云南省石屏县第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高三上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A.       B.       C.       D. 2.已知，，则（ ） A. 3    B. 1    C.       D. 3.记函数的导函数为.若，则（ ） A.       B.       C.       D. 4.已知函数在区间上存在唯一极大值点，则a的最大值为（ ） A.       B.       C.       D. 5.已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2    B. 3    C. 4    D. 5 6.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件 C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件 7.已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ） A.       B. 1    C.       D. 8.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. 45%    B. 30%    C. 13.5%    D. 13% 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数，则（ ） A. 当在上单调递增时， B. 当时，为曲线的切线 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，的极大值点 10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 11.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A.       B.       C.       D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，若，则             . 13.复数的虚部是               . 14.已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为      四、解答题 15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 16.为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： （1）分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； （2）估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 17.已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 18.已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 19.设的内角的对边分别为，是边的中点，. （1）若，求面积的最大值； （2）若的面积为且 ，求的值; （3）若，求的取值范围. 一、单选题 1. D【解析】已知集合，则，即，所以. 已知集合，因为，所以，即. 所以. 故选：D. 2. B【解析】已知，可得. 由，可得. 所以. 故选：B. 3. A【解析】，， 则. 故选：A. 4. A【解析】函数，其周期. 在，时取得极大值. 令，，解得. 当时，；当时，. 因为在上存在唯一极大值点，所以. 则的最大值为. 故选：A． 5. C【解析】在等比数列中，可得. 已知，则. 可得. 把代入，. 因为，所以. 故选：C. 6. A【解析】充分性证明：已知，，，可得. 又，，所以，充分性成立. 必要性证明：当时，若与相交，因为，，， 此时与既不平行也不相交，推不出，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 7. B【解析】已知椭圆，其半焦距； 已知双曲线，其半焦距. 因为是公共焦点，所以，即，可得. 设，，在第一象限， 由椭圆定义得，由双曲线定义得. 解得，. 因为，可得，即， 展开得，即. 椭圆的离心率，双曲线的离心率，则. 故选：. 8. C【解析】设2024年到该地旅游的游客总人数为， 由饼图可知，青年人占总游客人数的比例为， 则青年人的人数为. 由柱状图可知，青年人中自助游比例为， 所以选择自助游的青年人人数为， 则选择自助游的青年人占总游客人数的比例为. 故选：C. 二、多选题 9. BCD【解析】选项A：，则. 若在上单调递增，需恒成立. 因为，所以，A错误. 选项B：当时，，. 令，得，， 则曲线在处切线斜率为，切线方程为，B正确. 选项C：，， 相加得，所以曲线对称中心为，C正确. 选项D：由，，解得. 时，或； 时，. 极大值点，因，则，故，D正确. 故选：BCD. 10. ABD【解析】A选项：由图象可知，由于，则，A正确. B选项：，因为，所以，， 即，，又，所以，B正确. C选项：， 根据余弦函数性质，是偶函数，不是奇函数，C错误. D选项：，当时，. 令，则，， 在内，，时满足，即图象与轴有个交点，D正确. 故选：ABD. 11. ABC【解析】由等差数列前项和公式，可得，. 因为，所以， 展开得，移项得①. 因为是以为公差的等差数列，所以. ，，，则，，， ，移项得②. 联立①②，将代入，得，解得，则. ； ； . 所以A、B、C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 4【解析】已知，由可得. 则，则. 而，因为，所以. 故答案为：4. 13. 【解析】根据，，，，将原式每四项分为一组： 第一组：； 第二组：； 因为，所以原式可分成组，每组结果都为. 则. 所以复数的虚部为. 14. 【解析】因为是函数的极大值点， 根据正弦函数性质，此时，. 化简可得，. 又因为，所以，，则. 当时，令，则. 的对称轴方程为，，零点方程为，. 在上有三条对称轴， 分别为，，；有两个零点，分别为，. 要满足条件，则，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 解：（1）因是上的奇函数，故. 设，则， 代入时的解析式，得. 由奇函数性质，得. 综上，的解析式为： . （2）当时，， 其二次项系数，对称轴，故在上单调递增. 由奇函数性质，在上单调递增. 由，得. 因是奇函数，，故. 结合单调性与定义域，需满足： ， 解得，即实数的取值范围是. 16. 解：（1）由频率和为，，解得. 样本容量频数频率. . 每组频率/组距： ：； ：； ：； ：； ：. 据此画出频率分布直方图如下： （2）众数：频率分布直方图中最高矩形对应，中点为分. 平均数： . 第75百分位数：前四组频率和， 故在内，设第75百分位数为，则， 解得分. 17. （1）证明：由，可得. 展开式子得，移项得到， 即. 因为数列各项均为正数，所以，可得. 又已知，可知数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）解：由（1）可知，则. 假设存在正整数，（），使，，成等比数列，则. ，，，代入可得：， 即，化简得， 因为，得，整理得. 因为，为正整数且，所以是的正因数. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 所以存在正整数，，使得，，成等比数列，. 18. （1）证明：点 在底面 的射影是 ，故 平面 . 因 平面 ，所以 ， 四边形 是菱形，故 ， ，、 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，故 ， 菱形 中，对角线 ，得证. （2）解：过 作 于 ，连 ， 平面 ， 平面 ，故 ， ，、 平面 ，所以 平面 ， 则 ，故 是二面角的平面角. 是边长为 的等边三角形，， 菱形边长为 ，，则 ，， 由 ，得 ， 在 中，. （3）， 平面 ，故 平面 ， 故 到平面 距离等于 到平面 距离 . 由 ，得 ，得 . 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 要 最大，需 最小，此时 ， 由对称性，，， 所以最大角正弦值 ， 故 在线段 上靠近 的 处，最大角正弦值为 . 19. 解：（1）设 为原点，，，， 由 ，得 ， ，， （因 ）， 化简得 . 解不等式 ，结合 ，得 . 面积 ， 当 时，. （2） 面积 . 因 是中点， 面积是 面积的一半，即 ，得 ，. 由余弦定理，，故 ， 由正弦定理，，即 ， 解得 . （3）以 为原点建系，，，，则 ， ，， 所以， . 所以. 因 ，，故 . 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $