广东省广州市增城区增城中学2025-2026学年高二上学期期末模拟测试数学试卷

2025一2026学年度第一学期期末模拟训练 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.己知抛物线的焦点是F(0,2),则抛物线的标准方程是 A.y2=8x B.x2=8y C.y2=-8x D.x2=-8y 2.已知空间向量m=(-2,l,-3),n=(4,-1,x),且m⊥n,则x的值为 A.3 B.2 C.-3 D.-4 3.己知倾斜角为F的直线的方向向量为()，则k的值为 A.-1 8、3 2 c岭 2 D.1 4.椭圆兰+上=1与椭圆，之 3y2 2516 25-m+6-m=10m<16的 A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等 5.若两条平行直线3x-4y+m=0(m<0)与3x+y+6=0之间的距离是3，则m+n= A.-13 B.-9 C.17 D.21 6.过直线1：V3x+y-4=0上一点P作圆0：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,若 ∠APB=行，则点P的坐标为 9d B.(25,-2或(0,4) c.(5, D.(（5+5,1-3)或(W5-,1+35) 气已知双曲线方程为二-片=1(a>0,6>0),R5为其左、右焦点，过片的直线1与双曲 线右支相交于么B丙点，且∠R4B=受m乙BR=品，则双曲线的离心率为 A阿 B.2 c2四 3 D.V29 8.数列{a}满足an2+(-1yan=2n-1,前12项和为158，则g的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选销的得0分 9.己知数列{a}的前n项和公式为S。=n2-n,则 A.S,S6,S。成等差数列 B.4,a。,a,成等差数列 C.数列{a,}是递增数列 D.数列{S}是递增数列 10.已知圆C:(x-2)2+y-2)2=4,直线1：(1+32)x+(1+2)y-2-42=0(2∈)，则 A.直线1恒过定点(1,2) B.直线I与圆C相交 C.直线I被圆C截得的弦最短时，直线1的方程为x+y-2=0 D.圆C上不存在三个点到直线l的距离等于2-√瓦 11.如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面BCCB与BA4B是边长为2的正方形，平面 BCCB⊥平面BAAB,M,N分别在BC和AB上，且BM=AN=a(0<a<2N2),则 A.直线MN∥平面ABC B.当a=1时，线段MN的长最小 c当号时，直我0与平面4玛所成角的正值为 3 D当a=万时，平面MB与平面8夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知△ABC的三个顶点是A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则边AB上的高所在直线的方程为 13.己知数列{a}满足a=1,nan1=2(n+1)an,则{a}的通项公式an=」 14.抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对 称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经 抛物线反射后必过抛物线的焦点如图，O为坐标原点，抛物 线C:y=-之，一条平行于x箱的光线m射向抛物线C上 的点A(不同于点O)，反射后经过抛物线C上另一点B, 3π 再从点B处沿直线n射出若直线OA的倾斜角为4，则入 射光线m所在直线的方程为；反射光线n所在直线 的方程为 ·（第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知等差数列{a,}的前n项和为Sn,数列b,}为等比数列，a=6=1,4+b2=4, S3=6. (1)求{a},{b,}的通项公式： (2)求数列 1 的前n项和T, S 16.(15分) 已知圆C的方程为x2+y2-4x+2y+2m2-2m+1=0. (1)求m的取值范围： (2)当m=1时，求圆0：x2+y2-4=0与圆C的公共弦的长 17(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD, CD⊥AD,AD=2DC=2CB=2,E为PD的中点. (1)证明：CE∥平面PAB; (2)若∠PAB=60,求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值， 18.(17分) 已知数列{a,}满足4=2，an14,-2an+1=0,neN w来运：克到 为等差数列： (2)设c2一，记集合ak≤c,≤2，keN}中元素的个数为6， 求使6+b2+…+b>2024成立的最小正整数k的值. 19.(17分) 如图，在圆O:x2+y2=1上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足，点 M在DP的延长线上，且DM=2DP,当点P在圆O上运动时，记点M的轨迹为曲线 C(当点P经过圆与y轴的交点时，规定点M与点P重合). (1)求曲线C的方程： (2)过点T(《,0)作圆O:x2+y2=1的切线1交曲线C于A,B两点，将|A表示成t的 函数，并求A的最大值. 2025一2026学年度第一学期期末模拟训练 高二数学参考答案与评分标准 一、选择题： 题号 2 A8 345 】6 答案 B DD 二、选择题： 题号 10 11 答案 BCD BC ACD 三、填空趣： 12.2x-y-1=0: 13.an=n2m-, )分y君 四、解答题： 15.【解析】（1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{bn}的公比为g.1分 依题意知色+格+d6g-4（一个式子1分)吗分 lS3=3(a+d)=6 s82品 …(对一个得1分)…5分 所以{.}的通项公式为n=g=2,neN.…6分 an=l+(n-)=h,n∈N，…7分 (2)由(1)得S.=4+0_n+ 2 …8分 2 8可2 所以上= 2 …10分 --引日 …11分 =f …12分 所以？2 2 n+1 …13分 16.【解析】(1)解法一：圆C的方程可化为： (-2}2+(y+m}=3+2m-m2.…2分 所以3+2m一m2>0,……3分 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3…5分 所以m的取值范围为(-1,3).… …6分 解法二：令D=4,E=2m,F=2n2-2m+1, 所以D2+E2-4F>0,…2分 即16+4m2-42m2-2m+0>0,…3分 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3…5分 所以m的取值范围为(-L,3).…6分 (2)解法一：当m=1时，圆C的方程为x2+y2-4x+2y+1=0…7分 将圆0：x2+y2-4=0与圆C:x2+y2-4r+2y+1=0的方程相减，得 公共弦所在直线1的方程为4x-2y-5=0.…8分 圆0：x2+y2-4=0的圆心为00,0)，半径r=2.…9分 圆心O(0,0)到直线1的距离d= |-515 4+22 2 所以公共弦的长为2-d…12分 所以公共弦的长为2 = …14分 所以公共弦的长为…15分 解法二：当m=1时，圆C的方程x2+少-4+2y+1=0…7分 将圆0：2+y2-4=0与圆C:2+y2-4x+2y+1=0的方程相减，得 公共弦所在直线1的方程为4x-2y-5=0,…8分 联粒仙8释-+-0 49分 设圈C与圆0的交点为A(,片，B(名，y2),则 9 所以名+名=2,0…1分 所以公共弦的长14B名-x》产+0-=+2片- =+2.+名》-4，… …12分 -5-m. …l4分 所以公共弦的长为而… *…15分 17.【解析】(1)证明：取AP的中点G,连接BG,EG,如图所示 因为E为PD中点，G为AP的中点， 所以GE∥AD,且GB-4D. 又BC∥AD,AD=2BC, 所以GE∥BC,GE=BC. 因此四边形GBCE为平行四边形.…2分 所以GB∥CE.…3分 又CE￠平面PAB,GBC平面PAB 所以CE∥平面PAB.…4分 (2)解法一：取AD的中点为N,连结PN,BN, 因为△PAD为等腰直角三角形， 所以PN⊥AD …5分 因为AD=2, 所以PN=I.由题设知四边形BCDN为边长为1的正方形， 所以BN=AN=PN=1.又因为∠PAB=6O 所以PA=AB=PB=V2, 所以BW2+PN2=PB2,即BN⊥PW.…6分 又因为BW∩AD=N 所以PN⊥平面ABCD,…7分 所以直线BN,AD,PN两两互相垂直.如图，以N为原点，直线BN,AD,PN分 别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系N-z,则D(0,10),A(0,-l,0),B(,0,0), cu0.Paa).}所 正-(5》m-。l-0 P8=（自，0，-1).…8分 设平面PAB的一个法向量为m=(:,片，)， 由m1风得%-名=0 m1P8,-名=0， 取名=1，解得x=1,y=-1, 所以m=(么，-1,1).…10分 因为0=(，1-)，P丽=(0，-)， 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), 由/1 x+y-z=0, 得 n⊥PB,x-z=0. 取z=1,解得x=1,y=0, 所以n三(L,0,）.…l2分 设平面PAB与平面PBC的夹角为0， 得cos0=lkos<m,n= m.n6 …4分 Iml-lml 3 所以平面PMB与平面P8C的夹角余弦值为5 *4…15分 解法二：取PB,PC,AD的中点W,F,N连接AW,FW,AF,AC,BN,PN如图所 示.因为△PAD为等腰直角三角形，所以PW⊥AD. …5分 又因为平面APD⊥平面ABCD,平面APDn平面ABCD=AD,PNc平面APD. 所以PN⊥平面ABCD. …6分 由题设知四边形BCDN是边长为1的正方形，因此AN=BW=PN=BC=1 所以AB=AP=PB=PD=√2 所以AW⊥BP,1m= …7分 2 因为BC⊥BN,BC⊥PN,PN∩BN=N 所以BC⊥平面PBN. 所以BC⊥PB …8分 因为PW=BW,PF=CF, 所以WF⊥PB. 因为平面PAB∩平面PBC=PB, 所以∠AWF是平面PAB与平面PBC所成角的平面角.…9分 因为AD=2CD=2,CD⊥AD 所以4C=5 因为PW=BW,PF=CE 所以FW= 1 … …10分 因为CD⊥AD,CD⊥PN,PN∩AD=N 所以CD⊥平面PAD 所以CD⊥PD 因此PC=VCD°+PD=5,Pr=CF=5 2 因为PC2+P2=AC2 所以PA⊥PC… 所以AF=Vp+PF-面 2 …12分 设平面PAB与平面PBC的夹角为O, AW2+FW2-AF 所以cos8=cos∠AWF= 2AW.FW 6.111 444 6 2.1.6 …14分 3 22 所以平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为 6 4…15分 18【解折】证明由题意，数列{a,}满足04-28，+1=0，可得a1-2丝-…1分 所以1.1 11 ，…3分 a. … …4分 所双意列司是有现，会地为1台等发数外 …5分 (2由()知c。= -f7…6分 所以k≤n≤2*，k∈N …7分 所以6=2*-k+1 …8分 则4+6*…+6=20-2空》.+D+k …9分 1-22 =2-2--k …10分 2 令f0)=21-2-,5则 2 ft+-j=-2-+,+D-2-2+,k=2n-k …12分 2 因为21-k=0+10州-k21+(k+1)-k=2>0, …13分 所以f)）单调递增.…l4分 因为f00)=2001<2024，f01)=4039>2024,…l6分 所以k的最小值是1山.… …17分 19.【解折】(1)设M(3,y),P(o,),则D(0,%)…1分 DM=2pr,将名=2，%=y2分 又商国少-1上，肉)少1分 D 所以鱼线C的方程+ya。 …4分 (2)解法一：由题意知1。 当：=1时，物线！的方程x=1,点4B的坐标分测为号-}， 此时14=5 …4…5分 当1=-1时，间理可得A到=厅，…6分 当>1时，设切线l的方程为y=(x-)， y=k(x-1). 侣r 得(4k2+10x2-8k2x+4k22-4=0().…7分 a 因为直线1与圆x2+y2=1相切，所以 1， 即k2=k2+10k*0）.…8分 所以△=(-8k2)2-44k2+10(4k22-4)=-16k2+64k2+16=48k2>0, 设A(%,片)，B(名片)，则 +6路 .8k21 ……10分 所以4=+-x=+胶.名+x-4x …11分 =+k6t-4平- (4k2+1)2 4k2+1 48k24W5L =+)4+可+3 …13分 由于当r=1时，40=V5, 所以1B45,e（←，-U.）).…4分 2+3 因为4B45u.454 =2,4…16分 2+3 352 * 所以当1=士√3时，AB的最大值为2.…7分 解法二：由题意知r上1.设切线I的方程为x=my+【, (x=my+l, 由x +y2=2 得(m2+4)y2-2my+2-4=0…6分 因为真线1与圆2+少=1相切，所以加=1， +m 即产=m2+l.…8分 所以A=(2m2-4(m2+4X2-4)=48>0…9分 a-以-州-没 40分