第07讲 几个三角恒等式（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第07讲 几个三角恒等式 【苏教版】 模块一 几个三角恒等式 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 积化和差公式的应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【解答过程】原式 . 故选：C. 【变式1.1】（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两次利用积化和差公式即可求解. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式1.2】（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用积化和差公式化简函数解析式，再根据余弦函数的性质求函数的最小值. 【解答过程】因为 . 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【解答过程】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C. 【题型2 和差化积公式的应用】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用和差化积公式，即可求值. 【解答过程】． 故选：A. 【变式2.1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用条件求出，然后可得答案. 【解答过程】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高三·北京·强基计划）的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】B 【解题思路】利用和差化积和二倍角的正弦公式可求代数式的值. 【解答过程】根据题意， ． 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【解答过程】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B. 【题型3 半角公式】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【解答过程】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B. 【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【解答过程】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【解答过程】，故，故， 所以. 故选：D. 【变式3.3】（24-25高二下·河南周口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用半角公式求解. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以. 故选：C. 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（25-26高三上·河北衡水·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用辅助角公式及诱导公式求解即可. 【解答过程】. 故选：C. 【变式4.1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题设，结合两角和的正弦公式及辅助角公式求解即可. 【解答过程】由，得， 即，∴. 故选：A． 【变式4.2】（25-26高三上·河北衡水·月考）若函数的最小正周期为2，则正实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据二倍角公式及辅助角公式化简，再应用周期公式计算求参. 【解答过程】， 其最小正周期，解得． 故选:B． 【变式4.3】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【答案】D 【解题思路】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【解答过程】. A：因为，所以由，因此本选项说法不正确； B：由上可知：， 当时，， 因此函数在上为增函数，所以本选项说法不正确； C：因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，因此本选项说法正确， 故选：D. 模块二 三角恒等变换思想 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 【题型5 给角求值型问题】 【例5】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【解题思路】. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【解答过程】 . 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【解答过程】 . 故选：A. 【题型6 给值求值型问题】 【例6】（25-26高三上·广东珠海·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由二倍角公式，同角三角函数的平方关系及商数关系求得，再由二倍角公式求解． 【解答过程】因为， 所以，则. 故选：A． 【变式6.1】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。 【解答过程】由，得， 由，得， 联立解得，， 因为， 所以， 故选：A. 【变式6.2】（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【解答过程】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则 . 故选：D. 【变式6.3】（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【解题思路】结合，运用两角和与差的正弦公式构造出与，再利用诱导公式，即可得解. 【解答过程】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故选：D. 【题型7 给值求角型问题】 【例7】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得. 【解答过程】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【解答过程】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【解答过程】， 又，， 故，故， 故. 故选：C. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【解答过程】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 【变式8.1】（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式8.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【解答过程】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而， 所以． 【变式8.3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简. 【解答过程】原式． 故选：A. 【变式9.1】（24-25高一下·河南商丘·期中）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二倍角公式及和（差）角公式计算可得. 【解答过程】 ． 故选：B． 【变式9.2】（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简可得，由周期求出，利用整体代换法求其递减区间； （2）利用整体代换并结合正弦函数性质求解值域即可. 【解答过程】（1） ， 因为的最小正周期为，所以，即， 所以， 令，解得， 所以函数单调递减区间为； （2）设，因为，所以， 所以，所以的值域为· 【变式9.3】（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数 ，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，. (2)，，，． (3)． 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意 ， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； （2），则，故， ，此时，即， ，此时，即； （3）由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】B 【解题思路】根据已知及三角函数的定义得、，再由半角公式求值. 【解答过程】由题得，， 所以属于第一象限或第三象限，则， 故. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【解答过程】由， 所以，则， 由，则. 故选：A. 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用辅助角公式求解即可. 【解答过程】 . 故选：D. 4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【解题思路】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可. 【解答过程】由 故选：B. 5．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【解答过程】， ， 代入，． 故选：A． 6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公式计算. 【解答过程】因为，所以， 又， 则， ， 则， 所以. 故选：B. 7．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的有界性可求得函数的最大值. 【解答过程】因为 ， 所以函数的最大值为. 故选：B. 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【解答过程】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 【答案】AD 【解题思路】由二倍角、半角公式即可求解. 【解答过程】， 当时，不存在， 当时，. 故选：AD. 10．（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【解答过程】 ，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD. 11．（24-25高一下·贵州遵义·月考）函数，则关于的下列说法中正确的是（   ） A．最小正周期为 B．图像关于点中心对称 C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】AD 【解题思路】根据题意，由三角恒等变形化简，再根据正余弦型函数的性质逐项判断即可． 【解答过程】 ， ，故A正确； 当时，，图象不关于点中心对称，故B错误； 当时，， 当，即时，，故在区间上不单调，故C错误； 为偶函数，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知，且，则 . 【答案】 【解题思路】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，所以 故答案为：. 13．（2025高三·全国·专题练习）函数，的值域是 ． 【答案】 【解题思路】先利用和差化积公式化简函数解析式，再利用余弦函数的性质求值域. 【解答过程】由题意得 ． 因为，所以，所以 . 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【解题思路】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【解答过程】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求，，的值. 【答案】；； 【解题思路】由及α所在象限可得，，再利用半角公式即可求得，，最后借助商数关系得出. 【解答过程】， ， 又，， ， ， . 16．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求值： (1)； (2). 【答案】(1)1； (2). 【解题思路】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和诱导公式化简即可； （2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为，进一步转化为，展开后化为特殊角即可求值. 【解答过程】（1） （2） . 17．（2025高三·全国·专题练习）已知，， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用和差化积公式，求出，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解可得． （2）利用和差化积公式，求出，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解可得． 【解答过程】（1），① 又，．② ，由①②，得，即． ． （2）由（1）知． ． 18．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 19．（25-26高三上·河南·月考）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心坐标为， (2) 【解题思路】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期公式以及正弦函数的对称中心求解； （2）求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【解答过程】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； （2）当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 几个三角恒等式 【苏教版】 模块一 几个三角恒等式 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或将形如asinα+bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 积化和差公式的应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 和差化积公式的应用】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【变式2.2】（24-25高三·北京·强基计划）的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【题型3 半角公式】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·河南周口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（25-26高三上·河北衡水·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高三上·河北衡水·月考）若函数的最小正周期为2，则正实数（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数在上为减函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 模块二 三角恒等变换思想 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 【题型5 给角求值型问题】 【例5】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D．2 【题型6 给值求值型问题】 【例6】（25-26高三上·广东珠海·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【变式6.3】（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 【题型7 给值求角型问题】 【例7】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【变式8.1】（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【变式8.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【变式8.3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·河南商丘·期中）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域. 【变式9.3】（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数 ，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 5．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 10．（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·贵州遵义·月考）函数，则关于的下列说法中正确的是（   ） A．最小正周期为 B．图像关于点中心对称 C．在区间上单调递减 D．为偶函数 三、填空题 12．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知，且，则 . 13．（2025高三·全国·专题练习）函数，的值域是 ． 14．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求，，的值. 16．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求值： (1)； (2). 17．（2025高三·全国·专题练习）已知，， (1)求的值； (2)求的值. 18．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 19．（25-26高三上·河南·月考）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $