专题05 数列求和（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题05 数列求和 目录 典例详解 类型一、公式法与分组求和法 类型二、倒序相加法 类型三、裂项相消法 类型四、错位相减法 类型五、并项求和法 压轴专练 类型一、公式法与分组求和法 1.公式法 （1）公差为的等差数列的前n项和； （2）公比为的等比数列的前n项和； （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④. 2.可以使用公式法求和的数列类型 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列,可以对它们分别使用等差数列或等比数列的求和公式求解. (3)等差数列各项加上绝对值,等差数列乘等. 3.分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 例1．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 【答案】D 【分析】设新数列的前90项包含原数列的前项，得到新数列到为止的总项数为，确定出新数列的前90项包含原数列的前项和78个1，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项， 因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为， 则新数列到为止的前的总项数为， 当时，可得； 当时，可得， 所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1， 因为等差数列满足， 所以新数列的前90项和为. 故选：D. 变式1-1．已知数列满足，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推关系即可求证， （2）根据分组求和，结合等差等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是等比数列； （2）因为，由（1）知，数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以 . 变式1-2．已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列方程组求解，最后根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）利用分组求和、等差数列和等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 因为，，所以，， 又，所以，，得，， 所以，， 即数列的通项公式为，数列的通项公式为； （2）因为， 所以由（1）可得， . 变式1-3．已知数列，满足，且，． (1)求证：和均为等比数列； (2)求，通项公式； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列定义进行证明； （2）由等比数列通项公式求解； （3）利用分组求和法求解. 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列； ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可知，①，② 由①②得：，所以， 由①-②得：，所以； （3）因为， 所以 . 类型二、倒序相加法 1.倒序相加法： 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 例2．已知函数，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由得为奇函数，进而得关于对称，即，最后利用倒序相加法即可求解. 【详解】由题意有：，所以为奇函数，所以关于对称，所以， 所以①， 又②， 由①②有：， 所以， 故答案为：. 变式2-1．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案. 【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为： ，即， 因为圆平分圆的周长，所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 因为，所以，则. 故选：D. 变式2-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过组合公式变形得，然后利用倒序相加求和即可. 【详解】由题可知通项公式， 所以， 同时， 上述两式相加得 ， 所以， 所以. 故选：B. 变式2-3．（多选）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A：计算的和是否为即可判断；B：设，计算的和是否为即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利用数列求和得到，再根据基本不等式求最小值即可. 【详解】 . 所以函数关于对称，A正确； 令，则， 由A知，，所以.所以不是奇函数，B错误； 因为，所以 因为在R上单调递增，所以，，C正确； 由A知，，且，， . 又因为，所以. 时，， 当且仅当即，，时等号成立； 时， ， 当且仅当即，，时等号成立； 所以若，，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 类型三、裂项相消法 1.裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 2.用裂项法求和的裂项原则及规律： （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 3.常见的裂项技巧 等差型： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 根式型： （1） （2） （3） （4） （5） 指数型： （1） （2） （3） （4） （5） 对数型： 三角函数型： （1）（） （2）， 则 阶乘型： （1） （2） 例3．已知在数列中，，前项和为，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与关系结合，可得，则，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以．又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，则． 所以． 又也满足，所以．所以． 所以数列的前15项和为 ． 故选：A． 变式3-1．等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】由求得，由等差数列项之间的关系求得公差和首项，即可得到数列通项.然后化简数列的通项公式，即可求得其前项和. 【详解】∵，∴，则，∴ ∴， ∴， 设数列的前项和为， 则. 故答案为：. 变式3-2．在正项数列{an}中， ，记 整数m满足 则数列的前m项和为 . 【答案】 【分析】先根据已知条件判断出是以首项为1公差为1的等差数列，然后求出的通项公式，进而将的表达式列出来并化简，根据对数函数的性质求出整数，最后根据裂项相消法求出结果即可. 【详解】因为，所以是以首项为1公差为1的等差数列. 得到，因为为正项数列，所以. 所以. 因为整数满足， 而. 所以.所以数列的前m项和为 . 故答案为：. 变式3-3．设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为，变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 类型四、错位相减法 1.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 2.错位相减法解题步骤 3.注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出Sn与qSn的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出Sn－qSn的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 4.万能公式 形如的数列求和为，其中，，. 例4．已知为数列的前项和，且，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意以及等比数列的定义，可得数列的通项，根据等差数列的定义，可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】因为，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， ， ， 则 ， 所以. 故答案为：. 变式4-1．设表示不超过x的最大整数，如已知数列满足为数列的前n项和，则（    ） A．18204 B．18214 C．23324 D．29445 【答案】B 【分析】先对n分类讨论，求出每一段的数列的和，再求即可. 【详解】当时 即共有个n， 因为 所以 令 则 两式相减得 则 所以 故选： 变式4-2．已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用基本量表示，求出公差和公比，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，即得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，有，， 有， 解得（舍），， 故，. （2）由， 有， 两式相减，得， 故. 变式4-3．已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)证明：数列中任意三项不能构成等差数列． (3)已知，若对一切正整数n成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）通过与的关系，结合等比数列定义求通项； （2）用反证法，假设存在三项成等差，推出矛盾来证明； （3）先求，再对数列求和，结合数列单调性确定的范围. 【详解】（1）当时，由，则； 当时，由，则，即； 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故. （2）假设数列中存在三项构成等差数列， 根据等差数列性质可得， 由（1）知，所以，即， 两边同时除以，得到， 因为，所以，，则和都是偶数， 由是奇数，而是偶数，所以假设不成立， 即数列中任意三项不能构成等差数列. （3）已知， 则， 设， 则， 设，， 两式相减可得， 所以， 设、 ， 综上可得，则， 因为，所以， 设，则 ， 所以数列是递增数列，， 所以，即实数的取值范围是. 类型五、并项求和法 1.并项求和法： 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如，可采用两项合并求解. 注意：利用并项求和法有时要对项数是奇数还是偶数进行讨论. 例5．已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（   ） A． B．5050 C． D．4950 【答案】A 【分析】根据数列的单调性，结合递推公式，利用分组求和以及等差数列求和，可得答案. 【详解】由数列是递增数列，得；由数列是递减数列，得. 由，且，即， 则当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 变式5-1．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列定义以及等比中项性质列方程组计算可得，求出数列的通项公式，再利用分组求和计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为：. 变式5-2．（多选）已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若 ，则 【答案】ABD 【分析】合理赋值即可判断A，根据，再升次作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C，求出，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】对A，赋值得，所以A正确； 对B，又由，，相加得，所以B正确； 对C，，， 则 ，所以C错误； 对D，所以 ， 结合，解得，所以D正确. 故选：ABD． 变式5-3．已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，即可求证； （2）通过分组求和即可求解. 【详解】（1）证明：因为，显然，所以， 所以， 即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 一、单选题 1．已知数列满足，在，之间插入n个2，构成数列：，则数列前50项的和为（   ） A．225 B．235 C．245 D．295 【答案】B 【分析】由题可知，数列是等差数列，根据新数列的特征，分析其前50项的构成，利用分组求和法可求得其前50项的和. 【详解】依题意，从开始，到为止，新的数列共有项. 当时，，即新数列中从到共有45项； 当时，，即新数列中从到共有55项. 因为数列是等差数列，且. 故数列前50项的和为 . 故选：B． 2．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得，由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 3．已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（   ） A．100π B．75π C．50π D．25π 【答案】C 【分析】当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到答案. 【详解】， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 故选：C 4．如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，利用裂项相消法求和即可求解. 【详解】由题意可得， 则， 所以. 故选：C 5．已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和. 【详解】因为，则， 且，所以， 所以是周期为3的周期数列， 因为，设数列的前30项和为， 则数列的前30项和为 ， ， 所以，所以. 故选：B. 6．已知数列满足，则数列的前40项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，根据题意由可得：，从而计算，由递推可得：，结合可得：，从而计算，将两组和合并即可完成求解. 【详解】由已知，数列满足①，②， ②①得；， 所以， 由递推可得：③， ③②得；， ， 所以 . 故选：D. 二、多选题 7．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】由，所以，则是等比数列， 根据题意得， 所以数列为等比数列，利用累加法求出， 再利用分组求和法得到. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确； 所以 ，故C正确；，故D正确. 故选：BCD 8．斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】直接求解前9项判断A；根据前9项求和判断B；根据累加得判断C；结合累加判断D. 【详解】由题知，，，，，，，，，故A选项错误；所以，故B选项正确； 由知：，，，……，，， 将以上式子相加得：，即， 所以，故，C选项正确； 因为，所以 所以，故D选项正确； 故选：BCD 三、填空题 9．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 . 【答案】4034 【分析】倒序相加法求和. 【详解】令① 则也有② 由， ，即有， 可得：， 于是由①②两式相加得， 所以. 10．在数列中，，则的通项公式为 ，若，则的前99项和 ． 【答案】 9 【分析】先将已知递推关系两边同时除以后得到等差数列，再由公式法求出数列；由裂项相消法求和可得. 【详解】由，得，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则， 所以， 从而． 故答案为：；9. 四、解答题 11．已知数列的前n项和为，，，且（）. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)5； (2)； (3). 【分析】（1）将代入即可得解； （2）将整理为，即，再运用构造法构造等比数列，即可得解； （3）利用裂项相消法求和，并分为偶数与为奇数进行讨论即可. 【详解】（1）当时，， 则. （2）当时，由，得， 则，得， 当时，，也满足上式， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，即. （3）. 当n为偶数时， . 当n为奇数时， ， 故. 12．已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解； （2）利用分组求和法即可求解； （3）由题意可得，所以对恒成立，令，通过作差研究的单调性求出的最大值，即可求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，， 则，解得或（舍去）， 所以；. （2）依题意， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 设， 所以. （3）由题意可得， 由，得，所以对恒成立， 令，则 当时，，当时，，当时，， 所以最大，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列求和 目录 典例详解 类型一、公式法与分组求和法 类型二、倒序相加法 类型三、裂项相消法 类型四、错位相减法 类型五、并项求和法 压轴专练 类型一、公式法与分组求和法 1.公式法 （1）公差为的等差数列的前n项和； （2）公比为的等比数列的前n项和； （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④. 2.可以使用公式法求和的数列类型 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列,可以对它们分别使用等差数列或等比数列的求和公式求解. (3)等差数列各项加上绝对值,等差数列乘等. 3.分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 例1．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 变式1-1．已知数列满足，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 变式1-2．已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 变式1-3．已知数列，满足，且，． (1)求证：和均为等比数列； (2)求，通项公式； (3)求的前项和． 类型二、倒序相加法 1.倒序相加法： 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 例2．已知函数，，则数列的通项公式为 ． 变式2-1．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（    ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 变式2-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（多选）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 类型三、裂项相消法 1.裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 2.用裂项法求和的裂项原则及规律： （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 3.常见的裂项技巧 等差型： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 根式型： （1） （2） （3） （4） （5） 指数型： （1） （2） （3） （4） （5） 对数型： 三角函数型： （1）（） （2）， 则 阶乘型： （1） （2） 例3．已知在数列中，，前项和为，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前项和为 ． 变式3-2．在正项数列{an}中， ，记 整数m满足 则数列的前m项和为 . 变式3-3．设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 类型四、错位相减法 1.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 2.错位相减法解题步骤 3.注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出Sn与qSn的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出Sn－qSn的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 4.万能公式 形如的数列求和为，其中，，. 例4．已知为数列的前项和，且，若，则 ． 变式4-1．设表示不超过x的最大整数，如已知数列满足为数列的前n项和，则（    ） A．18204 B．18214 C．23324 D．29445 变式4-2．已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 变式4-3．已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)证明：数列中任意三项不能构成等差数列． (3)已知，若对一切正整数n成立，求实数的取值范围． 类型五、并项求和法 1.并项求和法： 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如，可采用两项合并求解. 注意：利用并项求和法有时要对项数是奇数还是偶数进行讨论. 例5．已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（   ） A． B．5050 C． D．4950 变式5-1．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 变式5-2．（多选）已知数列 的前 项和为 ， ，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若 ，则 变式5-3．已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 一、单选题 1．已知数列满足，在，之间插入n个2，构成数列：，则数列前50项的和为（   ） A．225 B．235 C．245 D．295 2．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 3．已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（   ） A．100π B．75π C．50π D．25π 4．如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列中，，设，则数列的前30项和为（   ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，则数列的前40项和（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 8．斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 . 10．在数列中，，则的通项公式为 ，若，则的前99项和 ． 四、解答题 11．已知数列的前n项和为，，，且（）. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和. 12．已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $