精品解析：湖南省张家界市永顺县 2025-2026学年九年级数学上学期期末试题

2025年秋季期末质量监测九年级数学学科试题卷 温馨提示：亲爱的同学，相信自己，沉着应考，细心作答！ 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道大题，24个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形内接于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 抛物线y=x2可以由抛物线y=（x+2）2﹣3平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 8. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应的位置上） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是_________． 12. 如图，是外一点，过引的切线、，若，则________度． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 14. 如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为_____． 15. 参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____． 16. 如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点B经过的路径长（结果保留）． 19. 已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 20. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 21. 为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，按元千克销售，每天可售出千克．经过市场调查发现：每千克涨元，每天销售量就减少千克．设售价为元千克，每天销售量为千克，每天销售利润为元． （1）分别求出与，与的函数解析式 （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克元，该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元 22. 如图，为O的直径，C为上一点，与过C点的直线互相垂直，垂足为D，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末质量监测九年级数学学科试题卷 温馨提示：亲爱的同学，相信自己，沉着应考，细心作答！ 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道大题，24个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 2. 下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定事件的定义，掌握确定事件是指必然事件和不可能事件的总称，是解题的关键．根据确定事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：同位角相等只有在两直线平行时成立，否则不一定，是随机事件，不是确定事件； 标准大气压下，水在零下会结冰，是必然事件，是确定事件； 三角形内角和恒为，不是，是不可能事件，是确定事件； 电影票座号可能是偶数或奇数，是随机事件，不是确定事件； 一个月最多天，在同一个月出生的个人中至少两人生日相同，是必然事件，是确定事件； 三条线段需满足三角形三边关系才能组成三角形，是随机事件，不是确定事件． 确定事件有，共个． 故选：C． 3. 若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和，正多边形和圆的综合．熟练掌握正多边形的外角和，正多边形的中心角是解题的关键． 根据外角可得这个多边形为六边形，进而可求正多边形的中心角的度数． 【详解】解：∵正多边形的一个外角为， ∴， ∴该正多边形为正六边形， ∴正多边形的中心角的度数为， 故选：B． 4. 如图，已知四边形内接于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质． 根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】∵四边形内接于， ∴，而， ∴， ∴． 故选：B． 5. 关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 6. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 7. 抛物线y=x2可以由抛物线y=（x+2）2﹣3平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3向右平移2个单位可得到抛物线y＝x2﹣3， 抛物线y＝x2﹣3向上平移3个单位即可得到抛物线y＝x2． 故平移过程为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 8. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解本题的关键． 由根与系数的关系得出，从而得出结论． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故选：B． 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应的位置上） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据二次函数的图象和性质可直接解答即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 如图，是外一点，过引的切线、，若，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵、是的切线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查直线与圆的位置关系，四边形内角和定理，理解切线的性质是解题关键． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.25＝5（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是5个， 故答案是：5． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数． 14. 如图，已知：在中，直径弦于E，，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 15. 参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____． 【答案】 x（x﹣1）=45 【解析】 【分析】利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）解决问题即可． 【详解】由题意列方程得， x（x-1）=45． 故答案为x（x-1）=45． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟知x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）这一基本数量关系是解题的关键. 16. 如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出点关于的对称点，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，然后求出，再求出，再求出，然后求出，从而判断出为圆的直径． 【详解】如图，作出点关于的对称点，连接， 则与的交点即为所求的点，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵是的直径，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系，熟记各性质并求出是圆的直径是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点B经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； 点的坐标为； （2） 【解析】 【分析】本题考查画旋转图形、求弧长，熟练掌握旋转性质是解答的关键． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知， ，， ∴点B在旋转过程中所走过的路径长为． 19. 已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）11或13 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、等腰三角形的判定． （1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当为腰长时；②当为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：周长为11或13． 20. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1）箱子里白球的个数为3 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键． （1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，求出概率即可． 【小问1详解】 ，， ∴箱子里白球的个数为3． 【小问2详解】 画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， （摸出的小球颜色恰好不同）． 21. 为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，按元千克销售，每天可售出千克．经过市场调查发现：每千克涨元，每天销售量就减少千克．设售价为元千克，每天销售量为千克，每天销售利润为元． （1）分别求出与，与的函数解析式 （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克元，该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少元 【答案】（1）（）；（） （2）销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式，并结合二次函数的性质求解最值． （1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系得出与的函数式；再由“利润（售价成本）销售量”得出与的函数式； （2）将利润函数化为顶点式，结合售价取值范围确定最大值及对应售价． 【小问1详解】 解：由题意，（）； （）． 【小问2详解】 解：， 因，对称轴为，又， 故当时，． 答：销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元． 22. 如图，为O的直径，C为上一点，与过C点的直线互相垂直，垂足为D，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1） 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 过， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求出，求出，再根据切线的判定求出即可； （2）求出，求出，求出和，再根据弧长公式求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ， 解得：， 即， ∴劣弧的长是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质和判定，弧长公式等知识点，能熟记切线的判定和弧长公式是解此题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 24. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，设点，则， 求出点F的坐标，证明，由，得到，即，求解出m的值即可； （3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与相似，存在、 两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P 在x轴上时，同理可解． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ． 把代入得：， ， 将、代入得：， 解得，． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G， 抛物线的解析式为，令，得， 解得：或， ， 设点，则， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 得， ∴， 解得， ∴点D坐标为或时，； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由题意得，点， 由点A、B、C、D的坐标得，，， ， ， 在中，则，， 当点P在y轴时， ∵以A、C、P为顶点的三角形与相似， 当时， 则， 则， ， ， 则点； 当时， 此时，点P、O重合， ， ， ， 故点； 当点在x轴上时， 只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似， 则， 则点， 综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $