2026年九年级数学中考专题复习练习：代数操作类型

2026年中考专题复习练习：代数操作类型（含答案） 一、单选题 1．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．已知整式，，其中，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，，时，则，； ②若，则满足条件的整式M共有15个； ③若，则符合条件的情况有9种． 其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知整式，其中，⋯，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为整数，且．下列说法： ①当时，； ②当时，若，则满足条件的整式M有20个； ③若，则所有满足条件的整式M的值的最小值为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知整式，其中n，，，…，，为正整数，（i为正整数，），则下列说法中正确的个数是（   ） ①当，时，的最小值为2； ②当，时，则满足条件的所有多项式的和为； ③n为奇数，记，，若，则满足条件的共有21种； A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知多项式，其中n，，，…，为正整数，且 （，1，2，…，）．下列说法： ①当，时，多项式Q的值为7； ②若时，满足条件的所有多项式Q之和为； ③当时，若时，满足条件的多项式有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知整式（，，，，，都为自然数） 下列说法： ①不可能为二次四项式； ②若对于任意的自然数，都有，且为奇数，记，，则当时，满足条件的不同共有2个； ③记，，，，，（为正整数），若且，则存在，使得中的最高次项的系数为； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．关于x的多项式只含两项，可以写成（，均为非零常数，n为正整数），小米发现这个多项式还可以变成：（其中a，c，d等均为整数），下列说法中正确的个数为（   ） ①当这个关于x的多项式为时，则中的的和为5； ②a，c，d等看作系数，那么这个表达式的系数和不变，均为b； ③任意（其中m，n均为正整数且），则分解因式的结果中必有一项因式为； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．已知整式，其中，，，，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①存在满足条件的，使得整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 15．已知整式，规定中各项次数和为，各项系数的平方和为．其中为正整数，为非零整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，或； ②当时，函数与轴一定有两个不同的交点； ③满足条件的整式共有62种． 其中正确的个数是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是(     ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 17．已知整式，其中为正整数，，，，，，均为自然数，记，．下列说法： （1）若，，则满足条件的整式有两个； （2）若，，则满足条件的整式中有10个六次六项式： （3）若，，则可以分解为． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 18．已知整式，，其中为正整数，是自然数，且满足，（且为整数），下列说法正确的个数是（   ） ①的最大值为5； ②时，满足条件的整式的和为； ③所有满足条件的整式共有8个； A．0 B．1 C．2 D．3 19．已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： ①若，时，则； ②若，时，则的值不可能是； ③若时，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．已知整式，其中为自然数，（，为正整数），，，，…，，为整数且，以下说法： ①当，时，不存在符合题意的； ②当，时，的最大值为； ③当时，满足关于的二次函数与轴有交点的共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： 若，时，则； 若，时，则的值不可能是奇数； 若时，则满足条件的整式M共有10个． 其中正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 22．我们将 变化为 称为一次 “ 变化”，将 变化为 称为一次 “ 变化”，下列说法： ①将 进行 4 次 变化后得到的结果为 ； ②若 满足 ，每次选择 变化或 变化中的一种变化，随机进行 3 次变化后有 6 种不同的结果； ③ 将 先进行一次 变化，再进行一次 变化得到 ，若 ， ，则对于任意的实数 恒成立． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．已知整式，其中n为自然数，，，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为； ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．已知关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 25．定义：如果多项式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2）当时，多项式（，，，是常数）的值为10，则它的“续和式”是12； （3）设，当时，的值为0；其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 26．已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为整数，且．下列说法：①若n为偶数，，则；②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为；③当，时，满足条件的整式M共有16种．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．已知整式：，其中是正整数，且，，，…，均为互不相等的正整数，如果取得最小值时，我们称为“基础次整式”．基于上述的定义，下列说法：①整式的次数为时，整式的项数必为；②当时，所有的基础次整式恰有24个；③满足条件的所有三项基础整式中，当取任意实数时，其值一定恒为正数的整式共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．已知代数式，其中，且为整数，满足且，，，…，均为整数．则下列说法正确的共有几个（    ） ①若，则； ②若，则满足条件的代数式共有4个； ③若，则原式的结果可能为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 30．已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．已知：，其中为自然数，，，，，，为整数，且，下列说法： ①若，，则； ②若，，，，且能分解为的形式（，，，为整数），则． ③若，且与有相同的非零实数根，则； 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．已知整式，其中，，，，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有且只有一个； ②若且，则满足条件的整式的最高次项系数之和为20； ③满足条件的整式中，二次三项式有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 34．已知整式：，其中，为自然数，为正整数，、互不相等，且．有下列说法： ①满足条件的整式共有12个； ②满足条件的整式中，有4个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； ④将整式的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式，当时，．其中，错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．已知整式，其中n， 为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（　　） ①当时，满足条件的整式M有4个； ②满足条件的整式M中只有5个单项式； ③满足条件的整式M共有8个． A．0 B．1 C．2 D．3 36．已知整式N：，其中系数，，，，均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（    ） ①存在满足条件的整式N，当时，； ②若整式N满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式N共有8个． A．0 B．1 C．2 D．3 37．已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A．0 B．1 C．2 D．3 38．已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有4个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有5个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 39．定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 40．有如下的一列等式： ，，，，……， 若将记为，其中n为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的有（   ） ①若，则； ②若，那么的所有系数之和为； ③若，那么当时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 41．已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①若，则； ②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 42．若，其中均为自然数，n为正整数，满足，且对于任意的正整数n，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6： ②若M满足，则这样的整式M有66个； ③若不仅为自然数，也可以为负整数，当时，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，则 A．0 B．1 C．2 D．3 43．已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为 ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 44．已知整式，其中为正整数，、、、为自然数，下列说法： ①当时，若，则满足条件的整式有21个； ②若，令，（是整数，且），则有最大值； ③记，若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 45．已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，且．下列说法中： ①在所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的所有二次多项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有3个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 46．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 47．已知关于x的多项式M和N如下：，，则下列三个说法中正确的有（    ） ①； ②若无论x取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中A为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 48．关于的次多项式，其中系数均为正整数，且，下列说法正确的个数是 ①若，则可为三次四项式； ②若，则满足条件的多项式共有3种； ③若是二次三项式，，则多项式有最小值； ④若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，方程的两根． A．3 B．2 C．1 D．0 49．已知整式，其中n，为正整数，每个数只能取1，0，-1中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 50．已知整式，其中为自然数，为正整数，为整数，且满足，．下列说法：①满足条件的所有整式不存在单项式；②当时，满足条件的所有整式的和为；③满足条件的所有三次四项式，共有15个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 51．已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 52．已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 53．对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则或1 ②若方程的解为、，则的值为 ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 54．已知整式，规定中各项次数和为，各非零次项系数的乘积为．其中，，，为正整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，； ②当时，方程恒有两个不相等的解； ③满足条件的整式共有22种； 其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 55．已知整式，其中为自然数，为正整数，且． ①满足条件的整式中单项式有3个． ②当时，满足条件的所有整式的和为． ③满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 56．已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（   ） ①当时，满足条件的整式M有6个； ②满足条件的整式M中只有15个单项式； ③满足条件的整式M共有23个． A．0 B．1 C．2 D．3 57．已知整式M：，其中系数均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（    ） ①存在 一个满足条件的整式M，当时，； ②若整式M满足，当时，，则的最小值为； ③若，则满足条件的整式M共有个． A．0 B．1 C．2 D．3 58．已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 59．已知整式，其中，n，为整数，且，记．下列说法：①当时，若，则满足条件的的值有5个；②当，时，则满足条件的整式有18个；③当，时，要使得M的值为8，则．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 60．已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 61．已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 62．对两个整式M，N，称为整式M与整式N的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 加上的结果记为 ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 加上 的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．下列说法正确的个数是（     ） ①第五次求和操作的结果为 ②若 ，则 ； ③若 ，则对正整数 有 个值． A．0 B．1 C．2 D．3 63．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 64．已知单项式串：，其中均为正整数，且．规定：，，整式的所有系数之和记作．例如：因为，所以；因为，所以 ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，的值有10种不同的可能； ③若为整数，则满足条件的所有整数x之和为． 以上说法中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 65．已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 66．已知整式，其中为正整数，，…，为正整数，下列说法： ①当时，一定能被2整除； ②时，，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③若，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 67．已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 68．有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①        ②若第6项与第5项之差为4057，则； ③当时， 其中正确的个数是（      ） A．0 B．1 C．2 D．3 69．已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 70．已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 71．已知整式M：，其中n， 为自然数．满足，且（）．下列说法： ①若，则n的最大值为5； ②若，则满足条件的整式有12个； ③若，则满足条件的整式有30个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 72．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 73．已知整式，其中为自然数，，，…，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为偶数时，则满足条件的整式共有3个； ②若，为奇数时，满足条件的整式有且仅有9个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 74．已知关于的整式，满足都是非负整数，且，有下列说法： 若，则符合条件所有整式共有个； 若符合条件的所有整式共有个，则 若，符合条件所有整式共有16个． 其中说法正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 75．若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 76．已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法： ①若，则方程的解为； ②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9； ③若为整系数多项式，则这样的有19个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 77．整式：，其中，，，，为整数．下列说法正确的个数为（   ） ①若，，，，均为自然数且，则满足条件的整式M共有21个； ②当，，，，均为自然数时，，，，，必有两个数的差是4的倍数； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 78．已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 79．已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 80．已知整式，其中，，…，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有22个；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 81．已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：． 若，则； 若，且，则满足的实数的值有6个； 关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。 以上说法中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 82．已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 83．已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 二、详细参考答案 一、单选题 1．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：C． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． 说法①中，由时M和N的值即系数和，结合和的值解出m和n，结果正确；说法②中，时整式的系数需满足和为，且最高次项系数为正整数，计算满足条件的整式个数为，与给出的15不符；说法③中，根据的表达式和系数关系的约束，求解符合条件的组合，结果为种，与给出的9种不符．因此仅说法①正确． 【详解】解：∵时，，， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴，（为正整数），故①正确． ∵，则，其中，，， 令（），则， 当时， ，此时满足条件的自然数解有组，是或或或， 当时， ，此时满足条件的自然数解有3组，是或或； 当时， ，此时满足条件的自然数解有2组，是或； 当时， ，此时满足条件的自然数解有1组，是； 总解数为个．故②错误． ∵， ∴，， ，， ∴， 又∵， ∴，，，， 由，分两种情况： 当，，则，，结合，，且， 解得有，，，对应3种情况． 当，，则，，结合，，且， 解得有，，，，对应4种情况． ∴总情况数，故③错误． 综上，仅①正确．故选B． 3．已知整式，其中，⋯，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题综合考查了整式的定义，多项式与单项式的定义，合并同类项，解题的关键是掌握整式的定义． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①：时， 为正整数且，取值序列有 共10个， ∴该选项正确； ②：有三种情况:，和，， 为整数时， 整除5，，和为， ∴该选项正确； ③: n整除24，由题意和可知： 当时，，不满足； 当时，，不存在满足的正整数； 故的取值只能为：， 时对应序列:; 时对应序列:; 时对应序列:和; 时对应序列:; 时对应序列:（11个1）; 时对应序列:全1，共7个序列， ∴ 该选项正确； 正确的选项有①、②、③； 故选：D． 4．已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．说法①，当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)，分别计算当时满足条件的M值；说法②，时，条件为 （），分别计算当时和当时，M可能的式子即可；说法③，按，2，3，4分类计算即可． 【详解】解：①当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)； 条件简化为 ： 当时， （个）； 当时， （3个）； 当时， （2个）； 当时， （1个）； 总计个，说法①正确． ②时，条件为 （） 当时，M可能为，，，， 当时，M可能为， 求和得， 故说法②正确； ③按，2，3，4分类计算∶ 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为1； 总计个，说法③正确． 综上所述 ，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：D． 5．已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为整数，且．下列说法： ①当时，； ②当时，若，则满足条件的整式M有20个； ③若，则所有满足条件的整式M的值的最小值为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式相关规律问题，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 将代入式子即可判断①；当时，则，已知均为正整数，则同正或同负，进而枚举即可判断②；根据题意可得，进而可得，其最小值为，显然，当时，其值更小，进而枚举的情况，并求出值，即可判断③． 【详解】解：当时，则， 此时， ∵为正整数， ， ，故①正确，符合题意； 当时，则， ， ， ， ∴均为正整数， ∴同正或同负， 同正时，有如下情况： ， ， ，共 10 种情况； 同负时，有如下情况： ， ， ，共 10 种情况； 综上，共计 20 种情况，则满足条件的整式共有 20 个，故②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵为正整数，n为正整数， ∴是4的正约数且，故， ∴，此时， ， ， ∴， ∴其最小值为，显然，当时，其值更小， ∵为整数，为同正或同负， ∴同②讨论方式，当为同负时有如下情况： ，此时最小值； ，此时最小值； ，此时最小值， 综上可知整式的值的最小值为，故③错误，不合题意； 综上，正确的个数是 2 ， 故选：C． 6．已知整式，其中n，，，…，，为正整数，（i为正整数，），则下列说法中正确的个数是（   ） ①当，时，的最小值为2； ②当，时，则满足条件的所有多项式的和为； ③n为奇数，记，，若，则满足条件的共有21种； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，整式的加减，因式分解的应用以及排列问题；根据题意得出当时，最小值为，即可判断①；根据，得出或，进而得出对应的多项式，再求和，即可判断②；由已知因式分解，进而根据分解因数以及，得出或，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：①当，时， ∵ ∴当时，的最小值为，故①正确； ②当，， ∵，， ∴或 ∴对应的多项式为：或 ∴，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴或或或， 解得：或或或， ∵，，（i为正整数，）， ∴， ∴或， 设的项数为，则 情形一：当时， 则 当时，，，，共1种， 当时，，， ∴或 ∴若，则，满足题意，共3种， 若，则，，共1种； 当时，， ，， 对于只有唯一的拆分：，则， ∴对于，，或，则或，共2种 当时，，，，共1种， 对于只有唯一的拆分：，则， ∴对于，，共1种， 则情形一，共有种， 情形二：当时，则 当时，，共1种， 当时，，， 或 即或 ∴（种）或，（种） ∴共6种， 当时，， 或 ∴或 ∴（3种）或（2种） ∴共种， 当时，， ∴ ∴，（2种）， ∴共种， 当时，，共1种， ∴， ∴，，共1种， 则情形二，共有种， 综上所述，共有种， 故③不正确， 故选：B． 7．已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的定义，说法①中，时系数和为，整式有个；说法②中，时满足整式有个；说法③中，在，且、条件下，有个整式；即可求解． 【详解】说法①：，系数和， 若，则， 若，则，有、、对应、、 共个，①正确 说法②：即或， 时：，解得、，、 时：，解得、、、、，对应、、、、， 共个，②正确 ∵说法③：∵，为非负整数， 当时 又∵，当时， 当时，， 当时，，不符合题意， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 对于，则有个满足条件的整式 对于，则有个满足条件的整式 …… 对于，则有个满足条件的整式 ∴共个，③正确 综上，正确个数为3. 故选：D． 8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可，正确的找到规律，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 9．已知多项式，其中n，，，…，为正整数，且 （，1，2，…，）．下列说法： ①当，时，多项式Q的值为7； ②若时，满足条件的所有多项式Q之和为； ③当时，若时，满足条件的多项式有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的相关知识，涉及多项式的值、多项式的和以及多项式的系数的取值范围．①根据已知条件确定多项式各项系数，再代入x的值计算多项式的值；对于②根据确定和的可能取值，进而确定多项式，求出所有多项式之和；③当时，根据系数的取值范围和多项式系数和的范围确定满足条件的多项式个数． 【详解】解：∵，n，，，…，为正整数，且 （，1，2，…，）， ∴， ∴此时多项式为， ∴当时，多项式Q的值为，故①正确； ∵，均为正整数， ∴或， ∵， ∴或， 此时多项式为或； ∴满足条件的所有多项式Q之和为，故②正确； 当时， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（符合题意）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， ∴满足条件的多项式有14个，故③正确； 故选：D 10．已知整式（，，，，，都为自然数） 下列说法： ①不可能为二次四项式； ②若对于任意的自然数，都有，且为奇数，记，，则当时，满足条件的不同共有2个； ③记，，，，，（为正整数），若且，则存在，使得中的最高次项的系数为； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的相关概念、整式乘法的规律、因式分解的应用，理解题意是解题的关键． 当的次数为2时，即时，则，可判断①；根据题意可得都为自然数，且，由求出，再分情况讨论可判断②；根据题意列举出中的最高次项的系数的变化规律，可判断③，即可得出答案． 【详解】解：当的次数为2时， 即时，，最多有三项， ∴不可能为二次四项式，故①正确； 由题意得，都为自然数，且， ∵， ∴，即， ∴或 解得或（舍去）， 当时，则，，此时，符合题意； 当时，则，， ∵， ∴，， 当，则，此时，符合题意； 当，则，此时，符合题意； 当时，不存在符合题意的情况，舍去； ∴满足条件的不同共有3个，故②错误； ，， ∴，， ∴， ∴中的最高次项的系数为， 同理可得，中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 中的最高次项的系数为， 依此类推，当时，中的最高次项的系数大于， ∴不存在，使得中的最高次项的系数为，故③错误； 综上，正确的个数是1． 故选：B． 11．关于x的多项式只含两项，可以写成（，均为非零常数，n为正整数），小米发现这个多项式还可以变成：（其中a，c，d等均为整数），下列说法中正确的个数为（   ） ①当这个关于x的多项式为时，则中的的和为5； ②a，c，d等看作系数，那么这个表达式的系数和不变，均为b； ③任意（其中m，n均为正整数且），则分解因式的结果中必有一项因式为； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查多项式的恒等变形、系数和、因式分解，利用多项式的基本性质验证每个选项是解题关键． 说法①，将化为的形式，匹配系数得的值； 说法②，令可得的系数和，再由，可得的系数； 说法③，将代入，，证明必有因式 ； 说法④，通过代数推导进行验证． 【详解】解：对于①：∵ ，设 ， 展开得 ，与 比较得： ∵，∴ ， ∵，∴ ，， 则，故①错误； 对于②：∵， ∴当 时，， ∵， ∴当 时，， ∵， ∴ ，故②正确； 对于③：∵ ， 令，， ∴必有因式 ，故③正确； 对于④：∵ ， ， ∴ ，故④正确． 综上，正确说法为②③④，个数为3． 故选：C． 12．已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式的概念及其运算、二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过是列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：∵整式：，其中和为自然数，为正整数，且， ∴当时，， ∴， ∴当时，整式为单项式； 当时，， ∴， ∵整式为单项式，为正整数， ∴， ∴， 此时整式，满足题意； 当时，为正整数，那么整式至少有两项，不是单项式， ∴满足条件的单项式有2个，①错误， 当时，， 那么， ∵， ∴，或，，， ∴满足条件的整式为、、、， ∴满足条件的整式的和为：，故②错误； 当时，， 那么， ∵整式为二次三项式中，， ∴，，或，，， ∴满足条件的整式为、、、、、， 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值不一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 故满足条件的整式有5个，故③正确； 综上，正确的个数是1个， 故选：B． 13．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的概念与性质，整式的加减运算，需根据系数和条件分类讨论．说法①中，单项式有多个；说法②中，当时，得到所有整式再求和可得答案；说法③中，根据②的结果可得二次二项式，再进一步判断非负性即可． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时，， 当，，整式为， ∴满足条件的所有整式M中单项式不只1个，①错误； 当时，，满足， ∴可能整式有：，，，，，， ∴，②正确． ③∵为自然数，为正整数，且， 当时，，没有二次二项式， 当时，由②得：二次二项式有：，，，， 当时，不存在二次二项式， ∴二次二项式中，恒非负． 故有2个整式恒非负，③正确． 综上，正确个数为2． 故选：C． 14．已知整式，其中，，，，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①存在满足条件的，使得整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键．根据给定的条件逐条分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，且，为正整数，说法①，若为二次式，则，则， ，即， ，，，，为整数，，为正整数， ，，；或，，；或，，； 只有两项或一项，故不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式，故①说法错误； 说法②：当时和时，整式的最高次为， 当时，， ，，，， ， ， 整式为：， 满足的整式之和必有出现，故②说法错误； 说法③：由上述分析可知，当时，可能的整式为：，，，，，，，，，，共个； 当时，可能的整式为：，，，，，，，，，，共个； 当时，可能的整式为：，，共个， 满足条件的整式的个数有个，故③说法正确； 正确的个数为个， 故选：B． 15．已知整式，规定中各项次数和为，各项系数的平方和为．其中为正整数，为非零整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，或； ②当时，函数与轴一定有两个不同的交点； ③满足条件的整式共有62种． 其中正确的个数是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，解一元二次方程，熟练根据题意正确列举出所有情况是解题的关键； 根据条件和，可取1，2，3，4，分别计算每个下满足条件的整式的种类数，即可判断①和③；根据满足条件的整式，求其与轴的交点，即可判断②． 【详解】解：∵ P为各项次数和，即， ∴， ∴可取的值为1，2，3，4， ∵，且，为自然数，为非零整数， 当时，，此时， ∴整式为，满足， ∴， 当时，； 当时，； ∴当时，或， 故①说法正确； 当时，，此时， 整式为：，满足：， ∵，为自然数，且， ∴，，， ∴，即或或或， ∴与轴的交点为和或和，故②说法正确； 当，此时，有，有2种； 当，此时，有，有4种； 当，此时，有，有8种； 当，此时，满足条件的系数绝对值集合有3种：、、，每种有16种，共48种； ∴ 总种类数，故③说法正确； ∴ 三个说法均正确， 故选：D． 16．已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是(     ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题综合考查了整式与因式分解，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】，为自然数，，，为正整数，且， 且，故，即，，，． 对于：，为单项式． 对于：，．当时，，为单项式；其他为二项式． 对于：，所有为三项式，无单项式． 对于：，所有为四项式，无单项式． ∴满足条件的M中仅有和两个单项式，故①正确． 当时，有种：， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②正确； 二次三项式即， ， ，满足， ，可因式分解需判别式． ∵，∴． 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，符合题意， 当时，（舍去，不是二次三项） 当时，（舍去，不是二次三项） ∴使能在实数范围内因式分解的整式M共1个，故③不正确． 综上所述，正确的有①②． 故选：B． 17．已知整式，其中为正整数，，，，，，均为自然数，记，．下列说法： （1）若，，则满足条件的整式有两个； （2）若，，则满足条件的整式中有10个六次六项式： （3）若，，则可以分解为． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； 对于说法（1），由，可得和的组合有两种，且中间系数均为0，因此M有两个。 对于说法（2），由，且要求六次六项式，可得到中恰好一个为0，其余为1，且和有两种组合，共个； 对于说法（3），直接计算给定分解式的乘积，验证和成立；然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵，，且为正整数，为自然数， ∴或； 又，且，，，，均为自然数，故， ∴M为或，有两个；故正确； （2）∵，，且M为六次六项式，即恰好一个系数为0（）， 若，则（因～均大于等于1），但与矛盾，故， ∴～中恰好一个为0，其余四个均为1（因和为4且各大于等于）， 此时有5种选择； 又，即，且，， ∴或，有2种选择， ∴一共有个M；故正确； （3） ∴，，故正确； 综上，三个说法均正确； 故选A． 18．已知整式，，其中为正整数，是自然数，且满足，（且为整数），下列说法正确的个数是（   ） ①的最大值为5； ②时，满足条件的整式的和为； ③所有满足条件的整式共有8个； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是整式、单项式的判断、数字类规律探索及分类讨论思想，解题关键是根据条件对的取值进行分类讨论． 【详解】解：∵，其中为正整数，是自然数，且，， ∴或， 当都相差，且时，取最大值， 则， 当时，，当时，（不符合题意），故①正确； 当时，，且， ∴，则； 或，则； ∴满足条件的整式的和为，故②错误； 当时，，且， ∴，则； 当时，，且， ∴，则； 或，则； 当时，由上知，满足条件的整式有2个， 当时，，且， ∴，则； 或，则； 或，则； 当时，，且， ∴，则； 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误； 则正确的个数是个． 故选：B． 19．已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： ①若，时，则； ②若，时，则的值不可能是； ③若时，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查整式的求值、奇偶性及非负整数解的个数，关键是灵活应用知识点解题； 说法①通过代入得到，求解正整数和即可； 说法②通过代入且，分析的奇偶性即可； 说法③通过列举的非负整数解，计算整式的个数即可． 【详解】解：①当时， ∵，， ∴； ∵为正整数，且， ∴或， ∴，故①正确； ②当且（为自然数）时， ∵，， ∴； ∵为偶数，为偶数，为偶数， ∴为偶数； ∵为奇数， ∴不可能为，故②正确； ③当时，，其中为正整数，为自然数， 当时，，有共种； 当时，，有、、共种； 当时，，有、共种； 当时，，有共种， ∴总共有种，故③正确， 综上，正确的个数为个． 故答案为：D． 20．已知整式，其中为自然数，（，为正整数），，，，…，，为整数且，以下说法： ①当，时，不存在符合题意的； ②当，时，的最大值为； ③当时，满足关于的二次函数与轴有交点的共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的分类讨论，掌握绝对值和非负整数的性质是解题的关键． ①，当时，存在满足条件的系数序列，如，因此说法错误；对于说法②，当时，，在约束条件下最大值为，而非，因此说法错误；对于说法③，当时，满足条件的二次函数共有7个，且判别式均，都与x轴有交点，而非9个，因此说法错误；故正确个数为0． 【详解】说法①：∵ ，系数满足，所有条件满足， ∴ M存在，说法错误； 说法②：∵ ，， 设， 则， 又∵，代入得， 因为，所以的最大值为， 当且仅当且时取等， ∴ 最大值为，说法错误； 说法③：∵，系数满足， 可能序列有共7个， 计算判别式均， ∴ 均有交点，说法错误． 故选：A． 21．已知整式，整式，令，令，其中，，，为自然数，，，，为正整数，下列说法： 若，时，则； 若，时，则的值不可能是奇数； 若时，则满足条件的整式M共有10个． 其中正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式加减的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． 把，代入可得，再结合，为正整数，可得到m，n的值，即可判断；设，把代入，可得，即可判断；把代入，可得，再结合，，为自然数，为正整数，进行分类讨论，即可判断． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∴，故正确； 设， ∵， ∴ ， ∴的值一定为偶数，不可能为奇数，故正确； 若，此时， ∵，，为自然数，为正整数， ∴当时，，此时或或或，满足条件的整式M共有4个； 当时，，此时或或，满足条件的整式M共有3个； 当时，，此时或，满足条件的整式M共有2个； 当时，，此时，满足条件的整式M共有1个； ∴满足条件的整式M共有个，故正确． 故选：D． 22．我们将 变化为 称为一次 “ 变化”，将 变化为 称为一次 “ 变化”，下列说法： ①将 进行 4 次 变化后得到的结果为 ； ②若 满足 ，每次选择 变化或 变化中的一种变化，随机进行 3 次变化后有 6 种不同的结果； ③ 将 先进行一次 变化，再进行一次 变化得到 ，若 ， ，则对于任意的实数 恒成立． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查对新定义“f变化”和“h变化”的理解与应用．说法①通过直接计算4次f变化验证；说法②需枚举所有3次变化序列，得到5种不同结果；说法③通过计算和，并分析绝对值不等式恒成立． 【详解】①∵“f变化”规则是， ∴第1次：，即， 第2次：，即， 第3次：，即， 第4次：，即，故说法①正确； ②每次变化有“f”“h”2种选择，3次变化的总序列为种，结合（故、），逐一计算结果： 1． 序列（）： 2． 序列（）：（因，） 3． 序列（）：先f变，再h变，最后f变 4． 序列（）：先f变，再h变，最后h变 5． 序列（）：先h变，再f变，最后f变 6． 序列（）：先h变，再f变，最后h变 7． 序列（）：先h变，再h变，最后f变 8． 序列（）：先h变，再h变，最后h变 实际不同结果为：、、、、，共5种，并非“6种”，故说法②错误； ③∵，， ∴先f变化： 再h变化：， ∵， ∴． 当（或），不等式为，即，恒成立； 当时，不等式为，即，恒成立，故说法③正确． 正确的说法是①、③，共2个， 故选：C． 23．已知整式，其中n为自然数，，，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为； ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式的条件与计数，需根据每个说法的条件进行验证．说法①通过枚举满足条件的整式并求和判断正确；说法②和③通过计算满足条件的整式个数判断错误． 【详解】解：对于说法①：∵，，为奇数，且，∴（时无解），此时或2，整式为和，和为，∴说法①正确； 对于说法②： 当时，； 当时，或； 当时，或或或； 当时，或或； 当时，；整式M的总数有且仅有11个，并非8个， ∴说法②错误； 对于说法③： 第一种情况：，当时，，当时，，此时整式M有2个； 第二种情况：，当时，，当时，或，当时，，此时整式M有4个； 第三种情况：，当时，，当时，或或，当时，或或，当时，，此时整式M有8个； 第四种情况：，当时，，当时，或或或，当时，或或或或或，当时，或或或，当时，，此时整式M有16个； ∴当时，整式M的总数为个，并非14个， ∴说法③错误， 综上，仅说法①正确． 故选：B． 24．已知关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查多项式的定义和表示，“兄弟多项式”的定义，多项式系数的性质，理解“兄弟多项式”的概念，计算多项式的系数之和是解题的关键． ①通过组合数计算交换系数的方式数； ②代入求系数和； ③利用和的值联立求解奇次项系数和． 【详解】解：①∵有4个系数，交换任意两项系数，有6种方式，即：， ∴有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确； ②∵，令，则系数和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③∵，令，得， 令，得， 两式相减：， ∴，故③正确． 综上，正确的个数为3． 故选：A． 25．定义：如果多项式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称两个多项式为“续和式”，有下列三个结论： （1）若与互为“续和式”，则的值为； （2）当时，多项式（，，，是常数）的值为10，则它的“续和式”是12； （3）设，当时，的值为0；其中正确的结论个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义问题，求解代数式的值，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键． （1）根据“续和式”的定义，分别计算出，，的值，再代入到计算即可； （2）将代入得到一个关于，，的等式，再把多项式的“续和式”表示出来，将代入求解即可； （3）将用含的代数式表示出来，再将代入求解即可． 【详解】解：与互为“续和式”， ，，， ，，． ． 故结论（1）正确． ，，， ，，， 的“续和式”是． 当时，多项式的值为10， ． 当时，， 故结论（2）错误． ， 当时，的值为0． 故结论（3）正确． ∴ 正确结论有2个． 故选：C． 26．已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为整数，且．下列说法：①若n为偶数，，则；②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为；③当，时，满足条件的整式M共有16种．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，二次函数的最值问题，当时，可得，当时，可得，据此可判断①；当，时，可推出，则或或，据此可得M关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出M的最小值即可判断②；当，时，可得，分，，和四种情况，分别求出每种情况下的值的数量即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，， ∴， ∵n为偶数， ∴； 当时，， ∴，故①正确； 当，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 当时，， ∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； 当时，， ∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； 当时，， ∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； ∵， ∴M的最小值为，故②错误； 当，时，， ∴， 当时， 1 1 1 1 1 1 当时， 1 1 1 2 1 1 2 当时， 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 当时， 1 1 1 1 ∴满足条件的整式M共种，故③错误； 故选：B． 27．已知整式：，其中是正整数，且，，，…，均为互不相等的正整数，如果取得最小值时，我们称为“基础次整式”．基于上述的定义，下列说法：①整式的次数为时，整式的项数必为；②当时，所有的基础次整式恰有24个；③满足条件的所有三项基础整式中，当取任意实数时，其值一定恒为正数的整式共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的定义、二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，理解新定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． ①根据多项式项数的定义直接判断正确；②根据题意可知，当时，系数为1，2，3，4的组合，列出组合总数即可判断；③根据题意可知，当时，系数为1，2，3的组合，根据二次函数与一元二次方程的关系和判别式即可判断． 【详解】解：①整式的次数为时，项数为从到共项， ∴①正确； ②当时，系数为，，，， ∵系数均为互不相等的正整数，且和最小， ∴系数一定为1，2，3，4的组合，组合总数为24种， ∴②正确； ③当三项基础整式即，此时， ∵， ∴该二次函数的图象开口向上， 令，即， 当判别式时，满足其值一定恒为正数， ∵系数均为互不相等的正整数，且和最小， ∴系数一定为1，2，3的组合， ∴当，，； ，，； ，，； ，，时，满足， 满足条件的整式共有4个， ∴③正确． 综上，正确的个数是3． 故选：D． 28．已知代数式，其中，且为整数，满足且，，，…，均为整数．则下列说法正确的共有几个（    ） ①若，则； ②若，则满足条件的代数式共有4个； ③若，则原式的结果可能为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律，分式的运算，把2分解为，，可判断①，由，，有10种排列方式，故可判断②；将分式变形为可判断③． 【详解】解：①当时，整数2可分解为，，， 所以，或，故①错误； ②整数2分解为，，有4种排列方式，即有4个代数式； 当整数2分解为时，有6种排列方式，即有6个代数式； 故有10个代数式，故②错误； ③， ∴对应的， ∴，且所有互异，故③正确， 所以，正确的结论有1个， 故选：B． 29．有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大．先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②错误． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，①③说法正确，正确个数为2． 故选：B． 30．已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的概念、一元二次方程的判别式以及绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质判断结论． 结论①涉及单项式的判断，结论②利用平方和为零得出系数关系并验证方程有实解，结论③通过绝对值相等和整数条件确定整式的个数． 【详解】解：∵ 且 ， ① 若为单项式，除了一个系数外，其他系数必须为零，由可排除 故有、、 共3个，结论正确． ② ∵ ， ∴ 且 ， 结合，得，， 若 ，则一次方程有实解；若，则判别式，恒有实解，结论正确． ③ 设，设个系数为，个系数为， 则（其中）， 当时，，得； 当时，，有4种选择负系数的位置， 故共5个整式，结论正确． 综上，三个结论均正确． 故选：D． 31．已知：，其中为自然数，，，，，，为整数，且，下列说法： ①若，，则； ②若，，，，且能分解为的形式（，，，为整数），则． ③若，且与有相同的非零实数根，则； 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查多项式运算、因式分解和方程根的性质，需熟练掌握代数基本方法．说法①当，，时，可得：，则，把两个等式的两边分别相减，求出；说法②通过把多项式因式分解，可得与相等，得到、的值；说法③通过设公共根并解方程组推导系数关系。． 【详解】解： 当，，时， 可得：， 则， ， ， 故正确； 若，，，， ， 能分解为的形式， 一次因式为，即，， 故②正确； 设公共非零实根为，则， ，即 ， 得：， ， ， 代入得， ， ， 故正确． 综上，三个说法均正确． 故选：D． 32．对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的“积差操作”，需要列出所有可能的操作组合，计算结果，并判断各说法的正确性． 【详解】解：； ； ； ； ； 结果中，有不同结果有5种：0、、、、． 说法：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确．   说法：存在结果为0的操作，错误．   说法：有5种不同结果，正确． 正确个数为2． 故选：C． 33．已知整式，其中，，，，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有且只有一个； ②若且，则满足条件的整式的最高次项系数之和为20； ③满足条件的整式中，二次三项式有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．需要根据条件 ，且，分别验证三个说法的正确性．①找出所有 时的可能情况进行判断；②找出 且 时的所有可能情况，并计算最高次项系数的和；③找出 时的所有可能，逐一讨论，结果相加即可． 【详解】解：当 时，，条件为 且 ， ∴ 可取6， 7， ∴有两个：， 故①错误； 时，，条件为 ， ， ，则 ，且 ， 满足条件的 有： 最高次项系数分别为 8，，，，其和为 ， 故②错误； 二次三项式即 ，且 ，满足 当 时，， （6 个） （4 个） （2 个） 共 个； 当 时，前面已得 4 个； 时，，不满足条件； ∴二次三项式共有 个， 故③正确； 正确的个数1 个． 故选：B． 34．已知整式：，其中，为自然数，为正整数，、互不相等，且．有下列说法： ①满足条件的整式共有12个； ②满足条件的整式中，有4个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； ④将整式的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式，当时，．其中，错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查多项式、一次函数的性质、一元二次方程的解法．需要验证四个说法的正误，通过列举所有满足条件的组合，计算个数和性质，代入求值，以及解方程判断． 【详解】解：∵为正整数，为自然数，，且． 列出所有组合： 当时，，可能的组合：，共4个； 当时，，可能的组合：，共4个； 当时，，可能的组合：，共2个； 当时，，可能的组合：，共2个； 当时，，只有但，排除． ∴总组合数：，故①正确． 二次三项式要求且． 从上述组合中筛选： 时，的组合为； 时，的组合为；故共4个，②正确． 当时，设M的值为． 由，得， ∴． 欲最小，需最大． 则当（对应）时，，故③正确． 互换系数得． 当时，， 整理得， 即， ∴， 若，则或； 若，则任意均成立． 故④错误． 综上，错误个数为1． 故选：A． 35．已知整式，其中n， 为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（　　） ①当时，满足条件的整式M有4个； ②满足条件的整式M中只有5个单项式； ③满足条件的整式M共有8个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念及分类（单项式、多项式），解题关键是根据的条件，分情况讨论n的取值，逐一分析整式的个数． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ，即 ． 分别讨论 的情况： 当 时，， 为正整数，且 ， ∴ ，共 4 个整式，均为单项式． 故结论①正确． 当 时，， 为正整数， 为自然数，，且 ，即 ， 可能组合：，共 5 个整式． 其中单项式（即 ）有 ，共 3 个． 当 时，， 为正整数， 为自然数，，且 ，即 ， 可能组合：，共 3 个整式． 其中单项式（即 且 ）有 ，共 2 个． 当 时，， 为正整数， 为自然数，，且 ，即 ， 可能组合：，共 1 个整式，为单项式． 当 时，，无符合条件的整式． 综上，满足条件的整式共有 个，其中单项式共有 个． 因此结论①正确，结论②和③错误．正确的结论有1个． 故选B． 36．已知整式N：，其中系数，，，，均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（    ） ①存在满足条件的整式N，当时，； ②若整式N满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式N共有8个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式系数的条件限制，需根据差值范围和平和条件逐一验证三个说法的正确性 【详解】解：①当时，，即， 取，，，，，满足且差值均为（即 ），总和为，故①正确； ②已知且时，即， 设（），且， 由（推导自总和方程），解得仅有两种可能： ，则 ； ，则 ， 故恒成立，②正确； ③已知，且，则，可能为 、、（无效因差值）， 差值，需满足且， 设为的个数，则，故， 当为时：，，则有个整式； 当为时：，，则有6个整式； 当为时：，，则有个整式， 则，故③正确。 综上，①②③均正确， 故选：D 37．已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式加减的应用，多项式，一元二次方程的根的判别式． 逐一分析各说法，结合因数分解和判别式进行验证即可． 【详解】解：当时，寻找且的正整数解， 可能的分解为或，均不满足严格递增条件， 故不存在二次三项式， ∴错误； 当时，所有可能的整式包括： 一次多项式：，， 二次三项式：， 求和后常数项为， 一次项为，二次项为，总和为， ∴正确； 当时，满足的二次三项式有： ，，，， 计算各多项式判别式均小于0，故所有多项式恒非负， ∴正确． 综上，正确的个数为2． 故选：C． 38．已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有4个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有5个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】对于①， 均为正整数，整式要为单项式， ，则， 可以取1，2，3，4共4个，故①正确； 对于②，当，且， 又，即， 时，共3个； 时，； 综上，时，且时，满足条件的整式共有5个，故②正确； 对于③，时，且时， 当时，，，， 当时，或， 当时，， 综上，整式可以为或或， 所有满足条件的整式的和为，故③正确． 故选：A． 39．定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算——化简求值，理解已知中与是关于x的凤鸣多项式，并准确地进行计算是解题的关键． ①根据已知计算出 的值即可判断；②根据已知计算出 的值即可判断；③根据已知可得，再利用当时，多项式的值是小于的整数，确定出的值即可解答． 【详解】解：①，， ， 与是关于x的凤鸣多项式，故①正确； ②∵，，， ∴， 则 ， ∴，不满足定义， 则与C不是关于x的凤鸣多项式，故②错误； ③与是关于x的凤鸣多项式， ， ， （m是正整数）， ， ， ， ∵当时，多项式的值是小于45的整数， ， ， ， ， ， ，， ∴满足条件的所有m的值之和为6，故③正确． 综上，正确的结论有①③，共2个， 故选：C． 40．有如下的一列等式： ，，，，……， 若将记为，其中n为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的有（   ） ①若，则； ②若，那么的所有系数之和为； ③若，那么当时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了整式中规律问题，解题关键在于读懂题意进行计算． ① 时代入到 中计算即可； ②令，即可计算出结论错误； ③当 时代入得 再令， 得两式再相加即可． 【详解】解：①若， ，故①正确； ②若 则 令，则 的所有系数之和为1．故②错误； ③若， 那么当时，， ， ， ， 令得，， 令 得， 两式相加的， ． 则③正确； 故选：C． 41．已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①若，则； ②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． ① 由的结构分析的系数，判断是否成立；② 根据到互不相等且次数相同，推导的唯一性；③ 枚举为二次三项式且为二次式时，恒正的情况，验证个数． 【详解】解：①当时，由和两个项组成，即． 只有对应的系数需满足（对应项）、（另一项）、（对应项）时．时，故①正确． ②若到互不相等且与次数相同，则的次数．由于是正整数且互不相等，唯一可能的结构是为的排列，此时，唯一确定．故②正确． ③为二次三项式，即且．为二次式要求．需恒正： 时，，； 时，，（恒正）； 时，，． 共3种情况，但题目称有2个，故③错误． 综上，①和②正确，但③错误． 故选：C． 42．若，其中均为自然数，n为正整数，满足，且对于任意的正整数n，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6： ②若M满足，则这样的整式M有66个； ③若不仅为自然数，也可以为负整数，当时，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和判断②；分别令，，即可求出和，即可判断③． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故①说法正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故②说法正确． 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． ∴，故说法③错误； 故选：C． 43．已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为 ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①根据题意得，当时，没有比1小的正整数，不符合题意； 当时，或符合题意， ∴有整式的和为； ∴选项①正确，符合题意； ②当时，； 当时，或； 当时，或或或； 当时，或 或 ； 当时，； M有且仅有11个， ∴选项②错误，不符合题意； ③第一种情况：，当时，， ∴此时，整式有1个； 第二种情况：，当时，， 当时，， ∴此时，整式有2个； 第三种情况：，当时，， 当时，或， 当时，， ∴此时，整式有4个； 第四种情况：，当时，， 当时，或或， 当时，或或， 当时，， ∴此时，整式有8个； 第五种情况：，当时，， 当时，或或或， 当时，或或或或或， 当时，或或或， 当时，， ∴此时，整式有16个； ∴选项③错误，不符合题意； 正确的选项是①， 故选：B． 44．已知整式，其中为正整数，、、、为自然数，下列说法： ①当时，若，则满足条件的整式有21个； ②若，令，（是整数，且），则有最大值； ③记，若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的运算、代数式规律、配方法的应用等知识点，弄清代数式之间的关系是解题的关键． ①先说明、，设（k为正整数），则，然后根据k的取值分情况列举即可解答；②先发现是以6为周期循环的，然后得到，，然后代入化简并运用配方法求最值即可判断；③由题意可得，，再利用同底数幂的除法即可判断． 【详解】解：①当时，整式，其中为正整数，为自然数，且． 设（k为正整数），则． 当时，，此时可取0，1，2，3，4，5，共6种情况； 当时，，此时可取0，1，2，3，4，共5种情况； 当时，，此时可取0，1，2，3，共4种情况； 当时，，此时可取0，1，2，共3种情况； 当时，，此时可取0，1，共2种情况； 当时，，此时，共1种情况； 所以满足条件的整式的个数为个，故①正确． ②已知，令，则 ； ； ； ； ； ， 可以发现是以6为周期循环的． 因为， 所以； 同理可得： 所以 ， 当时，有最大值，故②正确； 已知，则， 因为， 所以， 同理可得：， 所以， 即， 所以， 所以，故③正确． 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：D． 45．已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，且．下列说法中： ①在所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的所有二次多项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有3个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①错误． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，所以“不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式有，，，，，，其中，，，即当取任意实数时，其值一定为非负数的二次多项式共有3个，说法③正确， 故选：． 46．多项式中，现对其中，，，这四个单项式进行以下操作，选择个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，比如对与变号，则多项式为，当时，化简结果为，当时，化简结果为，以下结论： ①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样 ②当，多项式时，且使得为整数，则符合整数x的值共有4个 ③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将所有“变号绝对操作”的化简结果列举出来，可判断①和③；解不等式得到，利用分式的运算法则变形得到，结合为整数，可知是6的因数，结合的范围确定符合条件的x的值的个数可判断②，即可得出答案． 【详解】解：当时， 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为7； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 对与变号，则多项式为，化简结果为或； 当时， 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为或； 对、与变号，则多项式为，化简结果为7； 当时，则多项式为，化简结果为或； ∴所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果，故③正确； ∵原多项式， ∴只有1种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式一样，故①错误； 多项式，即， 解得， ， ∴整数可取0，1，2，3，4，5， ∵为整数， ∴是6的因数， ∴符合条件的整数的值为0，1，2，5，共有4个，故②正确； ∴正确结论的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义、整式加减的应用、绝对值的化简、分式的运算、求不等式的解集，理解“变号绝对操作”的定义是解题的关键． 47．已知关于x的多项式M和N如下：，，则下列三个说法中正确的有（    ） ①； ②若无论x取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中A为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减与乘法运算．先根据多项式的乘法法则求出a、b、c、d的值可判断①；将化为，根据得到，进而可判断②；先由题意得到e、f、m、n值，设，进而由可求得，，进而可求解． 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴，，， ∴，故①错误， ∵，，，， ∴， ∵，的值恒为正数， ∴， 则， ， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ∴，，，， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误， ∴正确的个数为1， 故选：B． 48．关于的次多项式，其中系数均为正整数，且，下列说法正确的个数是 ①若，则可为三次四项式； ②若，则满足条件的多项式共有3种； ③若是二次三项式，，则多项式有最小值； ④若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，方程的两根． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的项和系数，一元二次方程根与系数的关系，判别式及配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意得出都不为0，且，得出的最小值为，从而判断①错误；当时，则，即可判断②；当是二次三项式，时，，得，根据完全平方公式的非负性，求出最值，进行判断③即可；依题意，得，，因为取最小值，，即，则，，，所以方程的两根之积为，即可判断④． 【详解】解：∵系数，，，，均为正整数，且，， ①∵若为三次四项式， ∴，且为正整数， ∴的最小值为， ∴时，不可为三次四项式，故①错误； ②当时，则， ∴满足条件的多项式只有1种；故②错误； ③当是二次三项式，时， ∵， ∴， ∵，且， ∴多项式有最小值，故③错误； ④∵是二次三项式， ∴， ∵方程有解， ∴， ∵系数，，，，均为正整数，且，且，且取最小值， ∴，即， ∵， ∴， ∵都是正整数，且取最小值， ∴，， ∴， ∴方程的两根之积为，故④正确； 综上分析可知：正确的个数为1个． 故选：C． 49．已知整式，其中n，为正整数，每个数只能取1，0，-1中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的相关知识，解题的关键是理解含义，进行分类讨论计算． 根据已知条件蜜粉饼对三个说法进行分析判断即可． 【详解】当时，整式， 又，所以，即 又每个数只能取1，0，中的一个， , 所以满足条件的整式M有：，即①正确； 当时，根据题意知， 所以符合题意的有：；； ；；； ，；， 故符合题意得整式M共有8种，即②正确； 当时，， 即， 又每个数只能取1，0，中的一个， 所以， 则③正确． 故选：D． 50．已知整式，其中为自然数，为正整数，为整数，且满足，．下列说法：①满足条件的所有整式不存在单项式；②当时，满足条件的所有整式的和为；③满足条件的所有三次四项式，共有15个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式，多项式的概念，涉及次数，项数等，整式的加减，理解题意，分类讨论是解题的关键．当时，整式为，可证此时不为0，整式为不可能是单项式，从而判断①；当时，整式为，，，然后从，，，，讨论出所有满足条件的，然后加起来即可得出答案；由题意可知，那么，然后分类讨论得出列出所有满足条件的，即可判断③． 【详解】解：整式，其中为自然数，为正整数，为整数， 都不为0，最小为0， 当时，整式为， 满足，． ，， 不为0， 那么当时，整式为不可能是单项式；故①正确； 当时，整式为， 满足，． ，， 那么当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 那么所有的之和为，所有的之和为，所有的之和为， 故满足条件的所有整式的和为；故②错误； 当整式为三次四项式，那么，， 那么整式为， 满足，． ，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共15个，故③正确； 故选：C． 51．已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的求值，理解多项式求值的规则是解题的关键，本题可根据已知条件，结合多项式的次数、系数等相关知识，对每个说法逐一进行分析判断．根据由得，即，结合，为正整数，可得为正奇数，从而得到且，得到、的值，进而求得的值，从而判定说法的正确性；通过反证法判断，先假设存在，通过整理，比较系数的关系，从而判定说法的正确性；当，时，得到、的代数式，根据代数式系数之间的数量关系，得到、的可能结果，从而得到的可能情况，排除重复项，从而得到的可能结果数，从而判定说法的正确性． 【详解】解：①当时， ，， 由得，即， ，为正整数， 为正奇数， 且， ，， ， 故正确． 假设存在，使得，则， 此时，， 根据题意有，， 两式相加得， 而，比较系数可得：，，， 三式相加得， ，产生矛盾， 假设不成立， 故正确． 当，时， ，满足，共有种可能， ，满足，共有种可能， ，组合共有种可能情况， 经检验，其中有种重复情况，故不同的结果共有种， 故正确． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 52．已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键．①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；当时，存在满足条件的和使得，故可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∴当时，，， ∵，， ∴，，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有， 即当时，满足条件的整式M共有10个，故②符合题意； 假设存在，此时使得， 设，， 当时，， 当时，， ∴， 故存在（如），使得，故③不符合题意； 故选：C． 53．对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则或1 ②若方程的解为、，则的值为 ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，根；当时，方程没有实数根． 根据新定义得，则得出或，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【详解】解：①， 整理得：， ∴， ∴或， 故①正确，符合题意； ②， ∵方程的解为、， ∴，， ∴， ∴，则 当时， ， 当时， ， ∴的值为或， 故②不正确，不符合题意； ③∵，方程有两个不相等的实数解， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故③不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个； 故选：B． 54．已知整式，规定中各项次数和为，各非零次项系数的乘积为．其中，，，为正整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，； ②当时，方程恒有两个不相等的解； ③满足条件的整式共有22种； 其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，解一元二次方程，熟练根据题意正确列举出所有情况是解题的关键．根据，，，为正整数，为自然数，且．若，，分别列举出、、、时满足条件的整式，当时，，不符合题意；再对选项进行判断即可． 【详解】解：当时，，， 则， 因为为自然数，且，所以满足题意的为； 当时，，， 则，由，为正整数，为自然数，且， 则满足题意的可以为，，； 当时，，， 则，由，，为正整数，为自然数，且， 则满足题意的可以为，，，，； 当时，，， 则，由，，，为正整数，为自然数，且， 则满足题意的可以为，，，，，，，，，，，，，，，； 当时，，不符合题意； 综上，当时，，为，则，故①正确； 当时，，为，，， 则或或， 当时， 解得，； 当时， 解得：，， 当时， 解得：，是两个相等的解， 则当时，方程并不是恒有两个不相等的解，故②错误； 满足条件的整式共有种，故③错误； 综上，正确的只有1个， 故选：B． 55．已知整式，其中为自然数，为正整数，且． ①满足条件的整式中单项式有3个． ②当时，满足条件的所有整式的和为． ③满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题综合考查了整式的定义，整式的加减运算，新定义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出每个整式是解题的关键． 【详解】解：当时，，即，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时，，即，， 当时，，整式为， 同理：当时，，整式为， 当时，，，不符合题意； 满足条件的所有整式M中有3个单项式，①正确； 当时，，其中， ∴当时，有，，， 当时，有，， 当时，， ∴这6个整式的和为：，故②错误； 当时，则，且， 此时整式有4种，即，，，， 当时，则，且， 由②可得此时整式有6种， 当时，则，且， 此时整式有4种，即，，，， 当或时，此时整式不存在， ∴整式一共有（个），故③正确， 综上正确的个数是2个． 故选：B． 56．已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（   ） ①当时，满足条件的整式M有6个； ②满足条件的整式M中只有15个单项式； ③满足条件的整式M共有23个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，不等式的性质，熟练理解题意是解题的关键，利用n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足，分别列出当、、、、 时，整式M的情况，即可解决问题． 【详解】解：当时，，， ∵为正整数， ∴或2或3或4或5， 共5个，都是单项式， 故①错误； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，可以为或或或或或或或，共8个，其中单项式的是或或或，共4个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，可以为或或或或或，共6个，其中单项式的是或或，共3个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，，可以为或或，共3个，其中单项式的是或，共2个； 当时，，，即， ∵n，，，…，，为自然数，为正整数，， ∴，，，，可以为，共1个，其中单项式的是，共1个； 当时，为正整数， ∴，不存在， 综上所述，满足条件的整式M中，单项式有（个），故②正确； 满足条件的整式M共有（个），故③正确， 即正确的有②③，共2个， 故选：C． 57．已知整式M：，其中系数均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（    ） ①存在 一个满足条件的整式M，当时，； ②若整式M满足，当时，，则的最小值为； ③若，则满足条件的整式M共有个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到规律是解决问题的关键．，即相邻两数间隔只可为2，3，4，且，对每个选项逐一检验即可． 【详解】解：①当时，， 即， ，即相邻两数间隔可为2，3，4， 则可分别取0，2，4，8，， 故①正确； ②满足，当时，， 即， ， 则可分别取9，，，， 则满足条件的值可为9， 故②错误； ③，即相邻两数间隔可为2，3，4， 且与间有4个间隔， 或， 当时，间隔和为8，则必为每个间隔为2，只有一种可能； 当时，间隔和为，则四个间隔数可为2，2，2，4（有4种排列方式）或2，2，3，3（有种排列方式），共中可能， ∴共有种，满足条件的整式M共有个， 故③错误； 故选：B． 58．已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关定义，熟练理解题意，并分别列式讨论是解题的关键．先根据题意结合对时、时、时、时、时进行讨论，再判断各选项即可． 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数， ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 59．已知整式，其中，n，为整数，且，记．下列说法：①当时，若，则满足条件的的值有5个；②当，时，则满足条件的整式有18个；③当，时，要使得M的值为8，则．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探索，当时，，，得出，故①错误；②当，时，，有6个整式符合条件；，有6个整式符合条件；，有6个整式符合条件；共18个，故②错误；③当，时，若， 则，得出，故③错误． 【详解】解：①当时，，， 且为整数， ，故①错误； ②当，时， ，有8个整式符合条件； 或或或，有16个整式符合条件； ，有2个整式符合条件； 共26个，故②错误； ③当，时，若， 则， ，故③错误， 故选：A 60．已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简以及探究式子的规律．通过计算确定第个式子的变化规律和第个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ，， ，， ， 当为奇数时（1除外）， ，， 当为偶数时， ，， ∵，故①正确； 当时，，故②正确； 由规律知，故③错误； 综上，正确的有①②，一共2个． 故选：C． 61．已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据整式恒等式的性质即不含项问题解答判断，利用求代数式的值方法，自然数的性质解答即可． 本题考查了整式恒等式的性质即不含项问题，代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数． ①：由，得，，故，正确； ②：当且时，当或或或或 或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确； ③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为， 故的最大值为63，③错误； 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：B． 62．对两个整式M，N，称为整式M与整式N的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果 加上的结果记为 ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 加上 的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．下列说法正确的个数是（     ） ①第五次求和操作的结果为 ②若 ，则 ； ③若 ，则对正整数 有 个值． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的操作，整式的加减乘除，二次函数的性质，代数式规律探索．①通过逐次计算验证的表达式；②通过代数运算分析方程是否必然导致；③利用平方根条件确定M和N，转化为二次函数分析不同值的个数． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴左边： ， 右边：， ∴当时，方程恒成立（与无关），故结论②错误； ∵，∴，， ∵ ， 当时，的取值对称且唯一，共1012个不同值，结论③正确． 综上，①③正确， 故选：C． 63．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立 其中正确结论的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法①； 根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法②； 根据题中规定，分别算出，，比较二者的结果，即可判断说法③； 综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】， ，， ，， 由此，，……，这列数每4个循环一次，即． ①，，故①正确； ②，，， ，， 又，……，这列数每4个循环一次，即， ，……，这列数也是每4个循环一次，即． 又， ， ，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 综上，正确结论为①③，共2个， 故选：B． 64．已知单项式串：，其中均为正整数，且．规定：，，整式的所有系数之和记作．例如：因为，所以；因为，所以 ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，的值有10种不同的可能； ③若为整数，则满足条件的所有整数x之和为． 以上说法中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，分式的求值： ①根据条件列举所有可能的和组合，计算对应的并求和，验证结果是否为； ②分析时的可能组合，计算对应的值，统计不同值的数量是否为10种； ③对每个可能的，求满足为整数的整数，验证其和是否为． 【详解】解：当时，， 和满足，可能的组合为、、． 故对应的分别为、、． 三者相加得，故①正确． 当时，， ∴， ∵满足， ∴， ∴， ∵均为整数， ∴值为共7种，故②错误． 由①可知：分别为、、， 当为整数时，则：， ∴； 当为整数时，则：， ∴； 当为整数时，则：， ∴； 所有可能的为，其和为，故③正确． 综上，正确的说法为①和③，共2个， 故选B． 65．已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①根据组合数计算交换次数；②代入求系数和；③利用和的值联立求解奇次项系数和即可. 【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有种不同结果， 所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，， 即的所有系数之和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，， 取时，， 取时，， 两式相减得， 解得，故③错误，不符合题意； 综上，正确的个数为2， 故选：C 66．已知整式，其中为正整数，，…，为正整数，下列说法： ①当时，一定能被2整除； ②时，，，，，，中必有两个数的差是5的倍数； ③若，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算、抽屉原理以及赋值法的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逐一分析三个说法的正确性即可得出答案． 【详解】解：当时，常数项对应为时的值，所以，，能被2整除，故①正确； 当时，多项式有6个系数，考虑这6个数除以5的余数，共有5种可能（0到4）．根据抽屉原理，至少有两个数的余数相同，它们的差必为5的倍数，故②正确． 将代入，得总和．而为时的值，即． 因此，，故③正确． 综上，三个说法均正确， 故选：D． 67．已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 68．有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①        ②若第6项与第5项之差为4057，则； ③当时， 其中正确的个数是（      ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第6项与第5项之差可表示为：， ∴， 解得．故②错误． 当时， ．故③正确． 故选：C． 69．已知关于x的整式，其中a，b，c，d，e为整数，，且满足下列说法； ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据满足条件的两个整式M的和为单项式，需满足两个整式中的对应系数互为相反数，由此可判断①； 当时，根据所给条件，列出所有可能，由此可判断②； 以此类推分、两种情况，求出满足条件的系数取值，得出满足条件的所有整式M总个数，由此可判断③． 【详解】①要使满足条件的两个整式M的和为单项式，则需满足两个整式中的对应系数互为相反数，这与系数递减的条件矛盾，即不存在，①说法正确； ②当时， a，b可从5，4，3，2中取满足条件的值为：，或，或，或，或，或，共6种； d，e可从0，，，中取满足条件的值为，或，或，或，或，或，共6种； 再根据的条件，可得满足条件的有： ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 共8个，故②错误； ③以此类推当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，； 共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，，，，； ，，，，；共2个； 当时，满足条件的系数取值为： ，共1个， 综上，满足条件的所有整式M共个，③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的有关概念，整数的不等关系，绝对值的性质，整式的加减运算，分类讨论思想的运用，解题关键是根据且为整数、这一条件，枚举并分析的所有可能取值，进而逐一验证． 70．已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论，依次判断得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M共有4个，故①正确； 当时，当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 满足条件的整式有：， 当时，， ∴， ∴，， 满足条件的整式有：，， ∴满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 由①得当时，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有6个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，满足条件的整式M共有1个； 当时，则，（不符合题意，舍去） ∴满足条件的整式共有个．故③错误； 故选B 71．已知整式M：，其中n， 为自然数．满足，且（）．下列说法： ①若，则n的最大值为5； ②若，则满足条件的整式有12个； ③若，则满足条件的整式有30个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的系数规律问题，争取理解题意是解题的关键. 根据递减条件、相邻系数查以及取值范围的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析组合解答即可. 【详解】解：①当时，且，要求n最大，即两数之间相差最小，设相邻两数相差为2，则若时，则（不满足 ）， 则n最大为5，①正确； ②当时，可取2,3,4,对应的取值分别为0,0/1,0/1/2,共6种组合； 由且（即 ），，（即 ）： 故 ，且； 不含，或或，故有三种可能，及以上都不存在， 故有，②错误. ③若时，由于且，故， 当，，需满足故，且之后的都不存在， . 进一步分析 的组合：最小为4，最大为8， ，时，; ，时，; ，时，; ，时，; ，时，; ∴满足条件的整式共15种，③不正确； 故选：C. 72．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查单项式，一元二次方程的解，整式，根据题中所给规定，对每种情况进行分析，再进行判断即可．解题的关键是掌握相关知识的运算和推理． 【详解】解：， 这个单项式不满足条件， 满足条件的整式的单项式为这三种， 故①不正确； ， ， 则可得， 解得， ， ， 方程一定有实数解，故②正确； 当时，只有这一种情况， 当时，此时中有一个数是，其余三个是，则有4种情况， 满足条件的整式共有5个； 故③正确， 故选：C． 73．已知整式，其中为自然数，，，…，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为偶数时，则满足条件的整式共有3个； ②若，为奇数时，满足条件的整式有且仅有9个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键．根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①当，，且为偶数时，， ，，…，均为正整数，且， 此时或或， 满足条件的整式共有3个， 故①正确； ②若，为奇数时， 当时，， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或， 当时，， 满足条件的整式共有个， 故②错误； ③当时，，，…，均为正整数，且， 第一种情况：，当时，， 此时满足条件的整式有个； 第二种情况：，当时，， 当时，， 此时满足条件的整式有个； 第三种情况：，当时，， 当时，或， 当时，， 此时满足条件的整式有个； 第四种情况：，当时，， 当时，或或， 当时，或或， 当时，， 此时满足条件的整式有个； 第五种情况：，当时，， 当时，或或或， 当时，或或或或或， 当时，或或或， 当时，， 此时满足条件的整式有个； 满足条件的整式共有个， 故③错误， 综上所述，说法正确的有个， 故选：B． 74．已知关于的整式，满足都是非负整数，且，有下列说法： 若，则符合条件所有整式共有个； 若符合条件的所有整式共有个，则 若，符合条件所有整式共有16个． 其中说法正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，解决本题的关键是根据多项式的定义分情况写出所有可能出现的结果即可． 【详解】解：当时，， 当时，或， 当时，， 符合条件的整式共有个， 故正确； 当时，，共有个， 当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或或，共个， 当时，，共个， 一共有个， 故正确； 若，时， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有个， 故错误， 正确的只有个． 故选：C． 75．若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故说法①正确； 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． 最后，计算的值为，故说法②正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故命题③正确． 故选：D． 76．已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法： ①若，则方程的解为； ②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9； ③若为整系数多项式，则这样的有19个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化规律探究、整式运算、一元二次方程的根的判别式等知识．①根据题意得到，推出，即可求得方程的解为；②方程整理得，利用根的判别式列式计算可求得，，据此计算可求解；③求得，分、1、2、3、4五种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，为自然数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ②若，则， ∵， ∴， 整理得， ∵方程有两个不等实根， ∴，， ∴，， ∵，均为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为2， ∴的最大值为9，②正确； ③∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则，，，，，（舍去）， ∴， 当时，，是单项式，不符合题意； 当时，， ∵是多项式， ∴， ∴时，可取2、3、4，有3个； 时，可取3、4，有2个； 时，可取4，有1个； 故：当时，共6个； 当时，， ∴时，取1，可取2、4，有2个；取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个； 时，取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个； 时，可取3，可取4，有1个； 故：当时，共7个； 当时，， 只有，取1，取2，取3，这1种； 同理，当时，， 只有，取1，取2，取3，取4，这1种； 综上，共个，故③错误， 故选：C． 77．整式：，其中，，，，为整数．下列说法正确的个数为（   ） ①若，，，，均为自然数且，则满足条件的整式M共有21个； ②当，，，，均为自然数时，，，，，必有两个数的差是4的倍数； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，方程的解，正确计算是解此题的关键．根据，，，，的特征判断各个选项即可． 【详解】解：①或，前者显然只有一种情况，后者考虑不为0的两个字母，有10种组合，每个组合中有2种情况，即一个字母为1，另一个为2，共20种，两者加起来一共21种， 故①正确； ②5个自然数中一定有两个数的差是4的倍数， 故②正确； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，， ∴， ∴当时可得，即， 又∵为正整数， ∴， ∴， ∴整数时，为正整数2，即， 所以， 故③正确． 故选 A． 78．已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，根据可得，据此可判断①；分，，，，，，两种情况分别求出对应的M即可判断②；可求出，，那么当是一定不符合题意，再证明可符合题意即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 当时，则， ∵，且，，都是自然数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个，故②正确； 当时，， ∵，， ∴当时，， 当， ∵， ∴中，其中63个数取0到62的自然数，第63个数取72即可满足题意， ∴n的最大值为63，故③错误， 故选：B． 79．已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的有关概念，根据，满足逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一次二项式， ∴， ∴， ∴，或，或，或，； ∴满足条件的整式中只有个，故正确； 当时，，， ∴，，或，，或，，或，，或，，或，，， ∴满足条件的整式中有个，故正确； 若，满足， 则，也满足， ∴所有满足条件的整式的和为，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 80．已知整式，其中，，…，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有22个；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． 根据给定的条件逐条分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，且为正整数，， 说法①，若为二次式，则，则， ∴， 即， ∵，，…，为整数，，为正整数， ∴；或；或， ∴只有两项或一项， 故不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式， 故①说法正确； 说法②：当时和时，整式的最高次为2， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴整式为： ， ∴满足的整式之和必有出现，故②说法错误； 说法③：由上述分析可知，当时，可能的整式为：，，，，，，，，，共10个； 当时，可能的整式为：，，，，，，，，，共10个； 当，可能的整式为：，共2个， ∴满足条件的整式的个数有个 故③说法正确； ∴正确的个数为2个， 故选：C． 81．已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：． 若，则； 若，且，则满足的实数的值有6个； 关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。 以上说法中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得，而均为非负整数， 存在，所以，故不正确； 当时，有，与矛盾； 当时，有， ∴， ∴（舍）或， 当时，有，解得； 当时，有， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， 综上所述，满足条件的实数的值共有个，故不正确； ，且， 满足条件的值有以下情况： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 7 1 2 3 4 8 1 2 3 5 6 1 2 3 5 7 1 2 4 5 6 满足条件的不同多项式共有种，故正确， 综上可知：正确的个数为个， 故选：． 82．已知整式，且，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数．若，则下列说法：①若，时，则整式的值为；②若是的倍数，则最高次项的系数被整除余；③若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，列代数式，代数式求值，解一元一次不等式，熟练掌握这些知识是解题的关键．先利用，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数，，得出，①若，时，得出，求出，即可得出，，，代入求值即可判断；②若是的倍数，则设（为整数），分别得出，，，，则最高次项的系数为，即可判断；③若，结合，得出，则，再利用是奇数，则是奇数，则可得或或或或或，共种情况，分别对应种不同的，即可判断． 【详解】解：∵，，，，均为正整数，其中，，是三个连续增大的偶数；，是两个连续增大的奇数， ∴，，，为偶数，为奇数， ∵， ∴， ∴， ①若，时， ∴， 得， ∴，，， 则整式， 故①正确； ②若是的倍数， ∴设（为整数）， ∴，， ∵， ∴，， ∴最高次项的系数为， ∵被整除余， ∴故②正确； ③若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴是奇数， ∴或或或或或， 共种情况，分别对应种不同的， 满足条件的整式共有个， 故③正确； 综上，正确的是①②③， 故选：D． 83．已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质，熟练根据题意正确列出代数式是解题的关键．先利用，，确定，再分别讨论，，，时，结合和，，，均为绝对值小于的整数，且，一一枚举出来所有情况，再进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， 即或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或或或或或， ∴或或或或或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， ∴或， 共种，其中单项式有个； 综上， 满足条件的整式中，有个单项式， 故①错误； 当时，满足条件的整式有且只有个， 故②错误； 满足条件的整式一共有个， 故③错误； 故正确的个数是个， 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $