第06讲 二倍角的三角函数（五大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第06讲 二倍角的三角函数 【苏教版】 模块一 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型1 二倍角的正弦公式】 【例1】（24-25高一下·四川广元·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025高一上·全国·专题练习）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·云南临沧·期末）若，则（  ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·甘肃白银·期末） （    ） A． B． C． D． 【题型2 二倍角的余弦公式】 【例2】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 二倍角的正切公式】 【例3】（24-25高一下·广东清远·期中）（   ） A．1 B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·山东德州·期末）已知是角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·广东深圳·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一下·福建泉州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用二倍角公式化简、求值】 【例4】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·天津西青·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【变式4.3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 【题型5 利用二倍角公式证明恒等式】 【例5】（2025高一下·江苏·专题练习）求证：. 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【变式5.2】（24-25高一·全国·课后作业）求证：． 【变式5.3】（24-25高二下·上海·课后作业）求证下列恒等式： （1）； （2）． 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东珠海·月考）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）以下各式的值错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·河北衡水·期中）下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·全国·周测）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·河北衡水·开学考试）的值为 ． 13．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，则 ． 14．（25-26高三上·江苏扬州·月考）若，则 ． 四、解答题 15．（2025高一上·全国·专题练习）化简：． 16．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 17．（24-25高一下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求及的值； (2)求的值. 18．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 19．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，且. (1)求的值 (2)求的值； (3)求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二倍角的三角函数 【苏教版】 模块一 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型1 二倍角的正弦公式】 【例1】（24-25高一下·四川广元·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二倍角正弦公式计算即可. 【解答过程】, 故选：A. 【变式1.1】（2025高一上·全国·专题练习）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用二倍角的正弦公式即可解出. 【解答过程】解：因为， 所以原式=， 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一下·云南临沧·期末）若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·甘肃白银·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值. 【解答过程】因为 . 故选：A. 【题型2 二倍角的余弦公式】 【例2】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解答过程】由二倍角公式得. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【解答过程】由． 故选：D． 【变式2.2】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【解答过程】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以，又， 所以. 故选：C. 【题型3 二倍角的正切公式】 【例3】（24-25高一下·广东清远·期中）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正切的二倍角公式即可求解. 【解答过程】, 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一下·山东德州·期末）已知是角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据任意角三角函数定义可得，再结合倍角的正切公式求解即可. 【解答过程】∵是角终边上一点，∴， ∴ 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·广东深圳·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式化简可得，即可利用正切的二倍角公式求解. 【解答过程】， 因为，所以， 解得或（舍去） 故选:C. 【变式3.3】（24-25高一下·福建泉州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简等式求出，利用二倍角公式即可得出结论. 【解答过程】由题意，， ∴，即 ∴，解得：， ∴， 故选：D. 【题型4 利用二倍角公式化简、求值】 【例4】（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据同角三角函数的平方关系，商数关系及二倍角公式即可求解． 【解答过程】原式 ， 故选：B． 【变式4.1】（24-25高一上·天津西青·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二倍角的正切公式化简即可求出结果. 【解答过程】因为， 所以. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 【变式4.3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3) 【解题思路】（1）由二倍角公式，利用两角和与差的正弦公式化简即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式和诱导公式化简即可得出答案； （3）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案. 【解答过程】（1）. （2） . （3）已知，，，， 所以， . 【题型5 利用二倍角公式证明恒等式】 【例5】（2025高一下·江苏·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证. 【解答过程】证明：左边＝ ＝右边． 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】将等式左边切化弦，结合二倍角的正余弦公式化简即可作答. 【解答过程】左边右边， 所以原式成立. 【变式5.2】（24-25高一·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系证明即可. 【解答过程】证明：左边 右边． 【变式5.3】（24-25高二下·上海·课后作业）求证下列恒等式： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解题思路】（1）通分化简即可；(2)用二倍角公式，即可证明 【解答过程】（1）. （2）左边 . 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解. 【解答过程】由为第二象限角，且，可得， 再由正弦的二倍角公式得， 故选：C. 2．（25-26高一上·广东珠海·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正切的倍角公式计算. 【解答过程】， 则， 得（负值舍去）. 故选：C. 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倍角公式计算即可. 【解答过程】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 6．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【解答过程】由，则 . 故选：B. 7．（2026高三·全国·专题练习）以下各式的值错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据倍角公式对选项逐一分析即可. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：A. 8．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用任意角三角函数的定义得到，，再结合二倍角公式对目标式合理变形，进而求值即可. 【解答过程】由题意得角的终边经过点， 由任意角三角函数的定义得， ，，则， 由二倍角公式得 ，故C正确. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高三上·河北衡水·期中）下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据题意，利用正弦的倍角公式，余弦的倍角公式和正切的倍角公式，以及两角差的正弦公式，逐项求解，即可得到答案. 【解答过程】对于A，由，所以A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，可得，所以B错误； 对于C：由正切的倍角公式，可得，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断. 【解答过程】对于A，，A成立； 对于B、D，，B不成立，D成立； 对于C，由，得，C成立. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·全国·周测）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】利用余弦二倍角公式化简，可得判断AB，利用正切的二倍角公式化简可判断C，利用特殊角的函数值化简可判断D. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选:AD． 三、填空题 12．（25-26高一上·河北衡水·开学考试）的值为 ． 【答案】 【解题思路】利用二倍角的正弦公式和诱导公式求解即可. 【解答过程】. 故答案为：. 13．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，则 ． 【答案】 【解题思路】利用已知条件求出，从而求出，最后利用二倍角的正切公式求出． 【解答过程】 ，， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26高三上·江苏扬州·月考）若，则 ． 【答案】 【解题思路】利用倍角公式整理可得，进而可求. 【解答过程】因为，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【解题思路】利用三角函数的二倍角公式求解. 【解答过程】因为. 所以， ， ， ， 当时，原式无意义； 当，即， 即，即， 时， 原式=， ， ，. 16．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 17．（24-25高一下·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求及的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）设角的终边经过点，先求出，再根据三角函数的定义求出的值，再根据二倍角的正切公式即可求出的值； （2）先根据三角函数的定义求出的值，再将利用二倍角公式及诱导公式变形，再将的值代入计算即可. 【解答过程】（1）设角的终边经过点，则， 所以由三角函数的定义可知， 所以； （2）由（1）根据三角函数的定义可知， 所以 . 18．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 【答案】(1) (2),, 【解题思路】（1）由平方关系、商数关系求解即可； （2）由三角恒等变换逐一求解即可. 【解答过程】（1）已知是第二象限角，，则； （2）由题意， , . 19．（24-25高一下·四川成都·月考）已知，且. (1)求的值 (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由同角的三角函数关系结合二倍角的正切公式可得； （2）由同角的三角函数关系结合两角差的正弦公式可得； （3）由两角差的余弦结合二倍角的正余弦和同角的三角函数关系可得. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 所以. （2），，所以，所以， 又， 所以. （3）由， 因为，， 又，则， 所以. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $