第11章 解三角形全章综合检测卷（提高篇）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第11章 解三角形全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·四川成都·期末）已知分别为的三个内角的对边，若，则角为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦定理求得的值，结合角的范围即得答案. 【解答过程】由余弦定理可得，因，则. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【解答过程】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 3．（5分）（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【解题思路】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【解答过程】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 4．（5分）（24-25高一下·湖北黄石·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【解题思路】根据三角形的面积公式，得到，不妨设，验证能构成三角形，然后结合余弦定理，求得，即可求解. 【解答过程】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为， 由三角形的面积公式，可得， 不妨设，其中，则的最大角为角， 由余弦定理，可得， 又因为， 所以能构成三角形， 因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理边化角可得，再结合条件可得，最后由面积公式得解. 【解答过程】由及正弦定理， 可得， 因，所以， 又，则有， 若，则有，则， 所以. 选选：B. 6．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【解题思路】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 7．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解题思路】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【解答过程】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一下·重庆·月考）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【解答过程】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】BC 【解题思路】先由三角形三边关系确定的范围，再借助余弦定理列出关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】因为是三角形的三边，则且，得， 设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角， 而这个三角形为锐角三角形， 则由余弦定理得，即，解得， 所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误. 故选：BC. 10．（6分）（24-25高一下·贵州黔东南·期末）.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则b的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解题思路】由余弦定理角化边即可求解判断A；由即可分析求解判断B；由题设得即可判断C；由题设结合平方和公式和正弦定理角化边即可求解判断D. 【解答过程】对于A，若，则， 化简得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故，故， 所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，，且有两解， 则，故即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角C为锐角， 但角A、B未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由求得，再根据求得判断A；由结合正弦定理求得，再利用余弦定理求解、判断B；根据，结合正弦定理判断C；利用面积公式求解判断D. 【解答过程】因为，所以，， 又因为，所以，所以，所以A正确； 因为，由正弦定理有：， 由余弦定理有：， 整理得：，解得或（舍），， 所以，所以B错误； ，由正弦定理有：，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据余弦定理计算即可. 【解答过程】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 ． 【答案】 【解题思路】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【解答过程】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 14．（5分）（24-25高一下·江苏·月考）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为 . 【答案】 【解题思路】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案. 【解答过程】在中，，，则， 其中 ， 由正弦定理，得， 在中，，，则， 又，则， 又， 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【解答过程】（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 16．（15分）（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 17．（15分）（24-25高一下·新疆·期中）如图，在中，点在线段上，且，． (1)若是正三角形，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由余弦定理计算即可求得； （2）由两角差的正弦公式即可求得，再由正弦定理求，从而得． 【解答过程】（1）因为是正三角形，则，所以， 因为，，所以， 在中， 由余弦定理得 . （2）因为，则为锐角，所以， 则， 在中，由正弦定理，得， 因为，所以. 18．（17分）（24-25高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【解题思路】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【解答过程】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 19．（17分）（24-25高一下·四川眉山·期中）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，然后结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由及正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，故. （2）由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故， 因此，周长的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 解三角形全章综合检测卷（提高篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·四川成都·期末）已知分别为的三个内角的对边，若，则角为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（5分）（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 3．（5分）（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 4．（5分）（24-25高一下·湖北黄石·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 5．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 7．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（5分）（24-25高一下·重庆·月考）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（    ） A． B． C．7 D． 10．（6分）（24-25高一下·贵州黔东南·期末）.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则b的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 11．（6分）（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 13．（5分）（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 ． 14．（5分）（24-25高一下·江苏·月考）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·辽宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 16．（15分）（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 17．（15分）（24-25高一下·新疆·期中）如图，在中，点在线段上，且，． (1)若是正三角形，求的长； (2)若，，求的长． 18．（17分）（24-25高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 19．（17分）（24-25高一下·四川眉山·期中）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $