据挖掘”项目中，老师从提交的作业中随机抽取了10份样本进行分析，其中选择类方向作为研究对象的有6人（记为组），选择类方向作为研究对象的有4人（记为组）.已知组样本APM数据的平均数为120，方差为8，组样本APM数据的平均数为100，方差为8，则这10份样本APM数据的平均数和方差分别是（ ） A. 112，104 B. 112，114 C. 114，104 D. 114，114 7. 现有一个装有2000mL水的水壶，每次均倒掉该水壶中剩余水的，若要使该水壶中的水不超过5mL，则至少需要倒水的次数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知正数，满足.现从①，②，③，④这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列结论正确的有（ ） A. ， B. “，”是假命题 C. “有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D. “，”的否定是“，” 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 11. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人工智能实验室在训练一款“中文大语言模型”时，为了评估该模型的生成速度，记录了其生成段不同长度文本的“推理延迟”（单位：毫秒）.数据按从小到大排序如下：，，，，，，，，，.为了保证用户体验，工程师需要设定一个“极速响应”的标准，要求覆盖前的最快生成速度，则这个速度标准（即第百分位数）应为______毫秒. 13. 已知正数，满足，则的最大值为______. 14. 已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试. （1）求汽车两项功能测试都成功的概率； （2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率. 16. 某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图. （1）求的值； （2）试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率. 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 18. 如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. （1）求的解析式. （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. （3）设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数. （1）证明：为“2积轴函数”. （2）已知函数. （i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由. （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳地区2025年秋季高一年级期末摸底考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再根据集合的交集计算即可； 【详解】因为，解得，所以 因为，所以 故选：B. 2. “”是“函数为幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 3. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式下的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众1000人，VR全景云包厢观众500人，线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ） A. 15 B. 20 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】先确定总人数，计算抽样比，最后计算线下现场观众的抽样人数. 【详解】根据题意，总人数为， 分层抽样的抽样比为， 所以线下现场观众抽取的人数为： 故选：B. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 5. 已知奇函数在上严格单调递增，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性将原不等式化为，再利用函数的单调性可得，结合对数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由于为奇函数，故， 则即为，即， 又在上单调递增，则可得，故， 故选：C 6. 某大学某专业开设了《数据分析》课程，在期末的“APM数据挖掘”项目中，老师从提交的作业中随机抽取了10份样本进行分析，其中选择类方向作为研究对象的有6人（记为组），选择类方向作为研究对象的有4人（记为组）.已知组样本APM数据的平均数为120，方差为8，组样本APM数据的平均数为100，方差为8，则这10份样本APM数据的平均数和方差分别是（ ） A. 112，104 B. 112，114 C. 114，104 D. 114，114 【答案】A 【解析】 【分析】平均数的计算方法是所有数据的总和除以数据的总个数，由此可求得这10份样本APM数据的平均数，根据分组数据合并后的方差计算公式，即可求得方差. 【详解】由题意可得这10份样本APM数据的平均数为； 这10份样本APM数据的方差为 ， 故选：A 7. 现有一个装有2000mL水的水壶，每次均倒掉该水壶中剩余水的，若要使该水壶中的水不超过5mL，则至少需要倒水的次数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设至少需要倒水次，列不等式，利用指数函数单调性求解即可. 【详解】设至少需要倒水次，初始水量为2000mL，每次均倒掉该水壶中剩余水的， 则每次剩余水量为上一次的，所以次后剩余水量为 mL， 由题意得，所以，即， 又，，且函数是上的增函数， 所以至少取5，即至少需要倒水的次数是5. 故选：B 8. 已知正数，满足.现从①，②，③，④这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，构造函数，利用在上单调递增得到，即，再结合指数函数、对数函数的性质判断得到①正确②错误③正确④正确，最后计算这4个不等式中随机抽取2个不等式，恰有1个不等式成立的概率即可； 【详解】由得， 即， 设函数，易知在上单调递增， 所以，即，则， 所以，①正确； 由，存在，不成立，②错误； 已知正数，，易得，③正确； ，④正确； 这4个不等式中随机抽取2个不等式，共有6种选法，其中恰有1个不等式成立的选法有3种， 所以恰有1个不等式成立的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列结论正确的有（ ） A. ， B. “，”是假命题 C. “有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D. “，”的否定是“，” 【答案】AB 【解析】 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：令后计算即可判断；对于C：令和，后计算即可判断；对于D：令，，用替换为，化简后得，可判断. 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A正确； 对于B：令，则， 即，所以，故B错误； 对于C：令，则， 令，则， 所以，则为偶函数，C正确； 对于D：令，则， 即， 将上式中的替换为，得， 上述两式消去，得， 即，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人工智能实验室在训练一款“中文大语言模型”时，为了评估该模型的生成速度，记录了其生成段不同长度文本的“推理延迟”（单位：毫秒）.数据按从小到大排序如下：，，，，，，，，，.为了保证用户体验，工程师需要设定一个“极速响应”的标准，要求覆盖前的最快生成速度，则这个速度标准（即第百分位数）应为______毫秒. 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可得结果. 【详解】因为，故这个速度标准（即第百分位数）应为毫秒. 故答案为：. 13. 已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】将已知等式变形为，利用基本不等式建立与的关系，从而求得的最大值. 【详解】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 14. 已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数的图象与取值范围，结合方程及的根的个数，方程的根的分布要求，确定的取值范围，分析条件求解参数的取值范围； 【详解】当时，是开口向下的抛物线，对称轴， 顶点为，此时， 当时，， 若，则单调递减，且， 若，则单调递增且， 根据原方程的根的结构， 设，则原方程变为①， 原方程的根的个数由的取值及的根的个数共同决定， 的根的个数分析如下： 当时，若在有1个根；若在有2个根； 若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 当时，若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 若原方程有8个根，需满足①有两个不同的正根（否则根的总个数不是8个）， 对于每个的根的个数之和为4，结合的根的个数， 要使的根的个数为4个，需，此时当时，有2个根， 当时，有2个根，共4个根， 方程①，令， 需满足，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试. （1）求汽车两项功能测试都成功的概率； （2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率. 【答案】（1）0.72； （2）0.26. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式列式计算. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式求解. 【小问1详解】 记事件成功完成“自动泊车”，事件成功完成“自动辅助变道”，事件相互独立， 则，汽车两项功能测试都成功的事件为， 所以汽车两项功能测试都成功的概率. 【小问2详解】 汽车恰有一项功能测试成功的事件为， 因此， 所以汽车恰有一项功能测试成功的概率为0.26. 16. 某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图. （1）求的值； （2）试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合频率和为1求得a; （2）根据频率分布直方图和平均数的计算方法，可得答案； （3）根据分层抽样的比例确定各组中的人数，列出所有基本事件，根据古典概型的概率公式可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ，∴； 【小问2详解】 估计用户评分的平均数为: ； 【小问3详解】 样本在，的人数分别为2，8， 利用分层抽样从的用户中随机抽取5人， 则在，的人数分别为1，4, 从中抽取的1人记为，从中抽取的4人记为1，2，3，4， 则从5人中随机抽取2人的样本空间， 记“这2人来自不同评分区间”为事件A，则有,,共4个基本事件， ∴. 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数是奇函数，理由： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【小问1详解】 令，则，可得， 故函数的图象恒过点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 18. 如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. （1）求的解析式. （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. （3）设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i），；（ii）或 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）设，，由的面积为1，得，即可求得解析式； （2）（i）由，结合是偶函数，是奇函数，化简得，；（ii）利用二次函数的性质分和两种情况即可求解； （3）先求得的表达式，得到在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，所以，且， 即可求得，. 【小问1详解】 设，其中，设， 因为的面积为1，所以，得， 将A的坐标代入，得，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）由①， 得②， 因为是偶函数，是奇函数， 所以由②得③， 由①和③得，，； （ii）由（i）得，， ， ； 当时，， 解得（舍去）或； 当时，， 解得（舍去）或； 故k的值为或； 【小问3详解】 依题意得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 则，即， 解得， 故，. 19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数. （1）证明：为“2积轴函数”. （2）已知函数. （i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由. （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围. 【答案】（1） 函数的定义域为， 当时，有， 则， 所以函数为积轴函数. （2）（i）为“4积轴函数”; ，（ii） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数和“积轴函数”的概念进行证明. （2）先判断函数是否为“积轴函数”，并确定其轴积系数的值说明理由；已知由函数构造的函数有唯一零点，求出正数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，进一步化简可得： ， 设函数为“积轴函数”，则 当，，且时，有， 则， ， ， ， ， 又因为，恒成立， 所以，求得， 所以函数为“4积轴函数”. （ii）由（i）可知，函数为“4积轴函数”， 函数有唯一零点， 即有唯一解， 因为函数为“4积轴函数”，所以， 对任意，，又因为，则， 所以恒成立，该情况无解， 所以原方程的解等价于有唯一解， 对上式进一步化简可得：， 当时，方程化为，解得,符合唯一解， 当时，判别式，有两个不相等的实根， 所以，两根之积为, 若,则，乘积为负，两根一正一负，仅有正根在定义域内，符合唯一零点， 当时，则，乘积为正，两根同号， 又因为两根之和为，所以两根均为正， 即方程有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求, 综上所述可得的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $