精品解析：上海市松江区2025－2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025学年第一学期八年级数学学科期终质量监测试卷 （满分100分，答题时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分共18分） 1. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的识别，同类二次根式需化简后根号内被开方数相同，分别化简各选项二次根式即可判断． 【详解】解：对于A∶ ∵，被开方数为3，与的被开方数2不同，∴不是同类二次根式． 对于B∶∵，被开方数为2，与的被开方数相同，∴是同类二次根式． 对于C∶∵，化简后不再是二次根式，是二次根式，∴不是同类二次根式． 对于D∶∵和的被开方数分别为和，被开方数不同，∴不是同类二次根式． 故选B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 只有正数才有平方根 B. 的立方根是 C. 是的一个平方根 D. 的算术平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项． 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是关键．一元二次方程需同时满足一个未知数，最高次数2，且是整式方程三个条件． 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，当时，不是二次方程，所以选项A不符合题意； 对于B，因为方程只含一个未知数x，且最高次数为2，是整式方程，所以是一元二次方程，即选项B符合题意； 对于C，将方程化简后得，是一元一次方程，所以选项C不符合题意； 对于D，因为方程中含有两个未知数x和y，且不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，所以选项D不符合题意． 故选：B． 4. 已知光在真空中的传播速度约是，太阳光从太阳表面照射到地球上大约需要，则地球到太阳的距离大约为（ ）．（结果用科学记数法表示） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，单位的换算． 根据距离=速度×时间，计算光传播的距离，然后进行单位换算（米到公里），并用科学记数法表示． 【详解】解：∵速度，时间， ∴距离， ∵， ∴． 故选：A． 5. 已知，，则化简求的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到，进一步通分得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 6. 如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则，根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； 对于B，根据直角三角形的两锐角互余，可逐步证明，即可根据等腰三角形的判定证明结论； 对于C，根据含角的直角三角形的性质，可得，所以，即得，即可判断； 对于D，设，根据勾股定理可逐步求得，即可证明结论． 【详解】解：对于A，设两把直尺的交点为P，过点P作于点E，于点F， 则， 平分， 即是的角平分线， 故选项A正确，不符合题意； 对于B， ，， ， 平分， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 对于C， ，， ， ， ， ， 故选项C错误，符合题意； 对于D， 设，则， ， ， ， ， ， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，等腰三角形的判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分共24分） 7. 若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得， 解得 故答案为： 8. 的一个有理化因式是______. 【答案】（合理即可） 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义，直接写出即可． 【详解】解：∵ ∴的一个有理化因式是（合理即可）. 【点睛】本题考查了有理化因式的定义．一般来说 的有理化因式为：或． 9. 已知，则_________． 【答案】1.01 【解析】 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：， ； 故答案为：1.01． 【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 10. 实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的化简，求一个数的立方根． 根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 11. 在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用公式法求出方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：∵方程中的，，， ∴方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∴方程的解为， 即，， ． 12. 我们知道，有理数是能够写成分数（是整数，）的数，将化成分数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将纯循环小数化为分数，熟练掌握循环小数化为分数的方法是解题的关键．通过设循环小数为未知数，利用方程求解，将循环部分消除后得到分数． 【详解】解：设，则， 由于循环节有两位，将方程两边乘以，得， 然后减去原方程，得，即 ， ∴，约分得， 故答案为：． 13. 写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，设方程为，代入已知根求解的值． 【详解】解：设一元二次方程为， 将根代入方程， 得，即， 整理得， 解得 ， 故方程为． 故答案为：． 14. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算和解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的混合运算和解不等式的步骤是关键． 通过移项和合并同类项，将不等式变形为，然后根据不等式的性质（除以正数不等号方向不变）求解，并有理化分母 【详解】解：， 移项得， 即， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 15. 已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为______． 【答案】或 【解析】 【详解】解：设第三边长为． ①当和都是直角边，第三边是斜边， 由勾股定理得：，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：，解得（负值舍去）； 综上，第三边长为或． 16. 如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据高线的定义得到，即，根据求出，即，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，D为上一动点，将沿着折叠，点C落到处．当时，______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，设于点，用勾股定理和等积法求出，由折叠可知，，设，得到，，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：设于点，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知，， 设， ∴， ∵， ∴, 解得， 故答案为：2 三、简答题（本大题共3题，每题5分，满分共15分） 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．先分别计算式子中的立方根、二次根式、分母有理化和平方项，再去括号，最后将有理数部分和含的根式部分分别合并，得出最终结果． 【详解】解：原式 ． 20. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键．先将除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解分式方程的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 四、解答题（本大题共7题，第22、23、24、25每题5分，第26题6分，第27题8分，第28题9分，满分共43分） 22. 按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． （1）小华的解法是错误的，原因是____________ （2）小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【答案】（1）可能为0 （2） 小海的解法是错误的，正确的过程如下： 整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）根据除数为零无意义进行解答即可； （2）判断后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 【小问2详解】 略 23. 已知关于的方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值及此方程的两根． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据“有两个实数根”可知，进而求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据得到，将，代入得到，求出，此时，根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 24. 如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． （1）由图①可知，则______，______． （2）请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【答案】（1）， （2） 就是所求作的图形；， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ． 25. 新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该店每辆车的下调价格x万元，则降价后每辆车的利润为万元，销量为辆，即可列方程求解． 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 26. 如图，在和中，，E是中点，，， （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：，E是中点 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 同理 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边对等角，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可； （2）先求出，则由等边对等角和三角形外角的性质得到，，则可证明，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：E是中点，且， （等边对等角）， ， 同理， ，即， ， ． 27. 中，，平分，垂足为点E．连接，交于点F． （1）证明． （2）求的周长； （3）求的面积． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）12 （3）9 【解析】 【分析】（1）利用条件证明，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论； （2）由勾股定理可求得的长，再利用（1）的结论可求得，且，可求得的周长； （3）根据勾股定理求出，再利用面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的周长为12； 【小问3详解】 解：由（2）知， 在中，， 又， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式，正确理解题意、灵活运用相关的性质和定理是解题的关键． 28. 综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】 （1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2）证明： 即 连接，设 ，， ， 即； （3）480米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键． （1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可； （2）根据和计算来证明即可； （3）过点A作于点D，过点C作于点H，先根据勾股定理求出米，再根据求解即可． 【详解】证明：（1）略 （2）略 （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学学科期终质量监测试卷 （满分100分，答题时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分共18分） 1. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列说法正确的是（ ） A. 只有正数才有平方根 B. 的立方根是 C. 是的一个平方根 D. 的算术平方根是 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知光在真空中的传播速度约是，太阳光从太阳表面照射到地球上大约需要，则地球到太阳的距离大约为（ ）．（结果用科学记数法表示） A. B. C. D. 5. 已知，，则化简求的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，在中，，，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，另一把紧贴着边并且与第一把直尺相交于一点，过点B和两把直尺的交点作射线，交于点D，则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分共24分） 7. 若有意义，则x的取值范围是_________． 8. 的一个有理化因式是______. 9. 已知，则_________． 10. 实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 11. 在实数范围内因式分解：______． 12. 我们知道，有理数是能够写成分数（是整数，）的数，将化成分数是______． 13. 写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 14. 不等式的解集为______． 15. 已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为______． 16. 如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______． 17. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 18. 如图，在中，，，，D为上一动点，将沿着折叠，点C落到处．当时，______． 三、简答题（本大题共3题，每题5分，满分共15分） 19. 计算：； 20. 计算：； 21. 解方程：. 四、解答题（本大题共7题，第22、23、24、25每题5分，第26题6分，第27题8分，第28题9分，满分共43分） 22. 按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． （1）小华的解法是错误的，原因是____________ （2）小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 23. 已知关于的方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，求的值及此方程的两根． 24. 如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． （1）由图①可知，则______，______． （2）请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 25. 新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 26. 如图，在和中，，E是中点，，， （1）求证：； （2）求线段的长． 27. 中，，平分，垂足为点E．连接，交于点F． （1）证明． （2）求的周长； （3）求的面积． 28. 综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $