专题2.3 平行线（二）（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

本讲义聚焦平行线的判定与性质这一核心知识点，系统梳理从基础判定条件（如同位角相等、内错角相等）到综合应用（添加条件、旋转图形、作辅助线等）的递进脉络，构建从理解到应用的学习支架。 资料通过8大题型（含例题与变式）分层设计，结合台球反弹、潜望镜原理等生活实例，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），规范证明过程强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题2.3 平行线（二）（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 添加条件使两直线平行】 1 【题型2 直接证明两直线平行】 2 【题型3 平行线的判定的应用】 3 【题型4 旋转使两直线平行】 5 【题型5 作辅助线证平行】 6 【题型6 平行线的性质的应用】 7 【题型7 利用平行线的判定与性质导角】 8 【题型8 利用平行线的判定与性质证明】 9 【题型1 添加条件使两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 【变式1-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 【变式1-3】如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【题型2 直接证明两直线平行】 【例2】（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，，．求证： ． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，试说明． 【变式2-2】（24-25七年级下·新疆伊犁·阶段练习）如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【变式2-3】（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【题型3 平行线的判定的应用】 【例3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【变式3-1】光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． 【变式3-2】在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 旋转使两直线平行】 【例4】如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为 ． 【变式4-1】（2025·福建厦门·二模）如图，张师傅将两根木条和固定在点A处，在木条上点O处安装一根能旋转的木条．张师傅用量角仪测得，木条与的夹角，要使，木条绕点O至少旋转（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转度（），当的一边与的某一边平行时，相应的旋转角的值是 . 【变式4-3】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？ 【题型5 作辅助线证平行】 【例5】已知，平分，，，则 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将直尺与等腰直角三角尺叠放在一起，如果，那么的度数是多少？ 【变式5-2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线，且和分别交于两点，点在上．直线和分别交于，两点，连接． (1)探讨图中之间的关系，并说明理由； (2)当点在两点外侧运动时，请直接写出之间的关系，不需要说明理由（点和不重合）． 【题型6 平行线的性质的应用】 【例6】（2025九年级·湖南·学业考试）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从岛看A，C两岛的视角是多少度？从岛看两岛的视角呢？ 【题型7 利用平行线的判定与性质导角】 【例7】平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【变式7-1】如图，已知平分，于点E，，则 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【题型8 利用平行线的判定与性质证明】 【例8】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，平分，交于点E，，点F是延长线上一点，连接，交于点G，已知． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，则与垂直吗？请说明理由． 【变式8-1】（25-26八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，，连接交于点F，延长至点H，．求证：． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知B，E分别是，上的点，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？请说明理由． 【变式8-3】如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 平行线（二）（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 添加条件使两直线平行】 1 【题型2 直接证明两直线平行】 3 【题型3 平行线的判定的应用】 6 【题型4 旋转使两直线平行】 9 【题型5 作辅助线证平行】 13 【题型6 平行线的性质的应用】 18 【题型7 利用平行线的判定与性质导角】 21 【题型8 利用平行线的判定与性质证明】 25 【题型1 添加条件使两直线平行】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键. 【详解】解：当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（内错角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：或或或或 （答案不唯一）. 【变式1-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）（2）根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． （2）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤，⑥同位角相等，两直线平行． 【变式1-3】如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 【题型2 直接证明两直线平行】 【例2】（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定. 根据垂直的定义得到， 根据得到，由可知，即，根据同位角相等两直线平行作答即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 利用平行线的判定方法证出和，即可通过平行线的传递性解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级下·新疆伊犁·阶段练习）如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 即， ∵（已知）， ∴（等量代换）， 即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式2-3】（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【题型3 平行线的判定的应用】 【例3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【变式3-1】光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定． 【详解】解：平行，理由如下： 如图，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定． 【变式3-2】在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案． 【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出， 根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行， ∠5和∠2是内错角，如果度量出， 根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行， ∠3和∠2是同旁内角，如果度量出， 根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行， 所以答案为：A． 【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理． 【变式3-3】在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的； B、∵，，∴（同旁内角互补，两直线平行），说明，故该选项是正确的； C、∵，，且与是内错角，但不相等，∴不能说明，故该选项是错误的； D、∵，，且与是同旁内角，但不互补，∴不能说明，故该选项是错误的； 故选：B． 【题型4 旋转使两直线平行】 【例4】如图，在中，，，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转过程中，点B的对应点为，旋转角为，当时，旋转角为 ． 【答案】70或250/250或70 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的判定，三角形内角和定理．当时，或时，，画出图形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当时，分两种情况： 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：70或250． 【变式4-1】（2025·福建厦门·二模）如图，张师傅将两根木条和固定在点A处，在木条上点O处安装一根能旋转的木条．张师傅用量角仪测得，木条与的夹角，要使，木条绕点O至少旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题平行线的判定，根据平行线的判定方法，得到当时，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，当时，， ∴木条绕点O至少旋转； 故选B． 【变式4-2】一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转度（），当的一边与的某一边平行时，相应的旋转角的值是 . 【答案】，，，， 【分析】此题考查了旋转变换，平行线的性质，分种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：（）当时，如图， ∵， ∴， ∴； （）当 时，如图， 则； （）当时，如图， ∵， ∴， ∴； （）当时，如图， ∵， ∴， ∴； （）当时，如图，过点作， 则， ∴ ， ∴； 综上，旋转角的值是，，，，， 故答案为：，，，，． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定，角的动态定义，一元一次方程的应用，先求解，，再分两种情况：①当到达前，②当到达后，再画图解答即可． 【详解】解： ∵，， ∴，， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，先转动， 分两种情况： ①当到达前， ，， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； ②当到达后， ，，， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上，射线再转动或秒时，射线、射线互相平行． 故答案为：或． 【题型5 作辅助线证平行】 【例5】已知，平分，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将直尺与等腰直角三角尺叠放在一起，如果，那么的度数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），过点作，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：A． 【变式5-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线，且和分别交于两点，点在上．直线和分别交于，两点，连接． (1)探讨图中之间的关系，并说明理由； (2)当点在两点外侧运动时，请直接写出之间的关系，不需要说明理由（点和不重合）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据平行线的性质和角的和差运算即可求解； （2）分两种情况讨论：当点在的延长线上时、当点在的延长线上时，再进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ， ∴， ． （2）解：①当点在的延长线上时，如图所示．过点作，则， ， ， ， ， ． ②当点在的延长线上时，如图所示．过点作，则， ， ， ． ， ． 综上所述，或． 【题型6 平行线的性质的应用】 【例6】（2025九年级·湖南·学业考试）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【详解】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 【变式6-1】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【变式6-2】近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式6-3】如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从岛看A，C两岛的视角是多少度？从岛看两岛的视角呢？ 【答案】从岛看，两岛的视角，从岛看，两岛的视角是 【分析】本题考查了方位角，三角形内角和定理与平行线的性质，解题的关键是利用方向角和平行线性质求出三角形的两个内角，再结合内角和定理求解． 先根据方向角确定，，，再利用平行线的性质得出，接着分别计算，，最后根据三角形内角和求出． 【详解】解：由题意，C岛在A岛的北偏东，B岛在A岛的北偏东，C岛在B岛的北偏西， ∴，，，, ∴， ∴， ∵， ∴在中， 答：从岛看，两岛的视角，从岛看，两岛的视角是． 【题型7 利用平行线的判定与性质导角】 【例7】平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据平行线的性质和垂直的定义，结合角的和差关系求解．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：情况一： ∵， ∴． ∵， ∴． 情况二： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 故答案为：或． 【变式7-1】如图，已知平分，于点E，，则 ． 【答案】 【分析】直接利用平行线的判定得出，进而得出，利用角平分线的定义结合已知得出，即可得出答案． 此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键． 【详解】解：， ， ，， ， 平分， 又， ． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由题意得，，，结合可得，进而可判定，根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； 根据题意，先计算出，再得到，利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【题型8 利用平行线的判定与性质证明】 【例8】（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在四边形中，平分，交于点E，，点F是延长线上一点，连接，交于点G，已知． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，则与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平分得，进而得出，可证，结合题意得出平行线即可说明； （2）由（1）可知，得出，结合三角形的内角和即可推导出结果． 【详解】（1）与相等，原因如下， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与垂直． 【变式8-1】（25-26八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，，连接交于点F，延长至点H，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知），且（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换） 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知B，E分别是，上的点，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2)与相等，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答的关键是找同位角、内错角和同旁内角证明直线平行及直线平行性质的运用． （1）根据内错角相等，，从而判定，再根据两直线平行同位角相等即可得证； （2）根据两直线平行内错角相等，得到，从而根据内错角相等两直线平行，得到，再根据两直线平行内错角相等即可得证． 【详解】（1）解：与相等． 理由：， ， ． （2）与相等． 理由：由（1）知， ， ， ， ． 【变式8-3】如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定与性质； （1）根据，得到，即； （2）由得到，结合，，得到，即可证明； （3）由平分，得到，设，由，得到，代入后得，，由，得到，，则，整体代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $