专题2.3 分式方程及其应用（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题2.3 分式方程及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 解分式方程】 1 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 1 【题型2 解分式方程】 3 【考点二 分式方程的解】 5 【题型3 已知分式方程的解求参数】 5 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 6 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 9 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 11 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 15 【考点三 分式方程的应用】 17 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 17 【题型9 分式方程的应用】 19 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 解分式方程】 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ． 故选D． 2．（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 3．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 4．（2025·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 故选：D． 【题型2 解分式方程】 5．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时， 可得：， 是原分式方程的解． 故答案为：． 7．（2025·浙江·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，当时，求得的值，最后根据时，原分式值为，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时分式无意义，即 ∴，故A正确， 当时，原分式值为0， ∴ 解得：，故B正确 ∴原分式为， ∵时，原分式值为， ∴，故C选项正确， ∵当时，分式的值为 ∴ 解得：，经检验，是原方程的解，故D选项不正确， 故选：D． 8．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若，即，则 ，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则 ，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 【考点二 分式方程的解】 【题型3 已知分式方程的解求参数】 9．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得： 即： 解得： 故选：C 【点睛】本题考查根据分式方程的解求参数．将方程的解代入原方程即可． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知x＝5是分式方程＝的解，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】现将x=5代入分式方程，再根据解分式方程的步骤解出a即可． 【详解】∵x＝5是分式方程＝的解， ∴＝， ∴＝， 解得a＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程，关键在于代入x的值，熟记分式方程的解法． 11．（2025·北京海淀·模拟预测）若分式方程的解是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 12．（2025·湖南怀化·三模）关于的分式方程的解是，那么的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 13．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 14．（2025·河北石家庄·模拟预测）若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a>-2且a≠1 【分析】先把a看成常数，解出x，根据分式方程有负数解，得到一个关于a的不等式，即可求出a的取值范围. 【详解】去分母得：1-(x+3)=a 解得：x=-a-2 ∵分式方程有负数解 ∴-a-2<0且-a-2≠-3 解得：a>-2且a≠1 ∴实数a的取值范围是a>-2且a≠1. 【点睛】本题考查的是分式方程的解. 15．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 【答案】且 【分析】先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可． 【详解】解：去分母，得x-4(x-2)=-k， 解得x=． ∵分式方程的解为正数， ∴且． 解得，且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0条件． 16．（2024·四川德阳·二模）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．15 B．11 C．10 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有4个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出且，结合，可确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 即根据题意有：不等式的解集为：， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式的整数解为：，0，1，2， ∴， 解得． 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， ∵，且， ∴，， ∴且， 又∵， 综上所述，， ∴符合题意的整数a有5和6， 所有满足条件的整数a的值之和为， 故选：B． 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 17．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键． 由题意可知关于x的方程的增根为，再将分式方程化成整式方程，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有增根， ∴是该分式方程的增根， 将分式方程化为整式方程为， 将代入可得：，即． 故答案为1． 18．（2025·甘肃天水·模拟预测）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得，可求出m的值． 【详解】， 去分母，得， 解得． ∵原方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 19．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解： 的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 20．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为， 方程两边同时乘以得 ∵是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得 ∴，原分式方程中“？”代表的数是． 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 21．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 22．（2025·湖南永州·模拟预测）关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将m当成常数，解出分式方程的解，再根据方程有整数解求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘得： 移项合并同类项得： 解得： ∵方程有整数解 ∴能被2整除的整数有：， ∴m可以取：1，3，0，4 ∵x有解，∴ ∴m可以取：3，0，4三个值 故选C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数，正确的求出方程的解是解题的关键，注意解分式方程时要检验． 23．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 24．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题关键． 解关于的不等式组，得，根据不等式组有解且至多有个整数解，得，再解关于的分式方程得，根据分式方程的解为整数且分母不为可得符合条件的的值，再求和即可． 【详解】解： 由①解得：， 由②解得：， ． 关于x的不等式组有解且至多有个整数解， ， 当时，解得：， 当时，解得：， ， 关于的分式方程， 化简，得：， 关于的分式方程的解为整数，且， ， 或， 所有满足条件的整数的值之和． 故答案为：． 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 25．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程．根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，或解是分式，其分母为零）即可判定的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， 等式两边同时乘以得， ， 去括号得，， 移项得， ， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵分式方程无解，即或或， 即或或， ∴，解得，， ，解得，， 综上所述，的值为或或， 故答案为： 或或． 26．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解确定参数的取值范围，解一元一次不等式；首先将分式方程转化为整式方程，求解后结合分式方程有解的条件（分母不为零且系数不为零）确定参数m的取值范围． 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：， 解得：； 因为分母，即， 依题意，，即， 解得：， 综上，且； 故选：D． 27．若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 28．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 【考点三 分式方程的应用】 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 29．（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 30．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 31．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 32．（2025·山东青岛·二模）五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲纪念品的数量是用500元购进乙纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品的进价为元，则可列方程，明确题意，准确得到数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲种纪念品的进价为元， 根据题意得，， 故答案为：． 【题型9 分式方程的应用】 33．（2025·云南·模拟预测）2024年春城文化节“阅见春城·读见我心”——“4·23世界读书日暨春城读书日”全民阅读系列活动于4月21日上午在昆明市文化馆正式启动．活动现场，某旅游推荐达人发布“阅享有一种叫云南的生活”昆明市新型公共文化空间CityWalk漫游活动，向市民推介了漫游阅读线路，市民、游客到各新型公共文化空间获取漫游护照，进行漫游打卡集章，集满8个漫游图章，即可领取精美文创礼物一份．主办方制作了A，B两种文创礼品，已知A 种礼品比B种礼品每件制作成本多20元，预算资金为32000元，其中14000元用于制作A种礼品，其余资金制作B种礼品，且B种礼品的数量是A种礼品的2倍．求A，B两种文创礼品的制作成本． 【答案】奖品的单价为56元，奖品的单价为36元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设种文创礼品的制作成本为元，则种文创礼品的制作成本为元，由题意：预算资金为元，其中元制作礼品，其余资金制作礼品，且购买种种礼品的数量是种礼品的2倍．列出分式方程然后求解即可． 【详解】解：设种文创礼品的制作成本为元，则种文创礼品的制作成本为元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）． 答：种文创礼品的制作成本为56元，种文创礼品的制作成本为36元． 34．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 35．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． (1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． (2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克 (2)最多种植棵国槐树 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）设种植棵国槐树，则种植银杏树棵，根据题意列出一元一次不等式，求得最大正整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克． 由题意，得 解得： 经检验，是该分式方程的解，且符合题意 ∴(毫克) 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为毫克和毫克 （2）毫克千克，毫克千克 设种植棵国槐树，则种植银杏树棵 由题意，得 解得 ∵为正整数， ∴最大取． 答：最多种植棵国槐树． 36．（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元；纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据表中的信息，用油和电的费用除以a，表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，求出燃油车和纯电新能源车的每千米费用，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为：（元）； （2）解：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意； 故，， 设每年行驶里程超过x千米时，新能源车的年费用比燃油车更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键． 【详解】解：， 去分母得， ， 故选：D． 2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤． 按照去分母，移项，合并，化系数为1，检验的步骤求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故选：C． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 4．（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键． 先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：由， 去分母得：， 解得：且， ∵关于的方程的解是正数， ∴且，解得：且， ∴m的值可以为3， 故选：C． 5．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 二、填空题 6．（2025·河南平顶山·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，把代入原方程即可求出k的值再进行检验即可． 【详解】解：将代入， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， 故答案为：3． 7．（2025·上海普陀·模拟预测）当 时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出的范围，不等式组整理后，根据解集确定出的范围，进而求出整数的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程有负整数解，得到且， 即，且， 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， ∴整数， ∵由分式方程有负整数解， ∴取整数， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的方程即可． 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 三、解答题 10．（2025·西藏·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解： 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解是． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）（1）若k是正整数，关于x的分式方程的解为非负数，求k的值； （2）若关于x的分式方程总无解，求a的值． 【答案】（1）；（2）的值-1，2. 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为非负数求出k的范围，即可确定出正整数k的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论a的值，使分式方程无解即可． 【详解】解：（1）由得：， 化简得：， 因为x是非负数，所以，即， 又是正整数，所以； （2）去分母得：，即， 若，显然方程无解； 若，， 当时，不存在； 当时，， 综合上述：的值为-1，2. 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分式分母不为0这个条件． 12．对于实数，定义一种新运算“*”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互为相反数，见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简、有理数的运算，理解新定义运算法则是解答的关键． （1）先根据新运算法则列式，然后根据有理数的运算法则求解即可； （2）先根据新运算法则列方程，然后解分式方程即可； （3）先根据新运算法则列式，再根据分式的性质化简，然后比较结果可得结论． 【详解】（1）解： （2）解：∵，， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴所列方程的解为，即所求x的值为3； （3）解：∵， ∴． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍． (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ 【答案】(1)每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元 (2)50 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元，根据题意可列分式方程求解即可； （2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案． 【详解】（1）解：设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为元， 由题意得：     解得：， 经检验是原分式方程的解， 则：． 答：每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元； （2）解：设购进甲种服装m件，则购进乙种服装件， 由题意得： ， 解得：． 答：该淘宝店本次购进甲种服装至少是50件． B组 培优提升练 一、单选题 1．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 2．关于的方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程，因为方程的解为，可得关于的分式方程，解方程可得：，经检验可知是分式方程的解，所以的值为． 【详解】解：方程的解为， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 的值为． 故选：B． 3．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 4．（2024·山西·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式方程有增根的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 故的值是3， 故选：B． 5．（2024·福建·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意，得：， 整理得． 故选：． 二、填空题 6．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据题意化为整式方程，解一元二次方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴ 即 解得：（舍去） ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 7．（2025·福建莆田·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查解分式方程，分式方程无解，分两种情况：①将分式方程化为整式方程后，未知数的系数为，整式方程无解，从而分式方程无解；②未知数的系数不为时，最简公分母为，整式方程的解是分式方程的增根，从而分式方程无解，据此解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，整式方程无解，即分式方程也无解； 当，即时， 解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或． 8．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键； 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，那么满足的分式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵， 由题意可得：， 故答案为：． 三、解答题 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以将分式方程化为整式方程即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为： 12．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 13．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 14．（2025·山东济宁·模拟预测）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m． （1）求m和k的值； （2）求方程的另一个根． 【答案】（1）-5 （2）3 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值. （2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根. 【详解】解：（1）分式方程去分母得：m－1＋x=0， 由题意将x=1代入得：m－1－1=0，即m=2， ∴当m=2时，关于x的方程无解， 将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=－5； （2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3， ∴方程的另一个根是3. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 分式方程及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 解分式方程】 1 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 1 【题型2 解分式方程】 2 【考点二 分式方程的解】 2 【题型3 已知分式方程的解求参数】 2 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 3 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 3 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 3 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 4 【考点三 分式方程的应用】 4 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 4 【题型9 分式方程的应用】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 解分式方程】 【题型1 解分式方程中判断去分母是否正确】 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 解分式方程】 5．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）分式方程的解为 ． 7．（2025·浙江·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 8．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【考点二 分式方程的解】 【题型3 已知分式方程的解求参数】 9．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知x＝5是分式方程＝的解，则a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 11．（2025·北京海淀·模拟预测）若分式方程的解是，则 ． 12．（2025·湖南怀化·三模）关于的分式方程的解是，那么的值是 . 【题型4 已知分式方程的解的取值范围求参数】 13．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 14．（2025·河北石家庄·模拟预测）若关于x的分式方程，有负数解，则实数a的取值范围是 ． 15．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 16．（2024·四川德阳·二模）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．15 B．11 C．10 D．18 【题型5 已知分式方程的增根求参数】 17．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 18．（2025·甘肃天水·模拟预测）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是 ． 19．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 20．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【题型6 已知分式方程有整数解求参数】 21．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 22．（2025·湖南永州·模拟预测）关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 24．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【题型7 已知分式方程有解或无解求参数】 25．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 26．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 27．若关于的分式方程无解，则 ． 28．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【考点三 分式方程的应用】 【题型8 根据实际问题抽象出分式方程】 29．（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 30．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 32．（2025·山东青岛·二模）五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲纪念品的数量是用500元购进乙纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为 【题型9 分式方程的应用】 33．（2025·云南·模拟预测）2024年春城文化节“阅见春城·读见我心”——“4·23世界读书日暨春城读书日”全民阅读系列活动于4月21日上午在昆明市文化馆正式启动．活动现场，某旅游推荐达人发布“阅享有一种叫云南的生活”昆明市新型公共文化空间CityWalk漫游活动，向市民推介了漫游阅读线路，市民、游客到各新型公共文化空间获取漫游护照，进行漫游打卡集章，集满8个漫游图章，即可领取精美文创礼物一份．主办方制作了A，B两种文创礼品，已知A 种礼品比B种礼品每件制作成本多20元，预算资金为32000元，其中14000元用于制作A种礼品，其余资金制作B种礼品，且B种礼品的数量是A种礼品的2倍．求A，B两种文创礼品的制作成本． 34．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 35．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． (1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． (2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 36．（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 4．（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·河南平顶山·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 7．（2025·上海普陀·模拟预测）当 时，解关于的方程会产生增根． 8．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 9．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 三、解答题 10．（2025·西藏·中考真题）解分式方程：． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）（1）若k是正整数，关于x的分式方程的解为非负数，求k的值； （2）若关于x的分式方程总无解，求a的值． 12．对于实数，定义一种新运算“*”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断与的关系，并说明理由． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某淘宝店主准备从广州一家服装店购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍． (1)求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？ (2)该淘宝店甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，店主根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利超过7160元，求该淘宝店本次购进甲种服装至少是多少件？ B组 培优提升练 一、单选题 1．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2024·山西·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．不存在 5．（2024·福建·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 7．（2025·福建莆田·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 8．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，那么满足的分式方程是 ． 三、解答题 11．解方程：． 12．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 13．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 14．（2025·山东济宁·模拟预测）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m． （1）求m和k的值； （2）求方程的另一个根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $