浙江省金华市十校2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

金华十校2025一2026学年第一学期期末调研考试 高三数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答題前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上 2.选择題的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡 皮擦净」 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题 卷上无效。 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.若z=i(2-i),则|z=(▲) A.V3 B.2 C.V5 D.4 2.命题“3x∈R,x2+x-1>0”的否定是（▲） A.Hx∈R,x2+x-1>0 B.Vx∈R,x2+x-1≤0 C.3x∈R,x2+x-1<0 D.3x∈R,x2+x-1≤0 3.若sin若+a=号，则cos号-a(A） A分 B.3 c.-2V2 D.2V2 3 3 4.已知弧长为1cm的扇形面积是1cm2,则其圆心角大小为（▲） A方 B.1 c受 D.T 5.A,B,C,D,E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知A和B都不是 第1名，且C不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（▲） A.42 B.50 C.54 D.60 6.如图，圆0的半径为2，PQ为圆0的直径，A,B为圆0上的两点且 ∠A0B=60°.若AP.BQ=1,则AB.OQ的值为（△） A.-3 B.-2 C.2 D.3 (第6题图)》 7.已知数列a为等比数列，4=1024,9=-号，工是数列a)的前n项的乘积.记T,取得最大值与 最小值的项的个数分别为k和m,则（▲） A.k=2,m=2 B.k=2,m=1 C.k=1,m=2 D.k=1,m=1 8.三楼锥A-BCD中，∠BAD=LBCD=受，AB=AD=V2,二面角A-BD-C的平面角为锐角，则 三棱锥A-BCD的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（▲） A分 B.V3 c.V21 7 D.② 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.已知变量x与变量y的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为y=bx+a,则 下列选项正确的是（▲） 2 3 4 5 9 8 7 6 6 A.变量x与变量y的中位数之和为10 B.变量x与变量y的样本相关系数>0 C.a>0 D.直线=bx+a必过点(3,7) 10.已知函数fx)=sin(ox-石)(o>0)的最小正周期为m,下列结论正确的是（▲） A.0=2 B.fx)在区间-平，牙]上单调递增 C.f代x)的图象关于直线x=牙对称 D.方程)+2+x)-1l=子的解集为km≤x≤罗+m,kez 11.已知集合U=(1,2,,20】,用|X|表示集合X的元素个数，定义： klk,yeU]=la,4l(aKa),r=x,7x-a*.yeU1,P名同 [l-llz,yeU.).ll-ylby.yeU).0-T 则(·▲) A.1Ql=20 B.P,>P C.P<3 D.s 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数fx)=4-1g*,则f2)=▲ 13.在-1和9之间插人5个实数，使得这7个实数成等差数列，则插人的5个实数和为▲ 14.已知椭圆C:斧+-1的左焦点为F,点A(4V了，3)，若以A,F为焦点的双曲线E与椭圆 C交于点P,则双曲线E的离心率的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤】 15.（13分)某公司研发了一种新产品，现有两个销售方案，方案一：所有产品以同一价格进人市 场，则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A,B,C三项测试，前一项测试 通过后方能进行下一项测试，每项测试通过的概率分别为0.9,0.8,0.5.A,B,C三项测试均 通过的产品为一等品，通过A和B两项测试但未通过C项测试的产品为二等品，其余产品 为三等品.每件一等品获利10元，每件二等品获利8元，每件三等品获利6元. (1)求出方案二中某件产品为三等品的概率； (2)使用哪个方案时，每件产品的获利均值更高？请说明你的理由， 16.(15分)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足bcosA=(2c-a)cosB. (1)求角B的大小： (2)若a=2V3,D为线段AC上一点，满足BD=CD=2AD,求△ABC的面积. 17.(15分)如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面AED⊥平面ABCD, EF∥AB,BC=2EF=2AB=2. (1)证明：ED⊥CD: (2)若ED⊥AD,求直线BD和直线CE夹角的余弦值； (3)若D丽=A(0<A<1),且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为号，求A的值. E F D B (第17题图) 18.(17分)已知点P(4,p+2)为抛物线Γ：y入-2px上一点. (1)求下的标准方程； (2)过点(4,0)的直线l与Γ交于A,B两点，以AB为直径的圆与Γ交于异于A,B的两个不 同点M,N(M在N左边). (i)若1斜率为-4，求M,N坐标； ()设△NAB的内切圆与外接圆半径分别为r,R,则当五取最大值时，求直线1的方程， 19.(17分)已知函数ie)-e若(ae) (1)求函数y(x)在(0，(0))处的切线方程； (2)记函数y(x)-1+)户的最小零点为a,证明： 2 (i)-2<a2<0且5(a2)>0; (ia2<a2,<2aL】 2 金华十校2026年1月高三模拟考试 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题， 每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的 2 3 4 5 6 7 8 D D 二、多选题：本题共3小题， 共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 10 11 AC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.3 13.20 14.V21 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.解析：(1)对于方案二，设事件A为“A测试通过”，事件B为“B测试通过”，事件C 为“C测试通过”，事件D为“测试产品为一等品”，事件E为“测试产品为二等品”，事件 F为“测试产品为三等品”，· 则P(F)=P(A)+P(4)P(B)=0.1+0.9x0.2=028. …6分 (2)记方案一和方案二中每件产品的获利分别为X和Y,显然有E(X)=8, 而方案二中，P(D)=P(A1)P(B,)P(C)=0.9×0.8×0.5=0.36 P(E)=P(A1)P(B,)P(C)=0.9x0.8×0.5=0.36 则Y的分布列如下表： Y 10 8 6 P 0.36 0.36 0.28 .E(Y)=10×0.36+8×0.36+6×0.28=8.16 E(Y)>E(X), ∴.使用方案二时，每件产品的获利均值更高. …13分 16.解析：(1)由正弦定理得sinB.cosA=(2sinC-sinA)cosB, .sin Bcos A=2sin Ccos B-cos Bsin A, ∴sin Acos B+cos Asin B=2 sin Ccos B,∴.sin(A+B)=2 sin Ccos B,∴.cosB= 1 2, ~8e6动，8=骨 …7分 (2)法1：余弦定理 设AD=x,'cos∠ADB+coS∠CDB=0, 由余弦定理得52c2+8x2-0,化简得：9r2=c+60 4x2+ 8r2 在△ABC中，由余弦定理得9x2=12+c2-2√3c② 由①②式得c=√5， 1 SABc=acsin B= 3v5 2 2 …15分 法2：向量法 AD=x,BD=BC+2B4,BD=BC+4B+4BC.BA, 3 3 9 9 9 即9x2=c2+√3c+3① 在△ABC中，由余弦定理得9x2=12+c2-2√3c② 由①②式得c=√， SaABc=acsin B= 33 …15分 2 2 法3：倍长线法 延长BD至E使得BD=2DE,:BD=BC+B,结合CD=2DA,:AE∥BC, 3 3 ∠BAE=120°. 在△ABE中，由余弦定理得：BE2=BA2+AE2-2AB·AE cos∠BAE,∴.9x2=C2+√5c+3① 在△4BC中，由余弦定理得9x2=12+c2-2V3c② 由①②式得c=√5， 5 ane esin 1 …15分 2 17.解析：(I)平面AED⊥平面ABCD,平面AEDO平面ABCD=AD,CD⊥AD, 置中 .CD⊥平面EAD,又EDC平面EAD, ∴.CD⊥ED. …4分 (2)由(1)可知多面体ABCDEF为直三棱柱，作EH⊥AD, ~VC-ED=S,EDAB=号2：EH1=1,∴EH=1.当ED⊥AD时，H点和D点重合， 21 如图将三棱柱补形成长方体ABCD-A,B,FE,连BE,BC, :BE/IBD,∴∠B,EC即为直线BD和直线CE的夹角或其补角. 由题意可得：BE=B,C=V5,CE=√2， ∴os∠BEC=BE+CE2-BC2_5+2-5-V10 2·B,E.CE 2V5V210’ 综上，直线BD和直线CE夹角的余弦值为Y0 …9分 10 (3)法一：平面AED⊥平面ABCD,平面AEDO平面ABCD=AD,EH⊥AD, ∴EH⊥平面ABCD,如图，以D点为原点建立空间直角坐标系. 设DH=a,则D(0,0,0),B(2,1,0),C(01,0),E(a,0,1),F(a,l1), 由Dp=DF可得：Dp=(a,l,1)=(a,,),∴.P(aa,,), ∴.CP=(1a,1-1,2),另外，设平面BCP的一个法向量为n=(x,y,z),结合BC=(-2,0,0), n.CP=0 也即 n.BC=0 +(2-)y+z=0,取y=元，则有n=(0,1-), -2x=0 结合DB=(21,0),设直线BD和平面BCP所成角为0， 则sina=-kos(.DF 5V22+1-2 化简得：32+22-1=0，可解得：入=-1（舍去)或1=写 1 综上，= 31 …15分 法二：如图，将三棱柱补形成长方体ABCD-AB,C,D,在C,D上取点R,使得DE=DC, 则PP IIFC IIBC,平面BCR即为平面BCP, 延长CR,交直线DD于点G,作DQ⊥CG, 结合平面BCR⊥平面CDD,C,平面BCRO平面CDD,C,=CG,可得DQ⊥平面BCGM, 连BO,则∠QBD即为直线BD和平面BCP所成角，：sin∠QBD=} BD,Do=BD.sinZoBD=5 sin∠Dcg=D'5 CD 5 m∠Dcg=克G0=c0am∠Dcg=2 :=G盟=cS=2,=DP= …15分 PD PD GD DF 3 18.解析：(1)由题知(p+22=2p×4,解得p=2,所以T的标准方程为y2=4x.…4分 (2)设直线1方程为x=my+4,联立Γ得：y2-4my-16=0, 则少+y2=4m,y1y2=-16,则x1+x2=4m2+8,x1x2=16, 设r上一点Q宁，%)，满足Q1-Q8=0, 则0容-答]-w小上六-a+-倒， 则 y0=0或 0=-16m2+1by。-64m=0+4m-4my0-16) ()m=子，带入（倒得%=0或%=1，则M00,N哈. 4 …10分 (ii)由(*)知N(4m2,-4m),设4WAB的内切圆与外接圆半径分别为r和R,则 =A+NB-AB R AB 法-：设∠Ni8=a,则发na+cosa-1=isma+牙}-1s5-1, 当a-牙，即△W1B为等腰直角三角形时取最大值， 则AB到=2dN-4B,41+m2Vm2+4=2× 42m2-1 即6+m2m2+4=2pm2- V1+m2 令1=√m2+4>2,则V2-3)=222-9, @当2≥号时，0=-4-418=0-0+2，则=3，则m=5: ②当4<2<9时，+42-3-18=k-20+3}>0,方程无根. 综上所述：直线1的方程为x=±√5y+4. …17分 法二： r_NA+NB-AB (NA+NB)2 -1- AB2+2NA.NB 1二 4S ANAB -1= 2dN-AB-1 1+ R AB AB AB AB2 AB 42m2-1 又dN-AB= V1+m2 2m2-1, AB 41+m2Vm2+46+m2Nm2+4 令1=vm+4>2,0=2=9,则r0=22r21-二2-2》，则 2-3) t2(2-3)2 t2(2-3)2 D当2≥号时，在1=3取最大值，则m=± @当4<？<号时，无很大值 综上所述：直线1的方程为x=±V5y+4. …17分 19.解析：(1)f1(x)=e-x,则f1(x)=e-1, (0)=1,(0)=0,则切线方程为y=1. …5分 (2)①由(1)知(x)≥∫(0)=1，则∫2(x)单调递增： 又-2)=-2<0,0=1>0， 2! 则存在-2<a2<0,使得/3(a2)=e:-三=0， 2 则a)=e-=e-号e=e(-号>0 31 …11分 3 3)由题知树=e- (n-1-. 先证f2m-(x)>0恒成立，y=f∫2n(x)单调递增且存在唯一零点-2n<a2n<0. 由(2)知，(x)>0,y=∫2(x)单调递增且存在唯一零点-2<a2<0, 则万，）=e(-号0，则y=1.)单调递增，0)=1， 41 则存在唯一零点-4<a4<0,以此递推，…， ad小ea(}0, (2n-1！ 2n-1 1(2n)2 则y=/2()）单调递增，又/2n(0)=1，万(-2川=。2n <0, 则存在唯一零点-2n<a2m<0,命题成立. ①因为2n+2(a2n)=e.- 2 a吃n o+e可 又y=∫2m+2(x)单调递增，且f2m+2(a2m+2)=0，所以a2m+2<a2m· ②由上述讨论知，y=∫2m+1（x)在(-o,a2m)单调递减，在(a2n,+∞)单调递增，且 2m+1(0)=1, 又x→-∞时，f2m+1(x)→+oo，则∫2m+1(x)=1存在另一零点a2m*l，且a2+l<a2n: 现证明若存在x<a2n<x3使得∫2n+1(x1)=厂2n+1(x2)，则x+x2>2a2n 即证3>2a2n-x，即证f2n+1()=∫2m+(x2)>f2m+1(2a2m-),