专题2.2 平行线（一）（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

本讲义聚焦平行线核心知识，系统梳理同位角、内错角、同旁内角的识别，平行线的基本事实（过直线外一点有且只有一条直线平行，平行于同一直线的两直线平行），判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），性质（两直线平行时同位角、内错角相等，同旁内角互补）及综合运用，构建从概念到应用的递进学习支架。 资料以“知识点+题型”设计，例题与变式题融入风车、台球等生活情境，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过规范推理步骤（如证明题填空）培养推理意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题2.2 平行线（一）（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 1 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 4 【题型3 平行于同一条直线的两条直线平行】 6 【题型4 同位角相等，两直线平行】 8 【题型5 内错角相等，两直线平行】 11 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 14 【题型7 两直线平行，同位角相等】 18 【题型8 两直线平行，内错角相等】 20 【题型9 两直线平行，同旁内角互补】 23 【题型10 平行线的判定与性质的综合运用】 27 知识点1 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】如图，有下列判断：①和是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是邻补角．其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义，掌握其定义，数形结合分析是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是同位角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与不是内错角，不是同旁内角，也不是同位角，原判断错误； ④与是内错角，不是同位角，原判断错误； ⑤和是对顶角，不是邻补角，原判断错误； 综上分析可知：判断正确的是①②． 故答案为：①②． 【变式1-1】下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象．如图，光线从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线，下列说法不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与互为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角、同旁内角、对顶角、邻补角的定义，根据定义逐一分析选项： 【详解】A、光线、光线是两条被截直线，玻璃与空气的交界面是截线，与分别在截线两侧，且处于两条被截直线之间，符合内错角定义，所以与是内错角，该选项正确． B、这里光线、光线为被截直线，玻璃与空气交界面为截线，与在截线同侧，且在被截两直线之间，符合同旁内角定义，所以与是同旁内角，该选项正确． C、观察与，它们的两边并非互为反向延长线，不满足对顶角定义，所以与不是对顶角，该选项错误． D、与有公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，所以与互为邻补角，该选项正确． 故选C． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东阳江·期中）图是小明在某次篮球比赛灌篮时的照片，图是其示意图，则下列说法中：和是对顶角；和是同位角； 和是同旁内角； 和是内错角，错误的个数为（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，解决本题的关键是根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断，对顶角是两直线相交形成的有公共端点，没有公共边的两个角；同位角、内错角、同旁内角是两直线被第三直线所截形成的具有特殊位置关系的角． 【详解】解： 和是两直线相交形成的有公共端点，没有公共边的两个角， 和是对顶角， 故正确； 和是两直线被第三条直线所截形成的，均在被截直线的左侧，在截线的上方， 和是同位角， 故正确； 和不是两直线被第三条直线所截形成的， 和不是同旁内角， 故错误； 和不是两直线被第三条直线所截形成的， 和不是内错角， 故错误． 错误的个数为个． 故选：B． 知识点2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 【例2】如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，来解答即可． 【详解】解：当时，；时，． ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴N，P，M三点在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-2】在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【答案】在同一条直线上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 知识点3 平行于同一条直线的两条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行. 【题型3 平行于同一条直线的两条直线平行】 【例3】如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行线公理的推论：平行于同一条直线的两直线互相平行写出答案即可． 【详解】∵， ∴，即与的位置关系是平行． 故选：B． 【点睛】此题重点考查学生对平行线公理的推论的理解，熟练掌握平行线公理的推论是解题的关键． 【变式3-1】工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【变式3-2】如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下： ，， ． 【变式3-3】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么? 【答案】a与d平行,理由是平行具有传递性 【详解】本题主要考查了平行线．平行具有传递性 因为a∥b,b∥c, 所以a∥c 因为c∥d 所以a∥d 即平行具有传递性 知识点4 同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型4 同位角相等，两直线平行】 【例4】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，木条、与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据对顶角相等可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图，有 ， 当时，， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是理解“推平行线”过程中同位角的关系与两直线平行的联系． 观察图形，明确与为同位角；分析“推平行线”时与的关系（保持相等）；依据同位角相等，两直线平行的判定定理，得出该方法的依据． 【详解】解：“推平行线”法中，通过直尺和三角板的移动，使与保持相等，而与是同位角．根据平行线的判定定理，当同位角相等时，两条直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【变式4-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点在直线上，且，若，与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】题目主要考查同角的余角相等及平行线的判定，根据题意得出，确定，结合平行线的判定即可证明 【详解】解：平行；     理由：因为， 所以.     又因为， 所以，     所以 【变式4-3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 知识点5 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【题型5 内错角相等，两直线平行】 【例5】已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 【变式5-1】（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【变式5-2】如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，作垂线，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，则即为所求； （2）根据角平分线的定义以及平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由垂直的定义得，即得，进而得到，即可求解； （）利用余角性质可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（）知：， ∵， ∴， ∴． 知识点6 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 【例6】（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等．根据对顶角相等得出，，，，根据同旁内角互补，两直线平行逐个分析，即可得出与不是平行线、、与不是平行线，根据平行线的性质得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出与不是平行线，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵直线与直线，相交，直线与直线，相交， ∴，，，， ∵， ∴与不是平行线；即A选项错误； ∵， ∴；即D选项正确； ∴， ∵， ∴与不是平行线；即B选项错误； ∵， ∴与不是平行线；即C选项错误； 故选：D． 【变式6-1】如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”进行填空． 【详解】当时， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式6-2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 已知：如图，，若， 求证： 证明： ___________（垂直的定义） 又 ______________________ ___________（___________） ___________ ___________ ______________________ （___________） 【答案】；；；；同角的余角相等；；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直的定义得，，整理得，因为，所以，故，运用同旁内角互补，两条直线平行得，即可作答． 【详解】证明：， （垂直的定义）， 又， ， （同角的余角相等）， ， ， ， ， （同旁内角互补，两条直线平行）． 【变式6-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 知识点7 两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型7 两直线平行，同位角相等】 【例7】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【答案】， 【分析】本题主要考查平行线的性质，由，推出，再根据，推出的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可推出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线及垂线的性质；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 知识点8 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【题型8 两直线平行，内错角相等】 【例8】如图，已知，与互为余角，， 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的定义，平行线的性质，掌握余角的定义是解题的关键．由与互为余角，可求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：与互为余角，， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知：如图，是的平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 直接利用平行线的性质得出，再利用角平分线的定义得出，然后等量代换得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，，从而得证； （2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明： ，， ，， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 知识点9 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型9 两直线平行，同旁内角互补】 【例9】如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 【变式9-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：B． 【变式9-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【答案】与互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．由得，结合角平分线的定义可证，从而，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得结论．． 【详解】解：与互补，理由如下： ， ，   平分， ， 同理，， ， ， ． 【变式9-3】完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（               ），     又∵（已知）， ∴（               ）， ∵（已知）， ∴___________（               ）， 又∵平分（已知）， ∴_____________（               ）， 又∵平分（               ）， ∴（  ）∠____________（               ）， ∴（________+_______）， ∴_______， ∴（               ）， 即． 【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；已知；；；角平分线的定义；；；；等量代换 【分析】本题考查了平行线的性质．首先由平行线的性质得出，，，再由平分，平分得出，然后通过等量代换证出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴（等量代换）， 即． 【题型10 平行线的判定与性质的综合运用】 【例10】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【变式10-1】平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据平行线的性质和垂直的定义，结合角的和差关系求解．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：情况一： ∵， ∴． ∵， ∴． 情况二： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 故答案为：或． 【变式10-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点．根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故正确的有：①②④． 故选：C． 【变式10-3】已知点在内部，为射线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，． ①求的度数； ②过点作，则___________； (2)如图2，点在线段的延长线上，过点作，请问与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，点在线段上，延长到点，与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②或 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理以及分类讨论思想是解决问题的关键． （1）①先由平行线的判定定理可得，再由平行线的性质可得与，由此可求； ②分两种情况进行讨论，即当射线与射线的方向相同时，与射线与射线的方向相同时，两种情况进行讨论即可求解． （2）添加辅助线构造平行线，分两种情况进行讨论，即当射线与射线的方向相同时，与当射线与射线的方向相同时，两种情况进行讨论，由此可解； （3）添加辅助线构造平行，根据角平分线定义可设，，再根据平行线的性质可得，，，由此可得数量关系． 【详解】（1）①过点作，如图1所示： ， ， ， ， 又，， ，， ； ②过点作，有以下两种情况： （ⅰ）当射线与射线的方向相同时，过点作交于， 如图1①所示： 由①可知：，， ， ， ， ； （ⅱ）当射线与射线的方向相同时，过点作交的延长线于， 如图1②所示： 由②（ⅰ）可知：， ， 综上所述：或， 故答案为：或． （2）解：与的数量关系是：或，理由如下： 过点作，有以下两种情况： （ⅰ）当射线与射线的方向相同时，设于交于点， 如图2①所示： ， ， ， ， ， ； （ⅱ）当射线与射线的方向相同时，设与交于点， 如图2②所示： ， ， ， ， ， ， 综上所述：与的数量关系是：或； （3）解：与的数量关系是：，理由如下： 延长交于，过点作交于，如图所示： 平分，平分， 设，， 则，，， ，， ， ， 又， ， ，，， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 平行线（一）（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 1 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 3 【题型3 平行于同一条直线的两条直线平行】 4 【题型4 同位角相等，两直线平行】 5 【题型5 内错角相等，两直线平行】 6 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 7 【题型7 两直线平行，同位角相等】 9 【题型8 两直线平行，内错角相等】 10 【题型9 两直线平行，同旁内角互补】 11 【题型10 平行线的判定与性质的综合运用】 13 知识点1 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】如图，有下列判断：①和是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是邻补角．其中正确的是 ． 【变式1-1】下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式1-2】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象．如图，光线从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线，下列说法不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与互为邻补角 【变式1-3】（24-25七年级下·广东阳江·期中）图是小明在某次篮球比赛灌篮时的照片，图是其示意图，则下列说法中：和是对顶角；和是同位角； 和是同旁内角； 和是内错角，错误的个数为（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 【例2】如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 【变式2-2】在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 知识点3 平行于同一条直线的两条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行. 【题型3 平行于同一条直线的两条直线平行】 【例3】如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【变式3-1】工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【变式3-2】如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【变式3-3】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么? 知识点4 同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型4 同位角相等，两直线平行】 【例4】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，木条、与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 【变式4-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点在直线上，且，若，与平行吗？为什么？ 【变式4-3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 知识点5 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【题型5 内错角相等，两直线平行】 【例5】已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【变式5-1】（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是 ． 【变式5-2】如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【变式5-3】如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 知识点6 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 【例6】（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，，当 度时，． 【变式6-2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 已知：如图，，若， 求证： 证明： ___________（垂直的定义） 又 ______________________ ___________（___________） ___________ ___________ ______________________ （___________） 【变式6-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 知识点7 两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型7 两直线平行，同位角相等】 【例7】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【变式7-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 知识点8 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【题型8 两直线平行，内错角相等】 【例8】如图，已知，与互为余角，， 度． 【变式8-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知：如图，是的平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点．求证：． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 知识点9 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型9 两直线平行，同旁内角互补】 【例9】如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【变式9-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【变式9-3】完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（               ），     又∵（已知）， ∴（               ）， ∵（已知）， ∴___________（               ）， 又∵平分（已知）， ∴_____________（               ）， 又∵平分（               ）， ∴（  ）∠____________（               ）， ∴（________+_______）， ∴_______， ∴（               ）， 即． 【题型10 平行线的判定与性质的综合运用】 【例10】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【变式10-1】平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式10-3】已知点在内部，为射线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，． ①求的度数； ②过点作，则___________； (2)如图2，点在线段的延长线上，过点作，请问与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，点在线段上，延长到点，与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $