第一单元 简易方程 （解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第一单元 简易方程 1.方程的意义： ----认识方程的含义，理解含有未知数的等式是方程，建立方程的概念认知 2.等式的性质： ----掌握等式两边同时加、减、乘、除同一个数（0除外）等式仍然成立的性质 3.解方程： ----学会利用等式的性质解一步、两步简易方程，能准确求出未知数的值 4.列方程解决实际问题： ----掌握“找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验”的解题步骤，能解决常见实际问题 5.稍复杂的简易方程应用： ----学会分析含多个未知数的实际问题，通过设关键未知数表示相关量，列方程求解 类型1 等式的认识及列等量关系式解决问题： 典型例题1：某汽车厂今年生产汽车62万辆，比去年产量的1.5倍多17万辆，去年生产汽车多少万辆？（先写出等量关系式，再列方程解答。） 【答案】去年汽车产量×1.5＋17万辆＝今年汽车产量；30万辆 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法计算，先用去年的产量乘1.5计算出去年产量的1.5倍是多少，再加上17万辆，可以计算出今年汽车产量；将去年生产汽车的产量设为x万辆，列出方程：1.5x＋17＝62，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【详解】去年汽车产量×1.5＋17万辆＝今年汽车产量 解：设去年生产汽车x万辆。 1.5x＋17＝62 1.5x＋17－17＝62－17 1.5x＝45 1.5x÷1.5＝45÷1.5 x＝30 答：去年生产汽车30万辆。 变式训练：暑假是旅游高峰期，小明回到酒店，看到一个旅行团正在办理入住手续。其中，男游客有84人，比女游客的5倍还多14人，旅行团中女游客有多少人？（先写等量关系式，再列方程解答。） 等量关系式： 【答案】关系式见详解；14人 【分析】先设女游客有x人，根据男游客比女游客的5倍还多14人，男游客84人，来列方程，即5x＋14等于84，根据等式性质1，两边同时减14，计算出得数，再根据等式性质2，方程两边同时除以5，即可求出女游客的人数。 【详解】等量关系式：4×女游客人数＋14＝男游客人数。 解：设女游客有x人。 5x＋14＝84 5x＋14－14＝84－14 5x＝70 5x÷5＝70÷5 x＝14 答：旅行团中女游客有14人。 类型2 应用等式的性质1解方程解决问题： 典型例题2：一台电风扇原价130元，现在便宜16元，现在售价是多少元？（先根据题意画出线段图，再解答） 【答案】图见详解；114元 【分析】用现在售价＋便宜的钱数＝电风扇原价，据此画图；设现在售价是x元，现在便宜16元，即现在售价＋便宜的钱数＝电风扇原价，列方程：x＋16＝130，解方程，即可解答。 【详解】如图： 解：设现在售价是x元。 x＋16＝130 x＋16－16＝130－16 x＝114 答：现在售价是114元。 变式训练：地球表面的海洋面积大约是3.62亿平方千米，比陆地面积多2.13亿平方千米。陆地面积大约是多少亿平方千米？（列方程解答） 【答案】1.49亿平方千米 【分析】设陆地面积大约是x亿平方千米，根据数量关系：陆地面积＋2.13亿平方千米＝海洋面积，据此列方程，再根据等式的性质解方程。 【详解】解：设陆地面积大约是x亿平方千米。 x＋2.13＝3.62 x＋2.13－2.13＝3.62－2.13 x＝1.49 答：陆地面积大约是1.49亿平方千米。 类型3 应用等式的性质1解方程解决问题： 典型例题3：小红买了2支钢笔和5支圆珠笔，共付54元，一支钢笔的价格是一支圆珠笔的20倍，每支圆珠笔多少钱？（用方程解） 【答案】1.2元 【分析】设每支圆珠笔x元钱，则每支钢笔20x元钱，根据钢笔单价×数量＋圆珠笔单价×数量＝共付钱数，列出方程解答即可。 【详解】解：设每支圆珠笔x元钱。 20x×2＋5x＝54 40x＋5x＝54 45x＝54 45x÷45＝54÷45 x＝1.2 答：每支圆珠笔1.2元钱。 变式训练：妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元，裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 【答案】上衣200元；裤子160元 【分析】已知裤子的价格比上衣便宜了20%，把上衣的价格看作单位“1”，则裤子的价格是上衣的（1－20%）；设上衣的价格是元，则裤子的价格是（1－20%）元；等量关系：上衣的价格＋裤子的价格＝上衣和裤子的总价钱，据此列出方程，并求出方程的解，即上衣的价格，再用总价钱减去上衣的价格，求出裤子的价格。 【详解】解：设上衣的价格是元。 ＋（1－20%）＝360 ＋0.8＝360 1.8＝360 ＝360÷1.8 ＝200 裤子：360－200＝160（元） 答：上衣200元，裤子160元。 类型4 应用等式的性质1和2解方程解决问题： 典型例题4：石嘴山市纺织厂乙车间的人数是甲车间的1.5倍，给甲车间新招40人后，这时两车间人数正好相等，甲车间原有多少人？（用方程解答） 【答案】80人 【分析】根据“乙车间的人数是甲车间的1.5倍”，可以设甲车间原有人，则乙车间原有1.5人； 根据“给甲车间新招40人后，这时两车间人数正好相等”可得出等量关系：乙车间原有人数＝甲车间原有人数＋40，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设甲车间原有人，则乙车间原有1.5人。 1.5＝＋40 1.5－＝＋40－ 0.5＝40 0.5÷0.5＝40÷0.5 ＝80 答：甲车间原有80人。 变式训练：光明小学五、六年级学生参加植树活动。参加活动的共有460人，其中六年级比五年级参加人数的2倍少80人，五年级参加植树活动的学生有多少人？（列方程解答） 【答案】180人 【分析】设五年级参加植树活动的学生有人，则六年级参加植树活动的学生有人，将两个年级的人数求和为460人，由此即可列方程并解方程。 【详解】解：设五年级参加植树活动的学生有人。 答：五年级参加植树活动的学生有180人。 类型5 解含括号的方程解决问题： 典型例题5：王强家买来5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升。每个大瓶中的果汁比每个小瓶中的果汁多200毫升，每个小瓶中装有多少毫升果汁？ 【答案】400毫升 【分析】设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升，5大瓶装果汁5×（200＋x）毫升，9小瓶装果汁9x毫升，根据5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升列方程解答即可。 【详解】解：设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升。 14x＋1000＝6600 14x＋1000－1000＝6600－1000 14x÷14＝5600÷14 答：每个小瓶中装有400毫升果汁。 变式训练：爸爸买了2个茶壶和6个茶杯，一共花了156元，一个茶壶比一个茶杯贵50元。一个茶壶多少元？一个茶杯多少元？ 【答案】茶壶57元；茶杯7元 【分析】把一个茶壶的钱数设为未知数，一个茶壶比一个茶杯贵50元，则一个茶杯的钱数＝一个茶壶的钱数－50元，用含有字母的式子表示出一个茶杯的钱数，根据“总价＝单价×数量”分别表示出2个茶壶的钱数和6个茶杯的钱数，等量关系式：2个茶壶的钱数＋6个茶杯的钱数＝一共花的钱数，据此列方程解答。 【详解】解：设一个茶壶x元，则一个茶杯（x－50）元。 2x＋6（x－50）＝156 2x＋6x－6×50＝156 2x＋6x－300＝156 8x－300＝156 8x－300＋300＝156＋300 8x＝456 8x÷8＝456÷8 x＝57 57－50＝7（元） 答：一个茶壶57元，一个茶杯7元。 类型6 方程的检验解决问题： 典型例题6：一个自然保护区里天鹅的只数是丹顶鹤的2.2倍，比丹顶鹤多360只。天鹅和丹顶鹤各有多少只？（列方程解答并写出检验过程） 【答案】丹顶鹤有300只；天鹅有660只 【分析】根据题意可知，丹顶鹤的只数×2.2＝天鹅的只数，天鹅的只数－丹顶鹤的只数＝360只，据此设丹顶鹤有x只，列方程为2.2x－x＝360，然后解出方程即可，再把x的值代入方程检验即可。 【详解】解：设丹顶鹤有x只。 2.2x－x＝360 1.2x＝360 1.2x÷1.2＝360÷1.2 x＝300 300×2.2＝660（只） 检验：把x＝300代入2.2x－x＝360中， 2.2x－x ＝300×2.2－300 ＝660－300 ＝360 ＝右边 所以x＝300是原方程的解。 答：丹顶鹤有300只，天鹅有660只。 【点睛】本题考查了列方程解决问题找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 变式训练：今年4月1日，玉泉山樱花节绚丽开幕，这里是华北地区最大的樱花园，拥有多达70余个品种25万株樱花。每年都会吸引大量游客前来拍照打卡，尽享锦锈太原的繁花似锦之美。在一片山谷中有关山樱和太白樱共156棵，其中关山樱的数量是太白樱的3倍。关山樱和太白樱各有多少棵？（列方程解答并检验结果是否正确） 【答案】关山樱：117棵；太白樱：39棵 【分析】设太白樱有x棵，关山樱是太白樱的3倍，则关山樱有3x棵，关山樱和太白樱共156棵，列方程：x＋3x＝156，解方程，求出太白樱的棵数，进而求出关山樱的棵数，再进行检验。 【详解】解：设太白樱有x棵，则关山樱有3x棵。 x＋3x＝156 4x＝156 4x÷4＝156÷4 x＝39 关山樱：39×3＝117（棵） 检验：把x＝39代入方程的左边得： 39＋39×3 ＝39＋117 ＝156 右边：156 左边＝右边 x＝39是方程的解。 答：关山樱有117棵，太白樱有39棵。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用关山樱和太白樱的棵数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 类型7 列方程解含一个未知数的问题： 典型例题7：小亚带50元钱去商店，买了4包薯片，找回的钱正好可以买5瓶单价为4.8元/瓶的橙汁。小亚买的薯片的单价是多少元/包？（用方程解） 【答案】 6.5元/包 【分析】小亚带了50元，买了4包薯片，找回的钱刚好能买5瓶单价4.8元/瓶的橙汁。设薯片的单价为x元/包，根据“总价＝单价×数量”得到4包薯片的总价就是4x元；5瓶橙汁，每瓶4.8元，总价为（4.8×5）元。根据数量关系“买薯片花的钱＋买橙汁花的钱＝小亚带的总钱数”，可列方程为4x＋4.8×5＝50，计算得4x＋24＝50，根据等式的性质，方程两边同时减去24，再同时除以4求出x的值即可解答。 【详解】解：设小亚买的薯片的单价是x元/包。 4x＋4.8×5＝50 4x＋24＝50 4x＋24－24＝50－24 4x＝26 4x÷4＝26÷4 x＝6.5 答：小亚买的薯片的单价是6.5元/包。 变式训练：甲、乙两艘轮船同时从A地出发开往B地。经过15小时后，甲船落后乙船52.5千米。甲船每小时行31.4千米，乙船每小时行驶多少千米？ 【答案】34.9千米 【分析】根据速度×时间＝路程，先求出甲行驶的路程，因为甲船落后乙船，所以乙船速度×时间－甲船速度×时间＝甲船落后乙船的距离，列出方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时行驶千米。 答：乙船每小时行驶34.9千米。 类型8 列方程解含两个未知数的问题： 典型例题8：果园里荔枝树的棵数是芒果树的60%，荔枝树和芒果树一共有184棵，荔枝树和芒果树各有多少棵？ 【答案】荔枝树有69棵；芒果树有115棵 【分析】这道题中有两个未知量，一个是荔枝树的棵数，一个是芒果树的棵数，将单位“1”芒果树的棵数设为，则荔枝树的棵数为60%，题目中的等量关系为：荔枝树的棵数＋芒果树的棵数＝总棵数。据此列出方程并求解。解出的代表的是芒果树的棵数，最后根据“荔枝树的棵数是芒果树的60%”，利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法”求出荔枝树的棵数。据此解答。 【详解】根据分析： 解：设芒果树有棵，则荔枝树有60%棵。 （棵） 答：荔枝树有69棵，芒果树有115棵。 变式训练：学校图书馆有科技书和故事书共750本，其中故事书是科技书的4倍，科技书和故事书各有多少本？（用方程解答） 【答案】150本；600本 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，设科技书有x本，则故事书有4x本，根据科技书本数＋故事书本数＝总本数，列出方程求出x的值是科技书本数，科技书本数×4＝故事书本数。 【详解】解：设科技书有x本。 x＋4x＝750 5x＝750 5x÷5＝750÷5 x＝150 150×4＝600（本） 答：科技书和故事书各有150本、600本。 类型9 列方程解稍复杂的实际问题： 典型例题9：幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每人分4个，那么就多出10个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果。一共有几个小朋友？苹果共有几个？（列方程解决问题） 【答案】小朋友11个；苹果54个 【分析】根据题意，设一共有x个小朋友；如果每人分4个，那么就多出10个苹果，则一共有（4x＋10）个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果，则一共有6（x－2）个苹果；因为苹果的数量不变，据此列出方程并求解，即求出小朋友的人数，进而求出苹果的总数。 【详解】解：设一共有x个小朋友。 4x＋10＝6（x－2） 4x＋10＝6x－12 6x－4x＝10＋12          2x＝22 x＝22÷2       x＝11                  苹果有： 4×11＋10 ＝44＋10 ＝54（个） 答：一共有11个小朋友，苹果有54个。 变式训练：阳光小学六年级女生人数与男生人数的比是7∶8，王老师从女生中选出20人，又选出男生人数的25%参加文体活动，这时男、女生剩下的人数正好相等，六年级有男生多少人？ 【答案】160人 【分析】根据比的意义，可假设六年级女生人数为7x人，男生人数为8x人；根据题意可知，六年级女生人数－20人＝六年级男生的人数×（1－25%），据此解出方程，进而求出六年级男生人数。 【详解】解：设六年级女生人数为7x人，男生人数为8x人。 7x－20＝8x×（1－25%） 7x－20＝8x×0.75 7x－20＝6x 7x－20＋20＝6x＋20 7x＝6x＋20 7x－6x＝6x＋20－6x x＝20 8×20＝160（人） 答：六年级有男生160人。 【点睛】根据比的意义设未知数，找到对应的数量关系式列方程是解答本题的关键。 A夯实基础 1．林光今年a岁，黄辉今年（a－8）岁，再过n年后，他们的年龄差（    ）岁。 A．8 B．a＋8 C．n D．n＋8 【答案】A 【分析】由题意可知，无论再过多少年林光和黄辉的年龄差都不变，那么求出今年林光和黄辉的年龄差就是n年后他们的年龄差，据此解答。 【详解】a－（a－8） ＝a－a＋8 ＝8（岁） 所以，再过n年后，他们的年龄差8岁。 故答案为：A 2．一列动车平均每小时行驶280千米，它2小时行驶的路程比特快列车3小时行驶的路程还多80千米。假设特快列车平均每小时行驶x千米，则下列方程错误的是（    ）。 A．280×2－3x＝80 B．3x－80＝280×2 C．3x＝280×2－80 D．3x＋80＝280×2 【答案】B 【分析】由题意可知，一列动车2小时行驶的路程比特快列车3小时行驶的路程还多80千米，则动车2小时行驶的路程－特快列车3小时行驶的路程＝80千米，那么特快列车3小时行驶的路程＝动车2小时行驶的路程－80千米，特快列车3小时行驶的路程＋80千米＝动车2小时行驶的路程，据此解答。 【详解】A．由等量关系式“动车2小时行驶的路程－特快列车3小时行驶的路程＝80千米”可知，方程280×2－3x＝80正确； B．由等量关系式“特快列车3小时行驶的路程＋80千米＝动车2小时行驶的路程”可知，方程3x－80＝280×2错误； C．由等量关系式“特快列车3小时行驶的路程＝动车2小时行驶的路程－80千米”可知，方程3x＝280×2－80正确； D．由等量关系式“特快列车3小时行驶的路程＋80千米＝动车2小时行驶的路程”可知，方程3x＋80＝280×2正确。 故答案为：B 3．妈妈去商场购物遇上打折促销活动，她买了一件上衣，降价85元后是x元，这件商品的原价是（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这件商品降价85元后是x元，也就是现价是x元，要求这件商品的原价，用现价加上85元即可。 【详解】原价＝85＋x，因此这件商品的原价是（85＋x）元。 故答案为：A 4．一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，这个两位数是( )。 【答案】 【分析】解答这道题的关键是理解数的组成，即理解十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，再将其转化为含有字母的式子。题目中已知一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是。据此解答。 【详解】根据分析： 十位上的数字表示个十，即。 个位上的数字表示个一，即。 所以，这个两位数是。 5．今年妈妈岁，比聪聪大28岁，聪聪今年( )岁，再过年，妈妈比聪聪大( )岁。 【答案】 28 【分析】根据题意今年妈妈岁，比聪聪大28岁，即妈妈和聪聪的年龄差为28岁，则聪聪比妈妈小28岁，表示聪聪比小28岁，据此列式即可。还需明确：两个人的年龄差不会因为时间的推移而变化。所以年后，妈妈比聪聪大的岁数不变。 【详解】根据分析： 聪聪今年的年龄为： 年后，年龄差为28岁。 所以，今年妈妈岁，比聪聪大28岁，聪聪今年岁，再过年，妈妈比聪聪大28岁。 6．一个面包的价格是b元，一个小蛋糕的价格比它的3倍还多4元，则一个小蛋糕的价格可以表示为( )元；当b＝8时，一个小蛋糕的价格是( )元。 【答案】 3b＋4 28 【分析】已知面包价格是b元，小蛋糕价格是面包的3倍还多4元，求一个数的几倍是多少，用乘法计算，则面包价格的3倍为3×b＝3b，还多4元，再加上4元，所以小蛋糕价格表示为（3b＋4）元。 将b＝8代入（3b＋4）中求出结果即可。 【详解】3×b＋4＝（3b＋4）元 当b＝8时， 3b＋4 ＝3×8＋4 ＝24＋4 ＝28（元） 因此，一个小蛋糕的价格可以表示为（3b＋4）元；当b＝8时，一个小蛋糕的价格是28元。 B培优拔高 7．明代范钦所建天一阁是我国古代著名藏书楼。初藏古籍时，将书卷分置上、下两匮（古代藏书的器具），两匮共藏古籍540卷，上匮所藏卷数是下匮的2.6倍，上、下两匮各藏古籍多少卷？（列方程解答） 【答案】上匮藏古籍390卷，下匮藏古籍150卷。 【分析】设下匮所藏卷数是x卷，则上匮所藏卷数是2.6x卷，根据“上匮所藏卷数＋下匮所藏卷数＝古籍540卷”列方程解答。 【详解】解：设下匮所藏卷数是x卷，则上匮所藏卷数是2.6x卷。 2.6x＋x＝540 （2.6＋1）x＝540 3.6x＝540 3.6x÷3.6＝540÷3.6 x＝150 2.6x＝2.6×150＝390（卷） 答：上匮藏古籍390卷，下匮藏古籍150卷。 8．学校读书节活动筹备期间，采购了一批深受同学们喜爱的新图书。其中科技书和故事书的总数是630本，且科技书的本数恰好是故事书的2.5倍。负责整理图书的同学需要将这两类书分别摆放到对应书架上，你能算出科技书和故事书各有多少本吗？（列方程解答） 【答案】 科技书有450本，故事书有180本。 【分析】由题意知，科技书的本数是故事书的2.5倍，可以设故事书有x本，则科技书的本数是2.5x本。科技书的本数＋故事书的本数＝630本，据此列出方程求出结果即可。 【详解】根据分析得出： 解：设故事书有x本。 x＋2.5x＝630 3.5x＝630 3.5x÷3.5＝630÷3.5 x＝180 180×2.5＝450（本） 答：科技书有450本，故事书有180本。 9．陈老师和刘老师带学生去参加科技比赛。两位老师分别开甲、乙两车同时从A地开往B地。3小时后，甲车落后乙车25.5千米。甲车平均每小时行64千米，乙车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】72.5千米 【分析】根据题意，设乙车平均每小时行x千米，根据乙车的速度×时间甲车的速度×时间＝乙车比甲车多行的路程，列方程解答。 【详解】设乙车平均每小时行x千米。 3x64×3＝25.5 3x192＝25.5 3x＝25.5＋192 3x＝217.5 x＝217.5÷3 x＝72.5 答：乙车平均每小时行72.5千米。 10．国华小学重阳节开展“敬老爱老”活动，五年级有180人参加活动，比四年级参加活动人数的2倍多20人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【答案】80人 【分析】设四年级参加活动的有x人。五年级参加活动的人数是四年级参加活动人数的2倍多20人，即四年级参加活动的人数×2＋20人＝五年级参加活动的人数，列方程：2x＋20＝180，解方程，即可解答。 【详解】解：设四年级参加活动的有x人。 2x＋20＝180 2x＋20－20＝180－20 2x＝160 2x÷2＝160÷2 x＝80 答：四年级参加活动的有80人。 11．甲、乙两艘轮船同时从相距150千米的两个码头相对开出，甲轮船的速度是乙轮船的1.5倍，3小时后两艘轮船相遇。甲、乙两艘轮船的速度各是多少？（用方程解答） 【答案】甲船30千米/时，乙船20千米/时 【分析】设乙轮船的速度为x千米/时。因为甲轮船的速度是乙的1.5倍，所以甲轮船的速度为1.5x千米/时。相遇时间是3小时，总路程是150千米，根据等量关系：（甲船速度＋乙船速度）×相遇时间＝总路程，可列方程为：（1.5x＋x）×3＝150，然后根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设乙船速度为x千米/时，甲船为1.5x千米/时。 （1.5x＋x）×3＝150 2.5x×3＝150 7.5x＝150 7.5x÷7.5＝150÷7.5 x＝20 1.5×20＝30（千米/时） 答：甲船的速度是30千米/时，乙船速度是20千米/时。 C思维拓展 12．“嫦娥五号”月球探测器是我国目前发射的最重的探测器，其质量为8.2吨，比“嫦娥四号”探测器的2倍还重0.64吨。“嫦娥四号”探测器有多重？（列方程解决） 【答案】3.78吨 【分析】分析题目，设“嫦娥四号”探测器是x吨，根据求一个数的几倍是多少，用这个数×倍数，即等量关系：“嫦娥四号”探测器的质量×2＋0.64＝“嫦娥五号”月球探测器的质量，据此列出方程：2x＋0.64＝8.2，再进一步解出方程即可。 【详解】解：设“嫦娥四号”探测器是x吨。 2x＋0.64＝8.2 2x＋0.64－0.64＝8.2－0.64 2x＝7.56 2x÷2＝7.56÷2 x＝3.78 答：“嫦娥四号”探测器是3.78吨。 13．果园里的苹果树的棵数是梨树的4倍，如果再栽90棵梨树，两种树的棵数就同样多了，果园里原来有苹果树和梨树数各多少棵？（列方程解答） 【答案】 苹果树120棵；梨树30棵 【分析】设梨树的棵数为棵，苹果树的棵数是梨树的4倍，则苹果树的棵数为棵；如果再栽90棵梨树，两种树的棵数就同样多了，则用梨树的棵数棵加上90棵即为苹果树的棵数棵，由此即可列方程并解出两种果树的棵数。 【详解】解：设梨树的棵数为棵，苹果树的棵数为棵。 （棵） 答：苹果树为120棵，梨树为30棵。 14．一条公路长720米，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队的施工速度是乙队的1.5倍，6天后这条公路全部铺完，甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？（列方程解答） 【答案】甲队每天铺柏油路72米，乙队每天铺柏油路48米 【分析】设乙队每天铺柏油路米，甲队的施工速度是乙队的1.5倍，则甲队每天铺柏油路米，将两个队每天铺柏油路的米数求和再乘工作天数6天，就等于公路的长度720米，由此即可列方程并解方程。 【详解】解：设乙队每天铺柏油路米，甲队每天铺柏油路米。 （米） 答：甲队每天铺柏油路72米，乙队每天铺柏油路48米。 15．甲乙两辆车分别从相距320千米的两地同时相向开出，经过2小时相遇。甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解答） 【答案】75千米 【分析】根据速度和×相遇时间＝总路程。设乙车每小时行驶x千米，利用等量关系式：（甲车每小时行驶的路程＋乙车每小时行驶的路程）×相遇时间＝总路程，列出方程（85＋x）×2＝320，利用等式的性质求解即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 （85＋x）×2＝320 （85＋x）×2÷2＝320÷2 85＋x＝160 85＋x－85＝160－85 x＝75 答：乙车每小时行驶75千米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 简易方程 1.方程的意义： ----认识方程的含义，理解含有未知数的等式是方程，建立方程的概念认知 2.等式的性质： ----掌握等式两边同时加、减、乘、除同一个数（0除外）等式仍然成立的性质 3.解方程： ----学会利用等式的性质解一步、两步简易方程，能准确求出未知数的值 4.列方程解决实际问题： ----掌握“找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验”的解题步骤，能解决常见实际问题 5.稍复杂的简易方程应用： ----学会分析含多个未知数的实际问题，通过设关键未知数表示相关量，列方程求解 类型1 等式的认识及列等量关系式解决问题： 典型例题1：某汽车厂今年生产汽车62万辆，比去年产量的1.5倍多17万辆，去年生产汽车多少万辆？（先写出等量关系式，再列方程解答。） 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法计算，先用去年的产量乘1.5计算出去年产量的1.5倍是多少，再加上17万辆，可以计算出今年汽车产量；将去年生产汽车的产量设为x万辆，列出方程：1.5x＋17＝62，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 变式训练：暑假是旅游高峰期，小明回到酒店，看到一个旅行团正在办理入住手续。其中，男游客有84人，比女游客的5倍还多14人，旅行团中女游客有多少人？（先写等量关系式，再列方程解答。） 等量关系式： 类型2 应用等式的性质1解方程解决问题： 典型例题2：一台电风扇原价130元，现在便宜16元，现在售价是多少元？（先根据题意画出线段图，再解答） 【分析】用现在售价＋便宜的钱数＝电风扇原价，据此画图；设现在售价是x元，现在便宜16元，即现在售价＋便宜的钱数＝电风扇原价，列方程：x＋16＝130，解方程，即可解答。 变式训练：地球表面的海洋面积大约是3.62亿平方千米，比陆地面积多2.13亿平方千米。陆地面积大约是多少亿平方千米？（列方程解答） 类型3 应用等式的性质1解方程解决问题： 典型例题3：小红买了2支钢笔和5支圆珠笔，共付54元，一支钢笔的价格是一支圆珠笔的20倍，每支圆珠笔多少钱？（用方程解） 【分析】设每支圆珠笔x元钱，则每支钢笔20x元钱，根据钢笔单价×数量＋圆珠笔单价×数量＝共付钱数，列出方程解答即可。 变式训练：妈妈在服装店买了一件上衣和一条裤子，共花了360元，裤子的价格比上衣便宜了20%，那么上衣和裤子各多少元？ 类型4 应用等式的性质1和2解方程解决问题： 典型例题4：石嘴山市纺织厂乙车间的人数是甲车间的1.5倍，给甲车间新招40人后，这时两车间人数正好相等，甲车间原有多少人？（用方程解答） 【分析】根据“乙车间的人数是甲车间的1.5倍”，可以设甲车间原有人，则乙车间原有1.5人； 根据“给甲车间新招40人后，这时两车间人数正好相等”可得出等量关系：乙车间原有人数＝甲车间原有人数＋40，据此列出方程，并求解。 变式训练：光明小学五、六年级学生参加植树活动。参加活动的共有460人，其中六年级比五年级参加人数的2倍少80人，五年级参加植树活动的学生有多少人？（列方程解答） 类型5 解含括号的方程解决问题： 典型例题5：王强家买来5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升。每个大瓶中的果汁比每个小瓶中的果汁多200毫升，每个小瓶中装有多少毫升果汁？ 【分析】设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升，5大瓶装果汁5×（200＋x）毫升，9小瓶装果汁9x毫升，根据5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升列方程解答即可。 变式训练：爸爸买了2个茶壶和6个茶杯，一共花了156元，一个茶壶比一个茶杯贵50元。一个茶壶多少元？一个茶杯多少元？ 类型6 方程的检验解决问题： 典型例题6：一个自然保护区里天鹅的只数是丹顶鹤的2.2倍，比丹顶鹤多360只。天鹅和丹顶鹤各有多少只？（列方程解答并写出检验过程） 【分析】根据题意可知，丹顶鹤的只数×2.2＝天鹅的只数，天鹅的只数－丹顶鹤的只数＝360只，据此设丹顶鹤有x只，列方程为2.2x－x＝360，然后解出方程即可，再把x的值代入方程检验即可。 变式训练：今年4月1日，玉泉山樱花节绚丽开幕，这里是华北地区最大的樱花园，拥有多达70余个品种25万株樱花。每年都会吸引大量游客前来拍照打卡，尽享锦锈太原的繁花似锦之美。在一片山谷中有关山樱和太白樱共156棵，其中关山樱的数量是太白樱的3倍。关山樱和太白樱各有多少棵？（列方程解答并检验结果是否正确） 类型7 列方程解含一个未知数的问题： 典型例题7：小亚带50元钱去商店，买了4包薯片，找回的钱正好可以买5瓶单价为4.8元/瓶的橙汁。小亚买的薯片的单价是多少元/包？（用方程解） 【分析】小亚带了50元，买了4包薯片，找回的钱刚好能买5瓶单价4.8元/瓶的橙汁。设薯片的单价为x元/包，根据“总价＝单价×数量”得到4包薯片的总价就是4x元；5瓶橙汁，每瓶4.8元，总价为（4.8×5）元。根据数量关系“买薯片花的钱＋买橙汁花的钱＝小亚带的总钱数”，可列方程为4x＋4.8×5＝50，计算得4x＋24＝50，根据等式的性质，方程两边同时减去24，再同时除以4求出x的值即可解答。 变式训练：甲、乙两艘轮船同时从A地出发开往B地。经过15小时后，甲船落后乙船52.5千米。甲船每小时行31.4千米，乙船每小时行驶多少千米？ 类型8 列方程解含两个未知数的问题： 典型例题8：果园里荔枝树的棵数是芒果树的60%，荔枝树和芒果树一共有184棵，荔枝树和芒果树各有多少棵？ 【分析】这道题中有两个未知量，一个是荔枝树的棵数，一个是芒果树的棵数，将单位“1”芒果树的棵数设为，则荔枝树的棵数为60%，题目中的等量关系为：荔枝树的棵数＋芒果树的棵数＝总棵数。据此列出方程并求解。解出的代表的是芒果树的棵数，最后根据“荔枝树的棵数是芒果树的60%”，利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法”求出荔枝树的棵数。据此解答。 变式训练：学校图书馆有科技书和故事书共750本，其中故事书是科技书的4倍，科技书和故事书各有多少本？（用方程解答） 类型9 列方程解稍复杂的实际问题： 典型例题9：幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每人分4个，那么就多出10个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果。一共有几个小朋友？苹果共有几个？（列方程解决问题） 【分析】根据题意，设一共有x个小朋友；如果每人分4个，那么就多出10个苹果，则一共有（4x＋10）个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果，则一共有6（x－2）个苹果；因为苹果的数量不变，据此列出方程并求解，即求出小朋友的人数，进而求出苹果的总数。 变式训练：阳光小学六年级女生人数与男生人数的比是7∶8，王老师从女生中选出20人，又选出男生人数的25%参加文体活动，这时男、女生剩下的人数正好相等，六年级有男生多少人？ A夯实基础 1．林光今年a岁，黄辉今年（a－8）岁，再过n年后，他们的年龄差（    ）岁。 A．8 B．a＋8 C．n D．n＋8 2．一列动车平均每小时行驶280千米，它2小时行驶的路程比特快列车3小时行驶的路程还多80千米。假设特快列车平均每小时行驶x千米，则下列方程错误的是（    ）。 A．280×2－3x＝80 B．3x－80＝280×2 C．3x＝280×2－80 D．3x＋80＝280×2 3．妈妈去商场购物遇上打折促销活动，她买了一件上衣，降价85元后是x元，这件商品的原价是（    ）元。 A． B． C． D． 4．一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，这个两位数是( )。 5．今年妈妈岁，比聪聪大28岁，聪聪今年( )岁，再过年，妈妈比聪聪大( )岁。 6．一个面包的价格是b元，一个小蛋糕的价格比它的3倍还多4元，则一个小蛋糕的价格可以表示为( )元；当b＝8时，一个小蛋糕的价格是( )元。 B培优拔高 7．明代范钦所建天一阁是我国古代著名藏书楼。初藏古籍时，将书卷分置上、下两匮（古代藏书的器具），两匮共藏古籍540卷，上匮所藏卷数是下匮的2.6倍，上、下两匮各藏古籍多少卷？（列方程解答） 8．学校读书节活动筹备期间，采购了一批深受同学们喜爱的新图书。其中科技书和故事书的总数是630本，且科技书的本数恰好是故事书的2.5倍。负责整理图书的同学需要将这两类书分别摆放到对应书架上，你能算出科技书和故事书各有多少本吗？（列方程解答） 9．陈老师和刘老师带学生去参加科技比赛。两位老师分别开甲、乙两车同时从A地开往B地。3小时后，甲车落后乙车25.5千米。甲车平均每小时行64千米，乙车平均每小时行多少千米？（列方程解答） 10．国华小学重阳节开展“敬老爱老”活动，五年级有180人参加活动，比四年级参加活动人数的2倍多20人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 11．甲、乙两艘轮船同时从相距150千米的两个码头相对开出，甲轮船的速度是乙轮船的1.5倍，3小时后两艘轮船相遇。甲、乙两艘轮船的速度各是多少？（用方程解答） C思维拓展 12．“嫦娥五号”月球探测器是我国目前发射的最重的探测器，其质量为8.2吨，比“嫦娥四号”探测器的2倍还重0.64吨。“嫦娥四号”探测器有多重？（列方程解决） 13．果园里的苹果树的棵数是梨树的4倍，如果再栽90棵梨树，两种树的棵数就同样多了，果园里原来有苹果树和梨树数各多少棵？（列方程解答） 14．一条公路长720米，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队的施工速度是乙队的1.5倍，6天后这条公路全部铺完，甲、乙两队每天分别铺柏油路多少米？（列方程解答） 15．甲乙两辆车分别从相距320千米的两地同时相向开出，经过2小时相遇。甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解答） 1 学科网（北京）股份有限公司 $