2025-2026学年苏科版数学九年级上册第21周《期末复习2》

2025秋九上数学第21周《期末复习2》 一．根的判别式 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值． 二．一次函数图象与几何变换 2．当x≤3时，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是 　 　 ． 三．二次函数的性质 3．已知二次函数满足条件：①图象过点（0，3）；②当x≤0时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式　 　 ． 四．二次函数图象与系数的关系 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是x≤﹣3或x≥1．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示． （1）a　 　 0，c　 　 0； （2）方程ax2+bx+c＝0的两个根为　 　 ； （3）观察图象，当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为　 　 ； （4）将该二次函数图象向上平移　 　 个单位长度后恰好过点（﹣2，0）． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+b的顶点在x轴上，P（p，m），Q（q，m）（p＜q）是抛物线上的两点． （1）当m＝b时，求p，q的值； （2）将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程． 7．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，将其图象上下平移得到抛物线y＝﹣x2+2x+c，若此时抛物线与△AOB有四个交点，则c的取值范围是 　 　 ． 五．抛物线与x轴的交点 8．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当x≥0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2≤m≤2时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为 　 　 ． 六．二次函数的应用 9．某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足50≤x≤80，则每周至少可获得多少利润？ 七．二次函数综合题 10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）P为抛物线上一点，若使得S△PAB＝10，求出点P的坐标； （3）E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标． 八．点与圆的位置关系 11．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 九．三角形的内切圆与内心 12．在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 十．圆的综合题 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：∠D＝∠ABE； （2）若AB＝5，BC＝6． ①求⊙O的半径r； ②的最大值为 　 　 ． 十一．相似三角形的判定 14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 　 　 ． 十二．相似三角形的判定与性质 15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 16．如图，点A，C在半径为1的⊙O上，点B在⊙O内，∠C＝90°，，则OB长最小值为　 ． 十三．相似三角形的应用 17．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为　 　 cm． 十四．相似形综合题 18．“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多． （1）如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：； （2）如图（b），平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　 　 ； （3）如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AB＝3，BC＝4，求EF的长； （4）如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过G的直线折叠，使点D的对应点D′落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E．若，BC＝8，则CE的长度为　 　 ． 三．二次函数的性质（共1小题） 3．已知二次函数满足条件：①图象过点（0，3）；②当x≤0时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式y＝﹣x2+3（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵当x≤0时，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴二次函数顶点的横坐标x≥0，不妨取x＝0，抛物线开口向下，a＜0， ∴设函数的解析式是y＝a（x﹣0）2+k， 由条件可得：3＝k， 即y＝a（x﹣0）2+3， 取a＝﹣1， 所以函数的解析式可以是y＝﹣（x﹣0）2+3＝﹣x2+3， 故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）． 四．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是x≤﹣3或x≥1．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， ∴abc＞0，故①正确； ∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8， ∴y＝﹣x2﹣2x+8， 当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9， ∴x2+2x+1＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×1＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根， 故②正确； ∵对称轴为直线x1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）， 又∵a＜0， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，函数取最大值9， ∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5， ∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； ∵1， ∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴为直线x＝﹣1对称， ∴y1＝y2，故④正确； ∵抛物线过（﹣3，5），（1，5）， ∴抛物线与直线y＝5交点的横坐标为﹣3，1， ∵抛物线开口向下， ∴满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是﹣3≤x≤1，故⑤错误； 故选：C． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示． （1）a　＞　 0，c　＜　 0； （2）方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1　 ； （3）观察图象，当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为　﹣4≤y＜0　 ； （4）将该二次函数图象向上平移　3　 个单位长度后恰好过点（﹣2，0）． 【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得a＞0，c＜0， 故答案为：＞，＜； （2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得函数的对称轴为直线x＝﹣1，函数图象与x轴的一个交点为1， ∴函数图象与x轴的另一个交点为2×（﹣1）﹣1＝﹣3， ∴ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1； （3）∵二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，顶点为（﹣1，﹣4）， ∴当x＝﹣1时，函数y＝ax2+bx+c有最小值为﹣4， ∵当x＝1时，y＝0， ∴当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为﹣4≤y＜0， 故答案为：﹣4≤y＜0； （4）设二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，将（1，0）代入得0＝（1+1）2a﹣4， 解得a＝1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为y＝（x+1）2﹣4， 设将二次函数y＝（x+1）2﹣4图象向上平移m个单位长度后恰好过点（﹣2，0）， 则平移后的二次函数解析式为y＝（x+1）2﹣4+m， 将（﹣2，0）代入得0＝（﹣2+1）2﹣4+m， 解得m＝3， 故答案为：3． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+b的顶点在x轴上，P（p，m），Q（q，m）（p＜q）是抛物线上的两点． （1）当m＝b时，求p，q的值； （2）将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x+b的顶点在x轴上， ∴0， ∴b＝1． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1． ∵m＝b＝1， ∴x2﹣2x+1＝1， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴p＝0，q＝2； （2）设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k． ∵抛物线的对称轴是直线x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4， ∴（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点， ∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4， ∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位． 7．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，将其图象上下平移得到抛物线y＝﹣x2+2x+c，若此时抛物线与△AOB有四个交点，则c的取值范围是 　c＜3　 ． 【解答】解：令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（3，0）， 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， ∴直线AB为y＝﹣x+3， 由消去y整理得x2﹣3x+3﹣c＝0， 当抛物线y＝﹣x2+2x+c与直线AB有一个交点时，则Δ＝（﹣3）2﹣4（3﹣c）＝0， ∴c， ∴若此时抛物线与△AOB有四个交点，则c的取值范围是c＜3． 故答案为：c＜3． 五．抛物线与x轴的交点（共1小题） 8．已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当x≥0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2≤m≤2时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为 　　 ． 【解答】解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）， ∴当y＝0时，x＝﹣3或1， 不妨设点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4， ∴该抛物线顶点的横坐标为1，纵坐标为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a， ∵当x⩾0时，y随x的增大而减小， ∴a＜0， ∵P为抛物线上一点，且横坐标为m，当﹣2⩽m⩽2时，△ABP面积的最大值为8， ∴当x＝2时，y＝4a+4a﹣3a＝5a，当x＝﹣1时，y＝﹣4a， ∵|5a|＞|﹣4a|， ∴8， 即8， 解得a， 故答案为：． 六．二次函数的应用（共1小题） 9．某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足50≤x≤80，则每周至少可获得多少利润？ 【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b， ∴． ∴． ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣6x+600． （2）由题意，可得每周出售这种糕点所获利润＝（x﹣40）（﹣6x+600） ＝﹣6x2+840x﹣24000 ＝﹣6（x﹣70）2+5400． ∵﹣6＜0， ∴当x＝70时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元． （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润＝﹣6（x﹣70）2+5400． 又∵50≤x≤80， ∴当x＝50时，所获利润最小为3000元；当x＝70时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足50≤x≤80，则每周至少可获得3000元的利润． 七．二次函数综合题（共1小题） 10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）P为抛物线上一点，若使得S△PAB＝10，求出点P的坐标； （3）E在y轴上，若△ADE为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，D是抛物线的顶点．将点A、点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为D（1，﹣4）； （2）∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， 设点P（x，y），则， ∴|y|＝5， 当y＝5时，得：x2﹣2x﹣3＝5， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， 此时P（﹣2，5）或（4，5）； 当y＝﹣5时，得：x2﹣2x﹣3＝﹣5， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； （3）点E的坐标为或或或．理由如下： 依题意，设E（0，e）， 由（1）得D（1，﹣4）， ∵A（﹣1，0）， ∴AD2＝（﹣1﹣1）2+[0﹣（﹣4）]2＝4+16＝20，ED2＝（0﹣1）2+[e﹣（﹣4）]2＝1+（e+4）2，EA2＝[0﹣（﹣1）]2+（e﹣0）2＝1+e2， 当△ADE为直角三角形时，分三种情况讨论： 当∠EAD＝90°时，如图1， 由勾股定理得：ED2＝AE2+AD2， ∴1+（e+4）2＝1+e2+20， 解得：， 此时； ∴当∠EDA＝90°时，如图2， 由勾股定理得：AE2＝ED2+AD2， ∴1+e2＝1+（e+4）2+20， 解得：， 此时； ∴当∠DEA＝90°时，如图3， 由勾股定理得：AD2＝ED2+AE2， ∴20＝1+（e+4）2+1+e2， ∴（e+2）2＝5， 解得：，， 此时或， 综上所述，点E的坐标为或或或． 八．点与圆的位置关系（共1小题） 11．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PCA＝∠PBC，则线段AP长的最小值为（　　） A．4 B． C．3 D． 【解答】解：∵∠PCA＝∠PBC， 而∠PCA+∠PCB＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴∠BPC＝90°， ∴点P在以BC为直角的⊙O上， 连接OA交⊙O于P，此时PA的长最小， ∵OA， ∴PA长的最小值为10﹣6＝4． 故选：A． 九．三角形的内切圆与内心（共1小题） 12．在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【解答】解：如图： 根据图形我们可以发现，当△ABC的内切圆的半径确定时，∠A在增大的过程中，△ABC的外接圆的半径先减小，后增大； 故选：D． 十．圆的综合题（共1小题） 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：∠D＝∠ABE； （2）若AB＝5，BC＝6． ①求⊙O的半径r； ②的最大值为 　　 ． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， 当△APD与△ABC相似时， ∵点D始终在边AC上， 根据折叠PB＝PD， 设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x， ∴分两种情况： ①△APD∽△ABC， 此时∠ADP＝∠ACB＝90°， ∴，即， 解得， ∴， ②△APD∽△ACB， 此时∠APD＝∠ACB＝90°， ∴，即， 解得， ∴， 综上，AP的长为或， 故答案为：或． 十二．相似三角形的判定与性质（共2小题） 15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：过点F作FG∥AB，交BC延长线于点G， 则△BED∽△GEF， ∴，即FG＝2BD， ∵AD＝3BD， ∴AB＝4BD， ∴AB＝2FG， ∵FG∥AB， ∴△ACB∽△FCG， ∴2， ∴AC＝2CF＝4， ∴AF＝AC+CF＝6， 故选：B． 16．如图，点A，C在半径为1的⊙O上，点B在⊙O内，∠C＝90°，，则OB长最小值为　　 ． 【解答】解：当点B落在⊙O上点B'处时，点A落在点A′处，连接AA′、BB′，如图： ∵∠A′CB′＝90°，⊙O的半径为1， ∴A′B′是⊙O的直径， ∴A′B′＝2， ∵， ∴， ∵A′C2+B′C2＝A′B′2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠A′CB′＝∠ACB＝90°，即∠BCB′+∠A′CB＝∠ACA′+∠A′CB＝90°， ∴∠BCB′＝∠ACA′， ∵， ∴△BCB′∽△ACA′， ∴∠CBB′＝∠CAA′， 作△CBB′的外接圆，圆心为O′，作⊙O'的直径B′D，连接CD、OC、O′C、OO′，OO′与B′C交于点G，则∠B′CD＝90°， ∵四边形BCDB′内接于⊙O'，四边形ACB′A′内接于⊙O， ∴∠B′DC+∠CBB′＝180°，∠A′B′C+∠CAA′＝180°， 又∵∠CBB′＝∠CAA′， ∴∠B′DC＝∠A′B′C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵OB′＝OC，O′B′＝O′C， ∴点O在线段B′C的垂直平分线上，点O′在线段B′C的垂直平分线上，即OO′垂直平分线段B′C，垂足为G， 根据垂径定理可知，G为B′C的中点，′ ∵O′为B′D的中点，O为B′A′的中点， ∴O′G是△B′CD的中位线，OG是△B′A′C的中位线， ∴，， ∴OO′＝O′G+OG， ∵OB+O′B≥OO′， ∴当O、B、O′三点共线时，OB有最小值，OB的最小值为OO′﹣O′B的值， ∵OO′﹣O′B， ∴OB的最小值为． 故答案为：． 十三．相似三角形的应用（共1小题） 17．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为　　 cm． 【解答】解：∵OE⊥BC，DC⊥BC，AB⊥BC， ∴OE∥AB∥DC， ∴△BOE∽△BDC，△AOB∽△COD， ∴，， ∵CD＝3cm，AB＝5cm， ∴， ∴， ∴OE3（cm）， 故答案为：． 十四．相似形综合题（共1小题） 18．“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多． （1）如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：； （2）如图（b），平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　4　 ； （3）如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AB＝3，BC＝4，求EF的长； （4）如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过G的直线折叠，使点D的对应点D′落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E．若，BC＝8，则CE的长度为　　 ． 【解答】（1）证明：如图a，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E， ∴∠ACE＝∠DAC，∠E＝∠BAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∵CE∥AD， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝7， 由（1）结论可知， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵将△ABE沿BE所在直线折叠， ∴∠ABE＝∠EBC，AE＝EF， ∴， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠ABC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC5， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴； （4）解：如图d，四边形ABCD为正方形，连接CD′， 学科网（北京）股份有限公司 $